专题03 幂、指数、对数（考题猜想，易错必刷40题11种题型）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题03 幂、指数、对数（易错必刷40题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 根式与幂的互化 · 根式的计算 · 幂的计算 · 混合运算 · 对数的定义 · 对数式与指数式的互化 · 对数的运算 · 对数的运算性质 · 换底公式的运用 · 指对数证明 · 对数方程 一、根式与幂的互化（共4小题） 1.下列根式与分数指数幂的互化不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 4.（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： ．（结果用根式表示） 二、根式的计算（共3小题） 5.（1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 6．（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 ． 三、幂的计算（共1小题） 8.（1）计算：； （2）化简： 四、混合运算（共2小题） 9.计算： (1)； (2). 10.计算． (1) ； （2）. 五、对数的定义（共4小题） 11．（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 13．（22-23高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是 ． 14．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若，则实数 ． 六、对数式与指数式的互化（共3小题） 15．（20-21高一上·上海嘉定·期中）若且，将指数式转化为对数式为（    ） A． B． C． D． 16.若，，且，则 . 17.将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 七、对数的运算（共5小题） 18．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知，则的最小值为 . 19.若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数 为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（    ） A．98 B．105 C．117 D．130 20．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 21．（22-23高一上·上海静安·期中）设，，则用，表示 . 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，若．则的取值范围是 ． 八、对数的运算性质（共5小题） 25.若且，，，则下列各式中正确的为（    ） A． B． C． D． 26.已知，则 ． . 27.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 28.计算． 29．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知，且，若，，则 ． 九、换底公式的运用（共4小题） 30.计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 31.设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 32.设，，用a，b表示． 33．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 十、指对数证明（共2小题） 34.已知及是不为的正数，且.求证：. 35.设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 十一、对数方程（共5小题） 36.若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 37.方程的解是 . 38.若，则 ． 39.方程的解是 . 40．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知关于x的方程，试解 (1)当是方程的一个解时，求实数a的值； (2)当方程只有一解时，求实数a的值． $$专题03 幂、指数、对数（易错必刷40题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 根式与幂的互化 · 根式的计算 · 幂的计算 · 混合运算 · 对数的定义 · 对数式与指数式的互化 · 对数的运算 · 对数的运算性质 · 换底公式的运用 · 指对数证明 · 对数方程 一、根式与幂的互化（共4小题） 1.下列根式与分数指数幂的互化不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 故选：C. 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 4.（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： ．（结果用根式表示） 【答案】 【解析】由题意. 故答案为：. 二、根式的计算（共3小题） 5.（1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 6．（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 ． 【答案】3 【解析】由，得， 因为对任意负数，代数式恒为定值，则有，解得， 所以的值为3. 故答案为：3 三、幂的计算（共1小题） 8.（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解析】（1） ； （2）. 四、混合运算（共2小题） 9.计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1；(2)0；(3) 【解析】（1）原式. （2）原式 （3）原式 10.计算． (1) ； （2）. 【答案】(1)；（2）210 【解析】（1） （2） . 五、对数的定义（共4小题） 11．（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对数中的实数的取值要求为：且， A：本选项显然不符合题意； B：，显然不符合题意； C：，或，显然不符合题意； D：且，所以有且，显然符合题意， 故选：D 12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（22-23高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是 ． 【答案】 【解析】式子要有意义，则， 解得， 所以x范围是. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若，则实数 ． 【答案】1 【解析】由， 若，则， 当时，集合为，符合题意， 当时，无意义，不符合题意，舍去， 所以. 若，则，此时无意义，不符合题意，舍去. 若，则，此时集合为，不满足互异性，舍去. 综上所述，. 故答案为：1. 六、对数式与指数式的互化（共3小题） 15．（20-21高一上·上海嘉定·期中）若且，将指数式转化为对数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用指对互化解出，结合答案得出选项． 【解析】由，可得，解得 故选：C 16.若，，且，则 . 【答案】1 【解析】令， 则，，， 故. 故答案为： 17.将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6) 【解析】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 七、对数的运算（共5小题） 18．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 显然此时有解，所以的最小值为. 故答案为：. 19.若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数 为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（    ） A．98 B．105 C．117 D．130 【答案】C 【解析】由题意可知：，，所以 设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，即， 所以， 故选：C. 20．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为： 21．（22-23高一上·上海静安·期中）设，，则用，表示 . 【答案】 【解析】解：因为，， 所以 ； 故答案为： 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，若．则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，，可知， 则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 八、对数的运算性质（共5小题） 25.若且，，，则下列各式中正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以A，B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，由于可能为负数，当为偶数时，没有意义，故D错误， 故选：C 26.已知，则 ． 【答案】2024 【解析】． 故答案为：2024. 27.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3；(2)0；(3)5；(4)441 【解析】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 28.计算． 【答案】 【解析】原式 ． 29．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知，且，若，，则 ． 【答案】 【解析】由且，则，则， 所以， 而，，则， 所以，故. 故答案为： 九、换底公式的运用（共4小题） 30.计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： . 故选：B. 31.设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 【答案】 【解析】因为，， （1）由； （2）由. 故答案为：；. 32.设，，用a，b表示． 【答案】 【解析】依题意，由，即，可得， 则 所以． 33．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 十、指对数证明（共2小题） 34.已知及是不为的正数，且.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由，则， ， 于是，命题得证 35.设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 十一、对数方程（共5小题） 36.若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【解析】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 37.方程的解是 . 【答案】 【解析】由方程，可得， ，解得. 故答案为： 38.若，则 ． 【答案】/0.125 【解析】因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 39.方程的解是 . 【答案】 【解析】且，且 ，即 解得（舍）， 即方程的解是3. 40．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知关于x的方程，试解 (1)当是方程的一个解时，求实数a的值； (2)当方程只有一解时，求实数a的值． 【答案】(1)或 (2)或. 【解析】（1）∵是方程的一个解， ∴即， 解得或， ∴或. （2）∵只有一解， 当时，2=0，显然不成立， 当时，， ∴解得或， ∴或. 故实数a的值为或. $$