18.1.2 平行四边形的判定 教案 2023-2024学年人教版八年级数学下册

18.1.2 平行四边形的判定（第1课时） 教材分析 平行四边形的判定是中学学习的主要内容之一.纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移以及平行四边形的性质等平面几何知识，并且具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的.这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习菱形、矩形及正方形等知识的基础，起着承前启后的作用. 学情分析 初中八年级的学生已经逐步形成了自己的思维模式，能够自己进行简单的观察、分析、猜想、归纳、概括，教师只需要起引导作用，培养学生自我学习的能力. 教学设计 教学分析 教学目标 1．数学抽象目标：通过猜想、验证、推理、交流等数学活动.发展学生的动手操作能力、合情推理能力以及应用数学意识. 2．逻辑推理目标：掌握平行四边形的判定方法；会用平行四边形的判定方法进行简单的推理；使学生掌握证明与举反例是判断一个数学命题是否成立的基本方法. 3．数学建模目标：探索并掌握平行四边形的判定条件：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4．直观想象目标：通过平行四边形判定条件的探索过程.丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力及创新意识. 课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习、全等的三角形纸板 教学过程 一、设计问题，创设情境 老师在实验室碰碎了一块平行四边形的玻璃片，玻璃片恰恰从顶点A，C处碎掉，剩下部分如图，老师想去割一块赔给学校，可带上玻璃又不安全，于是想把原来的平行四边形画出来，然后带上图纸就行了.你能帮老师画出原来的平行四边形吗？并且说明你的理由. （设计意图：教材中并没有这样设计，这里创造情境地设计问题，变“教教材”为“用教材”体现了教师不仅是课程教材的执行者，而且是课程教材的开发者这样一种理论，这本身就是一种创新.并且这样设计能充分调动学生主动参与学习活动，经历和体验平行四边形的生成过程，使学生在课堂活动过程中感悟知识的形成、发展与变化.） 二、学生探索，尝试解决 1．动手画． 上面的问题提出来以后，学生积极参与小组讨论，全身心地处在创造的激情之中，思维异常活跃，小组讨论气氛热烈.当我走下讲台巡视时，很多同学已画好了以AC为对角线的平行四边形ABCD，并且正在试图完成其他方案. 师：刚才，同学们在三个不同方位将ΔABC补成了平行四边形ABCD，那么你是如何将它画出来的呢？ ［及时提出问题，使学生形成克服困难的主动积极的心理倾向，并将学生的思维引向深入，由感性上升到理性.］ 学生有的拿着圆规，有的拿着量角器，有的拿着三角板在进行画图，他们一边画，一边讨论，不时发出对某个同学画法正确性的争议.有的同学看到我走过去，将求助的目光投向我. ［这时，老师不应急着作出评判，而是要引导学生自己通过动脑作出正确的画法.］ 师：如何知道一个四边形是不是平行四边形？ 生：用定义判断. 2．师生交流． 几分钟后，不少同学已经完成，开始东张西望，想了解其他小组的讨论结果，看来，火候已到了，教师要及时让同学回到原位，请各小组派代表介绍他们的画法. （设计意图：教师不失时机地结束小组活动，避免了学生因为问题解决不好而失去探究的兴趣，充分而又恰当地发挥了教师的主导作用.） 学生代表1（介绍画法1）：过点A，C分别作BC和AB的平行线交于点D（如图1）， 图1 图2 图3 学生代表2，还可作AD／／BC，BD／／AC，得到平行四边形ADBC. 学生代表3：作BD／／AC，CD／／AB，得到了平行四边形（图略）. 师：再次追问，你怎么知道刚才所画的四边形是平行四边形？ （设计意图：让学生在数学活动中体会证明的必要性并且学会证明，从理性上认识有关数学结论的正确性，） 生：（齐声回答）根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 学生代表4（介绍画法2）：分别以A，B为圆心，以BC，AC长为半径画圆弧交于点D，连接AD，BD（如图2）．即AD=BC,BD=AC,，通过证明，由ΔDAB ΔCBA得出角相等，再推出两组对边平行，根据平行四边形的定义知道所画的四边形是平行四边形. （设计意图：重视学生说理的教学，培养学生的逻辑思维能力.） 学生代表5提出了画法3，画法3：作AC边上的中线BO并延长至点D，使DO=OB，连接CD，AD（如图4），这时可根据“SAS”定理证明ΔCOD 图4 ΔAOB,ΔAOD≅ΔCOB,，进一步证明四边形ABCD是平行四边形. 3．证明猜想 猜想1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC， 在ΔABC和ΔCDA中， AB=CD(已知), AC∼CA(公共边), BC=DA(已知), .ΔABC≅ΔCDA(SSS). :∠1=∠4,∠2=∠3 ∴AB∥CD,AD∥BC. 四边形ABCD是平行四边形， 结论：平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言表述：VAB-DC..AD=B 四边形ABCD是平行四边形. 猜想2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 证明：, ∠A=∠C,∠B=∠D, ., 即 AD／／BC.同理得AB∥CD .四边形ABCD是平行四边形. 结论：平行四边形的判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言表述：∠A=∠C,∠B=∠D 四边形ABCD是平行四边形. 猜想3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在ΔAOB和ΔCOD中， OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD. ∴ΔAOB≅ΔCOD(SAS). :∠BAO=∠OCD. AB／／CD，同理可证AD∥BC. 四边形ABCD是平行四边形. 结论：判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言表述:∵OA=(x,OB-OD)$ 四边形ABCD是平行四边形. 猜想4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，AD。BC且AD／／BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形、 证明：连接AC， AD∥BC ,∠1=∠2. ∵AD=CB,AC=CA, :⋅ΔABC≅ΔCDA(SAS). :∠3=∠4. ∴AB//CD. AD∥BC, 四边形ABCD是平行四边形. 结论：平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言表述：AD-BC且AD∥BC, 四边形ABCD是平行四边形. （设计意图：通过学生探究得出平行四边形的判定方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，又能体现数学的严谨性.） 三、信息交流，得出新知 1．提出问题． 师：刚才，根据平行四边形的定义论证了以上三种方法所画的四边形都是平行四边形.大家能不能分别用一句话来概括一下？并把你的概括说给小组的其他同学听一听，让他们评价一下. 学生以小组为单位归纳概括并互相评价. 2．小组交流：小组代表发言，其他小组的同学作出评价． 3．教师总结：这就是本节课所要学习的平行四边形的判定定理.今后我们可以直接用来判定一个四边形是否是平行四边形.并板书如下： 平行四边形的判定： 1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．判定定理： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （设计意图：通过提出问题的方式，引导学生对前面探索、发现和问题探究的过程与成果进行自我评价，自我总结，对整个课堂的学习过程进行反思，养成学习-总结-反思的良好习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的语言表达能力.） 【例1】已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， :.AO=CO,BO=DO. :AE=CF, :· AO-AE=CO-CF, 即EO=FO. 又：BO=DO, 四边形BFDE是平行四边形. 【例2】已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC 的中点，求证：BE=DF. 分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB,AD=CD. E，F分别是AD，BC的中点， ∴DE∥BF，且 ∴DE=BF. 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∴BE=DF. （设计意图：通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力.） 四、跟踪练习，巩固新知 1．填空：如图，在四边形ABCD中 （1）若AB／／CD，补充条件 ，使四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AB=CD,，补充条件 ，使四边形ABCD 为平行四边形； （3）若对角线AC，BD交于点O,OA=OC=3,OB=5，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形. 2．如图，在四边形ABCD∠1=85°, （1）求/D的度数； （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，AB，CD相交于点O，AC／／DB，AO＝BO，E，F 分别是OC，OD的中点. 求证：（1）ΔAOC ΔBOD； （2）四边形AFBE是平行四边形． 【参考答案】 1．（1）AD／／BC，或者AB=CD (2)AD=BC或者AB//CD (3)OD=5 2．（1）解： 88=55°，·．四边形ABCD是平行四边形． 3．证明：（1）：AC／／BD，：∠C=∠D..在ΔAOC和BOD中，∴∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,OA=OB, .ΔAOC≅ΔBOD(AAS) (2)ΔAOC≅ΔBOD,∴CO=DO.∵E,F分别是OC， OD的中点， . ∴EO=FO.又∵AO=BO,∴四边形AFBE是平行四边形. 五、交流分享，共同成长 1．在应用判定方法判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法. 2．用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等来解决. 3．平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法. 六、反思小结，达标检测 判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考？具体有哪些方法？ 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 判定理理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 18.1.2 平行四边形的判定（第2课时） 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标：理解三角形中位线的概念，掌握它的定理. 2．逻辑推理目标：经历中位线定理探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.（难点） 3．数学建模目标：能运用综合法证明有关三角形中位线定理的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.（重点） 4．数学运算目标：能较熟练地应用三角形中位线定理进行有关的证明和计算.（重点） 课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习 教学设计 一、设计问题，创设情境 1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？ （答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题.） 我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？ 如图，ΔABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 问题：看一看，量一量，猜一猜：DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？ 猜想： 二、学生探索，尝试解决 思考：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （答：①一个三角形的中位线共有三条；②三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线.） （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 如图，D，E分别是ΔABC的边AB，AC的中点. 求证： 分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍后，可以将证明BC转化为证明延长后的线段与BC相等，此时，能否通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明？ 证明：如图，延长DE到点F，使EF=D，连接FC,DC,AF. :AE=EC,DE=EF, 四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥AD,CF=AD. ·AD=BD, :CF∥BD,CF=BD, 四边形BDFC为平行四边形， ∴DF//BC,DF=BC. : 三、信息交流，得出新知 你能用一句话概括你的猜想和证明吗？ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言表述：DE是三角形中位线， 【例题】已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 分析：因为已知E，F，G，H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线定理找到与四边形EFGH边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证. 证明：如图，连接AC，在ΔDAC中， AH=HD,CG=GD, :角形中位线定理）. 同理，AC :·HG∥EF.，且HG=EF. 四边形EFGH是平行四边形. 此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 四、跟踪练习，巩固新知 1．如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在RtΔABC中，＜B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，若AB=6,BC=8，则四边形AEDF的周长是 ( ) A.18 B.16 C.14 D.12 3．如图，在ΔABC中，E是AB的中点，AF交BC于点F，CD平分／ACB，且CDLAF，垂足为D，连接DE，若BC=12,AC=8，则DE的长为（ ） A.2 B.2.5 C.3 D.4 【参考答案】 1.C 2.B 3.A 五、变式演练，深化提高 如图，O是ΔABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG. 求证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：连接OA. 在ΔAOB中，D，E为AB，BO的中点， DE为ΔAOB的中位线， : 同理可证， ∴GF∥DE,GF=DE. .四边形DEFG是平行四边形. 六、反思小结，达标检测 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2．三角形中位线定理揭示了三角形中位线与第三边的位置关系和数量关系，当图形中有中点或中线时，常常想到连接中点构造中位线来判定平行和倍分关系. 3．前面几节课我们用三角形知识研究了平行四边形问题，本节课我们用平行四边形研究了三角形的问题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$