6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 6．2．2　直线上向量的坐标及其运算 (教师独具内容) 课程标准：1．理解直线上向量的坐标的定义．2．会进行直线上向量的坐标运算． 教学重点：1．掌握求直线上向量的坐标的方法．2．熟练进行直线上向量的坐标运算．3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式． 教学难点：直线上向量坐标的应用． 核心素养：1．通过学习直线上向量的坐标的定义培养数学抽象素养和直观想象素养．2．通过学习直线上向量的运算与坐标的关系提升数学运算素养． 知识点一　直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 |a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e为单位向量)． 当x>0时，a的方向与e的方向相同； 当x＝0时，a是零向量； 当x<0时，a的方向与e的方向相反． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 知识点二　直线上向量的运算与坐标的关系 (1) 法则(或公式) 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等的法则 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2 直线上求两个向量和的坐标的法则 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e 直线上向量的坐标公式 直线上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 向量的坐标为x2－x1(A的坐标为x1，B的坐标为x2) (2)数轴上两点之间的距离公式：AB＝||＝|x2－x1|，其中点A的坐标为x1，点B的坐标为x2． (3)数轴上的中点坐标公式：若M(x)是线段AB的中点，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则x＝． 1．(数轴上两点之间的距离公式)若数轴上A，B两点的坐标分别为2，5，则A，B两点的距离为(　　) A．7 B．3 C．10 D．－3 答案：B 2．(直线上向量的运算)直线上向量a的坐标为－4，b的坐标为3，则a＋b的坐标为________． 答案：－1 3．(直线上向量的运算与坐标的关系)已知数轴上A，B两点的坐标分别为3，－2，则的坐标为________，长度为________，AB的中点坐标为________． 答案：－5　5　 题型一　直线上向量的坐标　 　已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标． (1)a＝e，b＝－3e；(2)a＝－2e，b＝e． [解]　(1)因为a＝e，所以a的坐标为， 因为b＝－3e，所以b的坐标为－3． (2)因为a＝－2e，所以a的坐标为－2， 因为b＝e，所以b的坐标为． 【感悟提升】求直线上向量坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来． (2)将向量始点平移到原点，读出终点的坐标． 【跟踪训练】 1．如图，求出直线上a，b的坐标． 解：设e是直线上与b同向的一个单位向量，将向量a的始点平移到原点O，则a＝－2e，可知a的坐标为－2． 将向量b的始点平移到原点O，则b＝2e，所以b的坐标为2． 题型二　直线上向量的运算与坐标的关系　 　(1)已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为6，求a－b及2a＋b的坐标． [解]　a－b的坐标为－3－6＝－9． 2a＋b的坐标为2×(－3)＋×6＝－4． (2)已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d． ①若向量的坐标为5，求c的值； ②若BD＝6，求d的值； ③若＝－3，求证：3＝－4． [解]　①∵向量的坐标为5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1． ②∵BD＝6，∴|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8． ③证法一：∵向量的坐标为c＋4，向量的坐标为d＋4， 又＝－3， ∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16． 这时3的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48， －4的坐标为－4[c－(－4)]＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48， ∴3＝－4． 证法二：∵＝＋＝－＋， 而＝－3， ∴＝－(－3)＋＝4，∴3＝12， 又－4＝－4×(－3)＝12， 故3＝－4． 【感悟提升】直线上向量坐标运算的方法 (1)在直线上，若a，b的坐标分别为x1，x2，则ua＋vb，ua－vb的坐标分别为ux1＋vx2，ux1－vx2． (2)在数轴上，若点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则的坐标为x2－x1，即直线上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．的长度||＝|x2－x1|，即AB＝|x2－x1|． 【跟踪训练】 2．(1)已知e是直线l上的单位向量，a与b都是直线l上的向量，且a＝e，b＝4e，求5a－2b的坐标及． 解：5a－2b的坐标为5×－2×4＝－6． a＋b的坐标为＋×4＝， 故＝． (2)已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1． ①x2＝－5，向量的坐标为－3； ②x2＝－1，AB＝2； ③x2＝－3，AB的中点坐标为2． 解：①因为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8． ②因为AB＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3． ③因为＝2，所以x1＝7． 1．已知e是直线l上的一个单位向量，a＝4e，b＝－2e，则a＋b的坐标为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．4 答案：B 解析：因为a＝4e，b＝－2e，所以a＋b＝4e－2e＝2e，故a＋b的坐标为2．故选B． 2．已知数轴上点A的坐标为－5，向量的坐标为－7，则点B的坐标是(　　) A．－2 B．2 C．12 D．－12 答案：D 解析：∵xA＝－5，向量的坐标为－7，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12．故选D． 3．(多选)已知直线上向量a的坐标为3，b的坐标为－2，则下列结论正确的是(　　) A．a＋2b的坐标为－1 B．2a－3b的坐标为－12 C．|a＋2b|＝1 D．|2a－3b|＝12 答案：ACD 解析：因为向量a的坐标为3，b的坐标为－2，所以a＋2b的坐标为3＋2×(－2)＝－1，2a－3b的坐标为2×3－3×(－2)＝12．故|a＋2b|＝1，|2a－3b|＝12．故选ACD． 4．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，若x2＝3且||＝7，则x1＝________． 答案：－4或10 解析：||＝|3－x1|＝7，解得x1＝10或x1＝－4． 5．已知数轴上A，B两点的坐标依次为x1＝－2，x2＝5，则对应的坐标为________，|AB|＝________，若点P也在该数轴上，且对应的坐标为－8，则点P对应的坐标是________． 答案：－7　7　－3 解析：数轴上A，B两点的坐标依次为x1＝－2，x2＝5，则对应的坐标为x1－x2＝－2－5＝－7，|AB|＝|x2－x1|＝|5－(－2)|＝7．设点P对应的坐标是x，因为对应的坐标为x－x2＝x－5＝－8，所以x＝－3，即点P对应的坐标是－3． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 直线上向量的坐标 数轴上两点之间的距离公式 直线上向量的坐标运算 直线上向量的坐标运算和模运算 直线上向量的运算和坐标的关系 直线上向量的坐标；向量的运算与坐标的关系 由直线上向量的运算求参数 数轴上的中点坐标公式 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 直线上向量的坐标运算；数轴上两点之间的距离公式 直线上向量的模和方向 直线上向量的坐标运算 数轴上向量的坐标运算和模运算 数轴上向量的坐标运算；数轴上两点之间的距离公式 求数轴上点的坐标；数轴上的中点坐标公式 方程组法求直线上向量的坐标 求数轴上点的坐标；和向量模的不等式 一、单选题 1．已知a是直线l上的任一向量，e是直线l上的一个单位向量，x为实数，且a＝xe．则下列说法正确的个数为(　　) ①存在无数个x，使得a＝xe； ②|a|＝|x|； ③a的方向与e的方向始终相同，与x的正负无关； ④当x＝0时，a是零向量． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：存在唯一的实数x，使得a＝xe，①错误；当x>0时，a的方向与e的方向相同．当x<0时，a的方向与e的方向相反，③错误；当x＝0时，a＝0，|a|＝0，当x≠0时，|a|＝|x|，②④正确．故选B． 2．(2024·四川南充高级中学高一月考)数轴上点A，B的坐标分别为－1，2，则向量的长度是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．3 答案：D 解析：由已知，得向量的坐标为2－(－1)＝3，则||＝3． 3．直线上向量a，b，c的坐标分别为3，－2，5，则向量a－b＋c的坐标为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 答案：C 解析：因为向量a，b，c的坐标分别为3，－2，5，则向量a－b＋c的坐标为×3－×(－2)＋5＝7．故选C． 4．直线上向量a，b的坐标分别为－3，5，则向量3a－2b的坐标和模分别是(　　) A．－19，19 B．21，21 C．－19，5 D．1，1 答案：A 解析：由题意可知，向量3a－2b的坐标为3×(－3)－2×5＝－19，向量3a－2b的模为|－19|＝19．故选A． 5．已知e是直线l上的单位向量，a，b是直线l上的向量，a＝e，b＝－2e，则|5a＋2b|＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：∵5a＋2b＝5×e＋2×(－2e)＝e－4e＝－3e，∴|5a＋2b|＝|－3e|＝3．故选D． 二、多选题 6．(2024·辽宁辽阳协作校期末)已知e是直线l上的一个单位向量，a与b都是直线l上的向量，且a＝e，b＝－e，则(　　) A．b的坐标为 B．a＋b的坐标为－ C．4a＋6b的坐标为－3 D．|4a＋6b|＝－3 答案：BC 解析：根据题意可得a的坐标为，b的坐标为－，故A错误；a＋b的坐标为－＝－，故B正确；4a＋6b的坐标为4×＋6×＝－3，故C正确；|4a＋6b|＝3，故D错误．故选BC． 7．如图，P1，P2，P是直线l上不同的三点，P2在线段P1P上，P2不与P1和P重合，且＝λ，则实数λ的取值可以是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．－ 答案：AB 解析：∵与的方向相反，∴λ<0．又＝λ，∴||＝|λ|||，∴λ＝－，由题图可知，||>||，∴λ<－1．故选AB． 三、填空题 8．设数轴上两点A，B的坐标分别是2，6，则AB的中点C的坐标是________． 答案：4 解析：∵xA＝2，xB＝6，∴AB的中点C的坐标为xC＝＝＝4． 9．数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，－1，－5，则向量＋的坐标为________，AC＋BC＝________． 答案：－10　10 解析：向量＋的坐标为－6＋(－4)＝－10，AC＋BC＝6＋4＝10． 10．已知向量的方向是东南方向，且||＝4，则向量－2的方向是________，|－2|＝________． 答案：西北方向　8 解析：由已知的方向是东南方向，且||＝4，故－2的方向是西北方向，且|－2|＝|－2|||＝2×4＝8． 四、解答题 11．已知直线上向量a的坐标为3，b的坐标为－4，c的坐标为．求下列向量的坐标： (1)a－b；(2)－a；(3)a＋b＋c；(4)4a＋3b＋6c． 解：(1)a－b的坐标为3－(－4)＝7． (2)－a的坐标为－×3＝－． (3)a＋b＋c的坐标为3＋(－4)＋＝－． (4)4a＋3b＋6c的坐标为4×3＋3×(－4)＋6×＝3． 12．在数轴x上，点A，B的坐标分别为a，b，的坐标为a－2． (1)求的坐标； (2)若b＝5，求|2－|． 解：(1)∵的坐标为xC－xA， ∴xC＝xA＋(a－2)＝a＋(a－2)＝2a－2， ∴的坐标为xC－xB＝(2a－2)－b＝2a－b－2． (2)∵的坐标为a－2，的坐标为2a－b－2， ∴2－的坐标为2(a－2)－(2a－b－2)＝b－2． 又b＝5，故|2－|＝|b－2|＝3． 13．已知点M，M1，M2是数轴上的三点，M1，M2的坐标分别为－1，4，且＝－2，则M与M2之间的距离为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案：C 解析：设点M的坐标为x，则的坐标为x－(－1)＝x＋1，的坐标为4－x，故x＋1＝－2(4－x)，解得x＝9，故M与M2之间的距离为MM2＝|4－9|＝5．故选C． 14．(2024·山东寿光高一月考)已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－2)，且＝3＋4，则线段AP的中点坐标为________． 答案：2 解析：∵＝3＋4，∴点P的坐标为3×3＋4×(－2)＝1，∴线段AP的中点坐标为＝2． 15．(2024·湖南株洲一中高一检测)已知a，b，c是直线l上的向量，向量4a－3b，3a＋c的坐标分别为1，－3，且|a＋c|＝1，求a，b，c的坐标． 解：设a，b，c的坐标分别是x，y，z． 因为向量4a－3b，3a＋c的坐标分别为1，－3， 且|a＋c|＝1， 所以解得或 所以a，b，c的坐标分别是－2，－3，3或－1，－，0． 16．已知数轴上的点A(－2)，B(x)，C(3)． (1)若点A是线段BC的一个三等分点，求x的值； (2)求||＋||的最小值． 解：(1)因为点A是线段BC的一个三等分点， 所以＝3或＝． 因为A(－2)，B(x)，C(3)， 所以3－x＝3×[3－(－2)]或3－x＝×[3－(－2)]， 所以x＝－12或x＝－． (2)因为||＋||≥|＋|＝||＝5，当且仅当与同向时取等号，所以当x∈[－2，3]时，||＋||取得最小值5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$