6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点之间的距离公式与中点坐标公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 6．2．3　平面向量的坐标及其运算 第1课时　平面向量的坐标及其运算、两点之间的 距离公式与中点坐标公式 (教师独具内容) 课程标准：1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 教学重点：1．了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式． 教学难点：平面向量坐标运算的应用． 核心素养：1．通过学习向量的正交分解及坐标表示培养数学抽象素养．2．通过学习平面向量的坐标运算、平面直角坐标系内两点之间的距离公式和中点坐标公式提升数学运算素养． 知识点一　平面向量的坐标 (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b． (2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底． (3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (4)平面向量的坐标 ①一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． ②如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量(O为坐标原点)对应的坐标也为(x，y)，即＝(x，y)；反之，这一结论也成立． 知识点二　平面上向量的运算与坐标的关系 (1)向量的运算 已知平面上的两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． ①a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2．即平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等． ②a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． ③ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)． ④ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)． (2)向量的模：如果向量a＝(x，y)，则|a|＝． 知识点三　两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点． (1)两点之间的距离公式 AB＝||＝． (2)中点坐标公式 设线段AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝． 1．(正交基底下向量的坐标)在平面直角坐标系内，已知i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示为a＝________． 答案：(1，－2) 2．(向量坐标与其起点坐标、终点坐标的关系)若点A(3，5)，B(2，1)，则向量的坐标为________． 答案：(－1，－4) 3．(向量的坐标运算)若a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是________． 答案：(－3，－4) 4．(中点坐标)已知点M(－2，5)，N(6，－1)，则MN的中点坐标为________． 答案：(2，2) 题型一　平面向量的坐标表示　 　已知向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O； ④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误． [答案]　A 【感悟提升】求平面向量坐标的三种方法 (1)定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来． (2)平移法：将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． (3)作差法：用向量终点的坐标减去始点的坐标． 【跟踪训练】 1．如图，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． 解：由题图可知a＝＋＝2i＋3j， ∴a＝(2，3)． 同理可得b＝－2i＋3j＝(－2，3)，c＝－2i－3j＝(－2，－3)，d＝2i－3j＝(2，－3)． 题型二　平面向量的坐标运算　 　设向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标． (1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b． [解]　(1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． (3)3a＝3(－1，2)＝(－3，6)． (4)2a＋5b＝2(－1，2)＋5(3，－5)＝(－2，4)＋(15，－25)＝(13，－21)． 【感悟提升】平面向量坐标的线性运算 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行计算． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行． 【跟踪训练】 2．(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则|c|＝________． 答案： 解析：由已知得3c＝－a＋2b＝(－5，2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c＝，所以|c|＝＝． (2)已知向量a＝(x2－3x－4，x＋3)，b＝(0，2)，若a＝b，求x的值． 解：因为a＝b，所以 解得x＝－1． 题型三　两点之间的距离公式与中点坐标公式　 　已知平面内的三个点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)． (1)求＋的坐标； (2)求AB＋AC的长． [解]　(1)∵A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)， ∴＝(7－1，0＋2)＝(6，2)， ＝(－5－1，6＋2)＝(－6，8)． ∴＝(－3，4)， ∴＋＝(6，2)＋(－3，4)＝(3，6)． (2)由两点之间的距离公式，得 AB＝＝＝2， AC＝＝＝10， ∴AB＋AC＝10＋2． 故AB＋AC的长为10＋2． 【感悟提升】两点之间的距离公式与中点坐标公式的运用 (1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标． (2)求线段的长度时，注意利用两点之间的距离公式求解． 【跟踪训练】 3．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，M为BC的中点． (1)求点M的坐标； (2)求BC＋2BM的长． 解：(1)设C(x，y)，则＝(x－0，y－1)＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即解得 所以C(－4，－2)， 由中点坐标公式知，M， 即M． (2)由两点之间的距离公式，可知 BC＝＝＝， BM＝＝＝． 所以BC＋2BM＝＋＝2． 所以BC＋2BM的长为2． 题型四　平面向量坐标运算的应用　 　(2024·云南曲靖高一月考)已知点O(0，0)，A(2，1)，B(4，3)，＝＋t． (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． [解]　(1)＝＋t＝(2，1)＋t(4，3)＝(4t＋2，3t＋1)，因为点P在第一象限，所以解得t＞－，即t的取值范围为． (2)若四边形OABP是平行四边形，则＝，由(1)，知＝(4t＋2，3t＋1)，而＝(2，2)，所以方程组无解，故四边形OABP不能成为平行四边形． 【感悟提升】 1．进行向量坐标运算的常见方法 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用． (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解． (3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数． 2．利用向量的坐标运算求参数的思路 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解． 【跟踪训练】 4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，2)，B(4，3)，C(3，6)，＝＋λ(λ∈R)． (1)当实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上？ (2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围． 解：设P(x，y)，因为＝＋λ， 所以＝＋＝＋＋λ＝＋λ＝(4，3)＋λ(4，4)＝(4＋4λ，3＋4λ)． (1)因为点P在第二、四象限的角平分线上，所以x＝－y， 所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－， 所以当λ＝－时，点P在第二、四象限的角平分线上． (2)因为点P在第三象限内， 所以所以解得λ<－1． 所以若点P在第三象限内，则实数λ的取值范围为(－∞，－1)． 1．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则＝(　　) A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1) 答案：D 解析：∵＝－＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)，∴＝(2，1)． 2．向量a，b，c如图所示，则向量a，b，c的坐标分别是(　　) A．(4，0)，(0，6)，(2，5) B．(－4，0)，(0，－6)，(－2，5) C．(4，0)，(0，－6)，(－2，－5) D．(－4，0)，(0，6)，(－2，－5) 答案：D 解析：解法一：将各向量用单位向量i，j表示为a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)．b＝0i＋6j，∴b＝(0，6)．c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 解法二：分别将向量a，b，c的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a＝(－4，0)，b＝(0，6)，c＝(－2，－5)． 解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6，2)－(－2，2)＝(－4，0)，b＝(2，6)－(2，0)＝(0，6)，c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)． 3．(多选)若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则下列结论正确的是(　　) A．x＝3 B．y＝－1 C．a＋2b＝(3，9) D．|a－2b|＝ 答案：AC 解析：由题意可得解得所以a＝b＝(1，3)，则a＋2b＝3a＝(3，9)，|a－2b|＝|－b|＝|b|＝＝．故选AC． 4．已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则OP的长为________． 答案： 解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y－2)，而＝(－3，－3)，∵2＝， ∴解得 故OP的长为＝． 5．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________． 答案：－4 解析：以a，b的公共起点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，2)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，即(－1，－3)＝λ(2，2)＋μ(6，2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，∴解得∴＝－4． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 平面向量的坐标运算 利用平面向量的坐标运算求模 平面图形中向量的坐标运算 利用平面向量的坐标运算求模 平面直角坐标系的建立及应用 正交基底下向量的坐标表示 平面向量坐标运算的应用 两点之间的距离公式 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示及运算 由平面向量的坐标运算求参数 平面图形中向量的坐标运算 平面图形中向量的坐标运算；两点间的距离公式 由平面向量的坐标运算求参数 平面向量的坐标运算及在几何图形中的应用 平面向量的坐标运算及应用 一、单选题 1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　) A．(－1，2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(1，2) 答案：A 解析：a－b＝(1，1)－(1，－1)＝＝(－1，2)． 2．(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：B 解析：向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则a＝(0，2)，b＝(2，1)，所以|a|2－|b|2＝4－5＝－1．故选B． 3．(2024·江西临川一中高一阶段考试)已知▱ABCD中，＝(－3，7)，＝(4，3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：∵＝(－3，7)，＝(4，3)，根据平行四边形法则，可得＝＋＝(－3，7)＋(4，3)＝(1，10)，则＝＝． 4．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则|b|＝(　　) A． B．2 C． D．2 答案：A 解析：b＝(3，2)－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)，故|b|＝＝． 5．(2024·湖北武汉二中高一月考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，M，N分别为CD，AD的中点，则|－2|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D． 答案：D 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，D(1，2)，C(3，0)，M(2，1)，N，∴＝(2，1)，＝，∴－2＝(2，1)－2＝(1，－3)，∴|－2|＝＝．故选D． 二、多选题 6．(2024·福建福清三中高一月考)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j C．＝－5i＋j D．＝5i＋j 答案：AC 解析：＝(2，3)＝2i＋3j，A正确；＝(－3，4)＝－3i＋4j，B错误；＝(－5，1)＝－5i＋j，C正确；＝－＝5i－j，D错误．故选AC． 7．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)线性相关的实数为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的取值可以为(　　) A．k1＝－4，k2＝2，k3＝1 B．k1＝3，k2＝，k3＝ C．k1＝2，k2＝－1，k3＝－ D．k1＝6，k2＝1，k3＝ 答案：AC 解析：因为向量a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的，所以k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，即k1(1，0)＋k2(1，－1)＋k3(2，2)＝0，即(k1＋k2＋2k3，－k2＋2k3)＝0，所以 结合选项，可知A，C满足①②．故选AC． 三、填空题 8．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB＋2BC＝________． 答案：5 解析：AB＝＝，BC＝＝2，故AB＋2BC＝＋4＝5． 9．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________，＝________，＝________． 答案：(1，－1)　(1，1)　(－1，1) 解析：根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又＝(－1，－1)，O为坐标原点，∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)，∴＝(1，－1)，＝(1，1)，＝(－1，1)． 10．已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝－，则的坐标为________． 答案：(－2，－4) 解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意，得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6)．因为＝，所以解得所以C(0，4)，又因为＝－，所以解得所以D(－2，0)，所以＝(－2，－4)． 四、解答题 11．已知a＝(3x＋4y，－2x－y)，b＝，若2a＝3b，试求x与y的值． 解：∵a＝(3x＋4y，－2x－y)， b＝， ∴由2a＝3b可得(6x＋8y，－4x－2y)＝， ∴解得 12．已知△ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N分别是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求． 解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)． 又因为D是BC的中点， 所以＝(＋)＝． 又M，N分别为AB，AC的中点， 所以F为AD的中点， 故有＝＝－＝． 13．(2024·江苏无锡一中高一月考)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，5)，B(－2，4)，C(－6，－4)，M是边BC上的一点，且△ABM的面积等于△ABC面积的，那么线段AM的长为(　　) A．5 B． C． D． 答案：A 解析：由于△ABM的面积等于△ABC面积的，故BM＝BC，设M(x，y)，由＝，得(x＋2，y－4)＝(－4，－8)＝(－1，－2)，解得x＝－3，y＝2，即M(－3，2)，所以|AM|＝＝5．故选A． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝45°，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 答案：2 解析：因为||＝2，∠AOC＝45°，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2． 15．已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(x，y)． (1)求3－2＋的坐标； (2)若A，B，C，D四点顺次连线构成平行四边形ABCD，求点D的坐标． 解：(1)∵＝(1，3)，＝(2，4)，＝(1，1)， ∴3－2＋＝3(1，3)－2(2，4)＋(1，1)＝(0，2)． (2)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝， 又＝(x－1，y＋2)， ∴解得 故点D的坐标为(2，－1)． 16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)． (1)若＋＋＝0，求的坐标； (2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)． (2)设点P的坐标为(x0，y0)， 因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)， 因为＝m＋n， 所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， 所以 两式相减，得m－n＝y0－x0， 又因为点P在函数y＝x＋1的图象上， 所以y0－x0＝1，所以m－n＝1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$