专题02 等式与不等式（考点清单+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单02 等式与不等式（12个考点梳理+提升训练） 【清单01】等式的性质与方程的解集 1.等式的定义 用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式； 2.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”的性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么. 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集. 【清单02】一元二次方程的解集及根与系数的关系 1. 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值为该不等式的解. 一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集.求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式. 将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集. 解不等式时，常常要通过等价变形.将原不等式化为较简单的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集. 2. 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解：，要注意含参分类讨论，恒等变形. 3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 4.韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，由由一元二次方程的求根公式得： ，，那么可推得: 这是一元二次方程根与系数的关系. 【清单03】不等式的性质 1.不等式的基本性质 （1）传递性：设均为实数，如果，且，那么. （2）加法性质：设均为实数，如果，那么. 不等式加法性质表明：在不等式的两边加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变. （3）乘法性质：设均为实数，如果，且，那么； 如果，且，那么. 不等式乘法性质表明:在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.但若乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变. 2.从不等式的基本性质出发，可以得到下面的推论 推论1. 同向可加性： 推论2. 推论3. 推论4. 推论5. 推论6. 推论7. 3.比较大小 ①作差法：比较两个实数a与b的大小关系： （1）； （2）； （3）． 作差法比较大小的一般步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，等于0，还是小于0．（不确定的要分情况讨论）最后得结论． 概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． ②作商法：比较两个正实数a与b的大小关系： （1）；（2）；（3）． 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小． 【清单04】不等式的解法 1. 一元二次不等式的解法 定义：设为实数，且，形如的不等式统称为一元二次不等式. 像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 设一元二次方程的两根为、且，，则不等式的解的各种情况 如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 2．含参的一元二次不等式 如何求含参数的一元一元二次不等式的解集？ 即：解关于x的不等式 “三步曲”： ①解方程——常对“”的正负进行讨论． ②画草图—— 常对的正负进行讨论． ③写解集——常对两根的大小进行讨论． 故对含参的一元二次不等式大致可以分为三类：①判别式；②二次项系数；③根的大小． 3.分式不等式的解法 （1）基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要． （2）基本方法： ①通过移项，将分式不等式右边化为零； ②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：（1）； （2）； （3）；（4）． 4.绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之． （1）利用绝对值的含义解不等式 绝对值的实际含义，就是数轴上两点之间的距离．所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解． （2）平方法解绝对值不等式 当不等式的两边都出现绝对值（或恒大于等于零）时，就可以利用不等式可两边平方的性质来去掉绝对值符号． （3）零点分段法（分段讨论）解绝对值不等式 一般地，当无法直接去绝对值，或者出现多个绝对值符号时，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号． ① ； ② . 【清单05】基本不等式 1.定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立. 2.定理：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 3.常用不等式：，当且仅当时等号成立. 4.三角不等式定理：对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 【考点题型一】等式的性质与方程的解 【例1】设为实数，求关于的方程的解集． 【变式1-1】若方程的解集为单元素集，则m的值为 ． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【变式1-3】求关于x的一元二次方程的解集． 【考点题型二】韦达定理 【例2】已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2-1】若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【变式2-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 【变式2-3】已知方程的两根为、且满足，求实数的值. 【考点题型三】一元二次方程根的分布 【例3】关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【变式3-1】已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【变式3-2】设a为整数，且方程有两个正数根，且一根比1大，一根比1小，则a= . 【考点题型四】代数式比大小 【例4】，则的大小关系为 ． 【变式4-1】已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【变式4-2】已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 【变式4-3】若，求证：． 【变式4-4】已知，试比较与的大小. 【考点题型五】利用不等式性质证明 【例5】若，，求证：. 【变式5-1】如果，则正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-2】已知实数，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式5-3】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【考点题型六】利用不等式的性质求代数式的范围 【例6】如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【变式6-1】是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【变式6-2】若，则的取值范围是 ． 【变式6-3】已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 【考点题型七】不等式的解法 【例7】求下列不等式（组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式7-1】求下列关于x的不等式或不等式组的解集. (1) (2) (3) 【变式7-2】若的解集为，解不等式：. 【变式7-3】已知关于的不等式的解集为A. (1)当时，求集合A； (2)若，求实数a的取值范围. (3)若，，求实数a的取值范围. 【变式7-4】解关于的不等式：（其中）． 【变式7-5】已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 【考点题型八】不等式恒成立问题 【例8】若一元二次不等式恒成立，求的取值范围. 【变式8-1】若不等式对一切实数恒成立，则实数的范围是 【变式8-2】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式8-3】若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围． 【考点题型九】利用基本不等式求最值 【例9】求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 【变式9-1】（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 【变式9-2】已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值； 【考点题型十】利用基本不等式证明 【例10】已知a，，且，求证：. 【变式10-1】已知为正实数，且，求证： . 【变式10-2】（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【考点题型十一】基本不等式的应用 【例11】如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【变式11-1】某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? (2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 【变式11-2】货车以x千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规则限制（单位：千米/时），假没汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时50元. (1)求这次行车总费用y（元）关于x（千米/时）的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值.（所有结果精确到1） 【考点题型十二】三角不等式 【例12】已知，，求证：． 【变式12-1】（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为Ø，求实数a的取值范围. 【变式12-2】已知，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 等式与不等式（12个考点梳理+提升训练） 【清单01】等式的性质与方程的解集 1.等式的定义 用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式； 2.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”的性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么. 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集. 【清单02】一元二次方程的解集及根与系数的关系 1. 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值为该不等式的解. 一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集.求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式. 将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集. 解不等式时，常常要通过等价变形.将原不等式化为较简单的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集. 2. 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解：，要注意含参分类讨论，恒等变形. 3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 4.韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，由由一元二次方程的求根公式得： ，，那么可推得: 这是一元二次方程根与系数的关系. 【清单03】不等式的性质 1.不等式的基本性质 （1）传递性：设均为实数，如果，且，那么. （2）加法性质：设均为实数，如果，那么. 不等式加法性质表明：在不等式的两边加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变. （3）乘法性质：设均为实数，如果，且，那么； 如果，且，那么. 不等式乘法性质表明:在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.但若乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变. 2.从不等式的基本性质出发，可以得到下面的推论 推论1. 同向可加性： 推论2. 推论3. 推论4. 推论5. 推论6. 推论7. 3.比较大小 ①作差法：比较两个实数a与b的大小关系： （1）； （2）； （3）． 作差法比较大小的一般步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，等于0，还是小于0．（不确定的要分情况讨论）最后得结论． 概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． ②作商法：比较两个正实数a与b的大小关系： （1）；（2）；（3）． 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小． 【清单04】不等式的解法 1. 一元二次不等式的解法 定义：设为实数，且，形如的不等式统称为一元二次不等式. 像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 设一元二次方程的两根为、且，，则不等式的解的各种情况 如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 2．含参的一元二次不等式 如何求含参数的一元一元二次不等式的解集？ 即：解关于x的不等式 “三步曲”： ①解方程——常对“”的正负进行讨论． ②画草图—— 常对的正负进行讨论． ③写解集——常对两根的大小进行讨论． 故对含参的一元二次不等式大致可以分为三类：①判别式；②二次项系数；③根的大小． 3.分式不等式的解法 （1）基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要． （2）基本方法： ①通过移项，将分式不等式右边化为零； ②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：（1）； （2）； （3）；（4）． 4.绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之． （1）利用绝对值的含义解不等式 绝对值的实际含义，就是数轴上两点之间的距离．所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解． （2）平方法解绝对值不等式 当不等式的两边都出现绝对值（或恒大于等于零）时，就可以利用不等式可两边平方的性质来去掉绝对值符号． （3）零点分段法（分段讨论）解绝对值不等式 一般地，当无法直接去绝对值，或者出现多个绝对值符号时，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号． ① ； ② . 【清单05】基本不等式 1.定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立. 2.定理：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 3.常用不等式：，当且仅当时等号成立. 4.三角不等式定理：对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 【考点题型一】等式的性质与方程的解 【例1】设为实数，求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，解集为． 【解析】因为， 当时，方程变为解集为； 当时，方程，解得， 方程的解集为． 【变式1-1】若方程的解集为单元素集，则m的值为 ． 【答案】或 【解析】当时，方程的解为，其解集为单元素集，则， 当时，由，解得，原方程有等根，其解集为单元素集， 所以m的值为或. 故答案为：或 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【解析】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以 ，可得，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】求关于x的一元二次方程的解集． 【答案】答案见解析 【解析】元二次方程，， 当，即时，原方程无解； 当，时，解得， 当，时，解得， 所以当时，原方程解集为空集；当时，原方程的解集为； 当时，原方程的解集为． 【考点题型二】韦达定理 【例2】已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为一元二次方程的两根为与， 所以，， 所以； （2）因为， 则， 又， 所以 ． 【变式2-1】若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以 . 故答案为： 【变式2-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 【答案】2 【解析】由题知，，解得且． 因为，，所以，所以或． 又因为且，所以的值是2． 【变式2-3】已知方程的两根为、且满足，求实数的值. 【答案】或. 【解析】当，即时，有、. 由，得. 所以. 由根与系数的关系，得，， 所以，解得； 当，即时，方程有一对共轭虚根为， 即， 所以，解得. 综上所述，实数的值为或. 【考点题型三】一元二次方程根的分布 【例3】关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)；(2)(3). 【解析】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 【变式3-1】已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 【变式3-2】设a为整数，且方程有两个正数根，且一根比1大，一根比1小，则a= . 【答案】1 【解析】因为有两个正数根，所以，解得， 又因为a为整数，所以或， 当时，，解得，所以符合题意， 当时，，解得，所以不符合题意. 综上得，. 故答案为：1. 【考点题型四】代数式比大小 【例4】，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【解析】因为， 则 由 所以 故答案为： 【变式4-1】已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】由作差法得， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 【变式4-2】已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析；等号成立的条件为 【解析】由题意可知：， 因为，则，且，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 等号成立的条件为. 【变式4-3】若，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【变式4-4】已知，试比较与的大小. 【答案】 【解析】， ，. 两数作商 ， . 【考点题型五】利用不等式性质证明 【例5】若，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 【变式5-1】如果，则正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】因为，所以 对于A，不妨令，则有，但，故A错误； 对于B，令，则虽有，但，故B错误； 对于C，因为，所以， 又，所以两式相加得，故C正确； 对于D，不妨令，则有，但，故D错误. 故选：C. 【变式5-2】已知实数，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】，为充要条件， 故选：C． 【变式5-3】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【考点题型六】利用不等式的性质求代数式的范围 【例6】如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【解析】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 【变式6-1】是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【答案】B 【解析】当时，可取、符合题意，但此时不能得到； 当时，有，，即成立； 故是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式6-2】若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，故，则， 又，故. 故答案为： 【变式6-3】已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，， 则两式相加得，故， 因为， 所以，， 则两式相加得. 故答案为：，. 【考点题型七】不等式的解法 【例7】求下列不等式（组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【解析】（1）， 解得或. 故原不等式的解集为； （2）， 解得.故原不等式的解集为. （3）或， 解得或. 故原不等式的解集为. （4）解不等式，得； 解不等式，得. 因为，所以原不等式组的解集为. 【变式7-1】求下列关于x的不等式或不等式组的解集. (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解析】（1）等价于，解得， 的解集为； （2）由可得，由可得， 综上，，不等式组的解集为 （3）由可得， 当时，；当时，；当时，； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【变式7-2】若的解集为，解不等式：. 【答案】 【解析】因为的解集为， 所以，且1和3是方程， 所以，得 则所求不等式变为， 所以，即，解得或. 所以所求不等式的解集为. 【变式7-3】已知关于的不等式的解集为A. (1)当时，求集合A； (2)若，求实数a的取值范围. (3)若，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）当时，可化为，等价于且 ，解得：， 即不等式的解集为. （2）若，则有或 解得或， 所以实数a的取值范围. （3）若，则有，解得或 若，则有或，解得 所以实数a的取值范围. 【变式7-4】解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析. 【解析】解：原不等式可化为． ①若，即，此时原不等式的解集为或； ②若，即，此时原不等式的解集为； ③若，即，此时原不等式的解集为或． 【变式7-5】已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 【答案】． 【解析】由不等式，解得或， 解方程，解得或． ①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得； ②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 【考点题型八】不等式恒成立问题 【例8】若一元二次不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】解：易知，当时，，解得， 当时，二次函数开口向下，不合题意， 综上，的取值范围为. 【变式8-1】若不等式对一切实数恒成立，则实数的范围是 【答案】 【解析】， 所以恒成立等价于恒成立， 即不等式恒成立，所以，解得. 所以实数的范围是. 故答案为： 【变式8-2】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 当时，，此时， 当时，， 当时，，此时， 所以函数的最小值为3， 对一切恒成立，只需， . 故答案为：. 【变式8-3】若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围． 【答案】． 【解析】∵，当且仅当，即时，等号成立． ∴的最小值为4． 又∵关于的不等式的解集不是空集， ∴， 可得或，解得或． 即实数的取值范围为． 【考点题型九】利用基本不等式求最值 【例9】求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1)5；(2)18；(3)4 【解析】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4. 【变式9-1】（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，且，得，当且仅当取等号， 即，所以当时，取得最大值. （2），则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最大值. 【变式9-2】已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵, , , ∴, 即的最小值为2, 当且仅当时等号成立. （2）, 当且仅当,即时取等号. 所以的最大值为. 【考点题型十】利用基本不等式证明 【例10】已知a，，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：，，且， ，当且仅当时等号成立. 又 ， 设函数，， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递减. 又，， ，即. 【变式10-1】已知为正实数，且，求证： . 【答案】证明见解析 【解析】因为为正实数，且， 所以， 同理，， ， 上述三个不等式两边均为正数， 相乘得， 当且仅当时，取等号. 【变式10-2】（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 【考点题型十一】基本不等式的应用 【例11】如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】(1) (2)米时，用料最省． 【解析】（1）解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. （2）解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 【变式11-1】某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? (2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 【答案】(1)人 (2) 【解析】（1）解：依题意得，整理可得， 又因为，解得， 所以调整后的技术人员的人数最多人. （2）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ，得， 整理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，所以. 因此，正整数的最大值为. 【变式11-2】货车以x千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规则限制（单位：千米/时），假没汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时50元. (1)求这次行车总费用y（元）关于x（千米/时）的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值.（所有结果精确到1） 【答案】(1) (2)当x为时，这次行车的总费用y最低，最低为元 【解析】（1）由题意汽车行驶的时间小时， 则； （2）由（1）得， 当且仅当，即时取等号， 所以当x为时，这次行车的总费用y最低，最低为元. 【考点题型十二】三角不等式 【例12】已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明： ， 又因为， 所以，，所以 所以成立． 【变式12-1】（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为Ø，求实数a的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）a>-1；（3）a≤-1. 【解析】（1）， 因为关于x的不等式的解集为R， 所以a大于的最大值1即可，即a>1； （2）设， 当x<1时，f(x)=-x+1+x-2=-1， 当x>2时，f(x)=x-1-x+2=1， 当1≤x≤2时，f(x)=x-1+x-2=2x-3， 故-1≤≤1，的最小值为-1， 因为关于x的不等式有实数解， 所以a大于的最小值-1即可，即a>-1； （3）由（2）得，的最小值为-1， 因为关于x的不等式的解集为空集，所以 a小于等于的最小值-1即可，即a≤-1. 【变式12-2】已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵， 又且， ∴， ∴该不等式得证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$