专题04 幂函数（考题猜想，易错必刷34题10种题型）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题04 幂函数（易错必刷34题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 幂函数的概念 · 幂函数的解析式 · 根据解析式求参数 · 幂函数的定义域与值域 · 函数过定点问题 · 幂函数图像 · 幂函数的性质 · 根据幂函数的性质解不等式 · 比较大小 · 函数图像的平移变换 一、幂函数的概念（共2小题） 1.已知函数，当m为何值时，： （1）是幂函数； （2）是幂函数，且是上是严格增； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数. 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、幂函数的解析式（共3小题） 3.（24-25高二上·上海·开学考试）幂函数的图像经过点，则的值为 . 4.(2024·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A.27 B.9 C. D. 5.（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 ， ． 三、根据解析式求参数（共3小题） 6.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 7．（23-24高一上·安徽·期中）已知幂函数与坐标轴没有公共点，则 . 8.（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格递增，且的图象关于y轴对称，求m的值． 四、幂函数的定义域与值域（共2小题） 9．（24-25高一上·上海·）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 10．（20-21高一上·上海徐汇·期中）幂函数的定义域的区间表示为 ． 五、函数过定点问题（共1小题） 11.（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 六、幂函数图像（共6小题） 12.（21-22高一上·上海金山·期中）下列函数中图像如图所示的函数是（    ） A． B． C． D． 13..函数的图象是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 15．（20-21高一上·上海普陀·期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ） A． B． C． D． 16．（21-22高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 17.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 七、幂函数的性质（共4小题） 18．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 19.下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 20．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是 （填写全部正确的编号） 21．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是 ． 八、根据幂函数的性质解不等式（共6小题） 22．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 23．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 24．已知，求实数的取值范围. 25．已知，求实数的取值范围. 26．（21-22高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 ． 27．（21-22高一上·上海长宁·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 九、比较大小（共1小题） 28.试比较下列各组数中两个数的大小： （1），；         （2），； （3），；         （4），. 29．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 十、函数图像的平移变换（共1小题） 30．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 31．作出函数的大致图像． 32．（（多选）2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心 33．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数的对称中心是 ． 34.已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. $$专题04 幂函数（易错必刷34题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 幂函数的概念 · 幂函数的解析式 · 根据解析式求参数 · 幂函数的定义域与值域 · 函数过定点问题 · 幂函数图像 · 幂函数的性质 · 根据幂函数的性质解不等式 · 比较大小 · 函数图像的平移变换 一、幂函数的概念（共2小题） 1.已知函数，当m为何值时，： （1）是幂函数； （2）是幂函数，且是上是严格增； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数. 【答案】（1）或（2）（3）（4）（5）. 【解析】（1）因为函数是幂函数，所以，解得：或； （2）当时，，函数在上是减函数， 当时，，函数在上是增函数， 综上可知：时，满足条件； （3）若函数是正比例函数，则，解得：； （4）若函数是反比例函数，则，解得：； （5）若函数是二次函数，则，解得：. 2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 二、幂函数的解析式（共3小题） 3.（24-25高二上·上海·开学考试）幂函数的图像经过点，则的值为 . 【答案】2 【解析】设幂函数，将代入，可得：， 所以，所以. 故答案为：2. 4.(2024·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A.27 B.9 C. D. 【答案】　A 【解析】　由题意，得m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x－2， 此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 5.（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 ， ． 【答案】 【解析】幂函数的图象过点，设， 则有，解得， 所以，. 故答案为：；. 三、根据解析式求参数（共3小题） 6.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【解析】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求. 故选：A 7．（23-24高一上·安徽·期中）已知幂函数与坐标轴没有公共点，则 . 【答案】 【解析】由题为幂函数， 可得， 解得或，即或， 又幂函数与坐标轴没有公共点， 则. 8.（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格递增，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【答案】 【解析】由幂函数在区间上是严格增函数， 可得，即， 解得且，即， 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 四、幂函数的定义域与值域（共2小题） 9．（24-25高一上·上海·）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【解析】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 10．（20-21高一上·上海徐汇·期中）幂函数的定义域的区间表示为 ． 【答案】 【解析】 ， ， 幂函数的定义域. 故答案为：. 五、函数过定点问题（共1小题） 11.（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 六、幂函数图像（共6小题） 12.（21-22高一上·上海金山·期中）下列函数中图像如图所示的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由函数图象可知，函数图象关于原点对称，且在第一象限内单调递减，所以只有， 因为、、在第一象限内均为递增函数； 故选：C 13..函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数，，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误. 故选：A. 14．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【解析】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 15．（20-21高一上·上海普陀·期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数为， 因为该幂函数得图象经过点， 所以，即，解得， 即函数为， 则函数的定义域为，所以排除CD， 因为，所以在上为减函数，所以排除B， 故选：A 16．（21-22高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 【答案】B 【解析】和是两个不同的幂函数，设， 由幂函数过点， 当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有 当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有 当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有. 所以它们图像交点的个数为1或2或3 故选：B 17.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【解析】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 七、幂函数的性质（共4小题） 18．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 19.下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 【答案】D 【解析】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误； 对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误； 对于C，函数，故定义域为，故错误； 对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确. 故选：D. 20．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是 （填写全部正确的编号） 【答案】②④ 【解析】①：，，不关于轴对称； ②：，，满足，关于轴对称； ③：，，不满足，不关于轴对称； ④：，，满足，关于轴对称， 故答案为：②④. 21．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图： 结合幂函数在第一象限的图象特征可知：幂函数图象恒过， 若，则时满足条件； 若，则满足条件． 综上，． 八、根据幂函数的性质解不等式（共6小题） 22．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为且在上单调递减， 则由， 得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 23．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，且，则，则， 因为函数为上的增函数，由可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 24．已知，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由于幂函数为上的单调递增函数， 由可得，故， 故的范围为 25．已知，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由题意，则，解得. 即实数的取值范围为. 26．（21-22高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 ． 【答案】 【详解】将不等式转化成 （Ⅰ） ，解得 ； （Ⅱ） ，解得 ； （Ⅲ） ，此时无解； 综上，不等式的解集为： 故答案为： 27．（21-22高一上·上海长宁·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，. （2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为. 九、比较大小（共1小题） 28.试比较下列各组数中两个数的大小： （1），；         （2），； （3），；         （4），. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】解：（1）由幂函数的性质，单调递增，又，所以； （2）由幂函数的性质，单调递减，又，所以； （3）由幂函数的性质，单调递减，又，所以； （4）由幂函数的性质，单调递增，又 ，所以. 29．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或． 当时，的图象不经过原点，符合题意， 当时，的图象经过原点，不符合题意， 所以． （2）由（1）得，易得在上单调递减． 当时，由，可得． 因为在上为减函数，所以． 当时，，由，可得． 因为，且在上为减函数， 所以． 综上，． 十、函数图像的平移变换（共1小题） 30．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】由得．排除A； 当时，，所以．排除CD． 又， 当时，，故，故B中图象符合题意， 故选：B 31．作出函数的大致图像． 【答案】图像见解析 【详解】.对称中心.类比反比例函数的图像得到的大致图像. 32．（（多选）2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心 【答案】AD 【详解】解： 由向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为关于对称，所以关于对称，故D正确； 函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误； 函数在和上单调递减，故C错误； 故选：AD 33．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数的对称中心是 ． 【答案】 【解析】函数， 显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得， 而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为. 故答案为： 34.已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. 【解析】(1)f(x)＝＝＝a＋， 所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 由题意得a＝3. (2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线， 又由一次分式函数的性质知， 当且仅当1×(2－a)＞1×a， 即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 故a的取值范围是(－∞，1). $$