6.1.4 数乘向量-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 6．1．4　数乘向量 (教师独具内容) 课程标准：通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1．数乘向量的定义及其几何意义．2．数乘向量的运算律． 教学难点：数乘向量的应用． 核心素养：1．通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律培养数学抽象素养和直观想象素养．2．通过应用数乘向量解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　数乘向量的定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量． 知识点二　数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小． 知识点三　数乘向量的运算律 λ(μa)＝(λμ)a． 知识点四　向量平行与三点共线 (1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a． (2)一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线． [拓展]　给定一个非零向量a，与a同方向的单位向量记作a0，则a＝|a|a0且a0＝． 1．(数乘向量的运算律)若a＝e，b＝e(e为非零向量)，则a＝________b． 答案：2 2．(数乘向量的定义)若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，则b＝________a． 答案：－2 3．(数乘向量的应用)若点C在长度为3的线段AB上，且＝，则||＝________． 答案：2 题型一　数乘向量的定义　 　设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a [解析]　当λ<0时，a与－λa的方向相同，故A不正确；当|λ|<1时，|－λa|＝|λ||a|<|a|，故B不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故C正确；|－λa|是实数，|λ|a是向量，不可能相等，故D不正确．故选C． [答案]　C 【感悟提升】对数乘向量定义的理解 λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量，λ的符号与λa的方向有关，|λ|的大小与λa的模有关． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·湖北荆州高一期末)已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 答案：C 解析：由数乘向量的模的意义可知|λa|＝|λ||a|，故A，B错误，C正确；当λ＝0或|a|＝0时，|λa|＝0，故D错误．故选C． (2)若a＝－b(b≠0)，则(　　) A．a与b方向相同，|a|＝2|b| B．a与b方向相同，|b|＝2|a| C．a与b方向相反，|a|＝2|b| D．a与b方向相反，|b|＝2|a| 答案：D 解析：∵a＝－b(b≠0)，∴a与b方向相反，|b|＝2|a|．故选D． 题型二　数乘向量的运算　 　下列各式化简正确的是________(填序号)． ①－3×2a＝－5a；②a×3×(－2)＝－3a；③－2＝2；④0×b＝0． [解析]　因为－3×2a＝－6a，a×3×(－2)＝－3a，－2＝2，0×b＝0，所以①④错误，②③正确． [答案]　②③ 【感悟提升】 1．数乘向量的运算技巧 λa中的实数λ称为向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数． 2．λ(μa)＝(λμ)a的几何意义 以λ>0，μ>0为例，解释如下：将表示向量a的有向线段先伸长或缩短至原来的μ倍，再伸长或缩短至其λ倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或缩短至原来的λμ倍所得的结果相同． 【跟踪训练】 2．化简下列各式： (1)4×a；(2)－2××(－3a)． 解：(1)4×a＝－a． (2)－2××(－3a)＝3a． 题型三　数乘向量的应用　 　已知＝e，＝－3e，其中e为非零向量，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点． [解]　因为＝－3e＝－3，所以∥，且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC＝3AB，且向量，反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点． 【感悟提升】数乘向量的应用 (1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a． (2)如果存在实数λ，使得＝λ，则∥，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线． 【跟踪训练】 3．(1)如果e是非零向量，且a＝－2e，3b＝e，那么a，b的关系是(　　) A．相等 B．共线 C．不共线 D．不能确定 答案：B 解析：∵a＝－2e，3b＝e且e为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反． (2)设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是(　　) A．1∶3 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4 答案：B 解析：作出图形如图所示．∵＝2，∴△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝1∶2，又△PAB与△PBC的高相等， ∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2． 1．下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D．e(x，y∈R，且x≠y) 答案：C 解析：因为0·a＝0，所以0·a表示向量；由向量的加法和数乘向量的定义可知a＋3b表示向量；|3a|表示向量3a的模，是一个数；e(x，y∈R，且x≠y)表示向量．故选C． 2．6×(　　) A．化简结果为2a B．与向量a同向 C．与向量a反向 D．其长度为2 答案：C 解析：6×＝a＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|．故选C． 3．(多选)已知向量a＝2e，b＝－6e，其中e为非零向量，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 答案：ABD 解析：因为a＝2e，b＝－6e，e为非零向量，所以b＝－3a，所以a∥b，向量a，b方向相反，|b|＝3|a|．故选ABD． 4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝________． 答案：± 解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|，因为|a|＝3，|b|＝5，则|λ|＝，即λ＝±． 5．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________． 答案：　－ 解析：如图，∵＝，∴＝，＝－． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 数乘向量的定义 任一向量与单位向量的关系 利用数乘向量的定义求参数 利用数乘向量判断几何图形的形状 利用数乘向量判断点与线的关系 数乘向量的运算 数乘向量的定义及运算 利用数乘向量的定义求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 数乘向量的几何意义 数乘向量在几何计算中的应用 数乘向量的几何意义 用已知向量表示其他向量 数乘向量的运算 数乘向量在几何计算中的应用 数乘向量在几何证明中的应用 数乘向量的几何意义；求向量的模 一、单选题 1．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 答案：D 解析：对于A，当λ＝0时，λa＝0，因为零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，当a＝0，b≠0时，此时a，b共线，但不能得到b＝λa，故B错误；对于C，|b|＝2|a|，a，b的方向不确定，故不能得到b＝±2a，C错误；对于D，若b＝±2a，则|b|＝2|a|，故D正确．故选D． 2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是(　　) A．e＝ B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 答案：D 解析：当a＝0时，没有意义，A错误；当a＝0时，B，C，D都正确；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，且|a|＝|a||e|，故B，C不全面．故选D． 3．(2024·重庆八中高一检测)点C在线段AB上，且||＝||，若＝λ，则λ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：因为点C在线段AB上，且||＝||，所以A，B，C的位置关系如图所示．由图及题意知＝－，所以λ＝－． 4．若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 答案：C 解析：因为＝－，所以AB∥CD，||≠||，又||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形． 5．(2024·安徽合肥一中高一期中)已知O，A，B三点不共线，P为O，A，B三点确定的平面内一点，且＝＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 答案：D 解析：由＝＋，得－＝，∴＝，∴点P在射线AB上．故选D． 二、多选题 6．若＝4，则下列各式中正确的是(　　) A．＝3 B．＝3 C．＝ D．＝ 答案：BCD 解析：∵＝4，∴P2为线段P1P上靠近点P的四等分点，∴＝－3，＝3，＝，＝．故选BCD． 7．(2024·广东深圳中学高一月考)已知AD，BE，CF为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝－2 D．＋＝ 答案：ACD 解析：由题意，知G是△ABC的重心，则AG＝2GD，BG＝2GE，CG＝2GF，故＝，＝－，＝－2，＋＝＋＝＝．故选ACD． 三、填空题 8．若C是线段AB的中点，＝λ，则λ＝________． 答案：2 解析：因为C是线段AB的中点，所以＝，所以＝2，即λ＝2． 9．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b． 答案：－ 解析：∵b与a方向相反，∴设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，∴5＝|λ|×7，∴λ＝±．又λ<0，∴λ＝－． 10．已知M是△ABC所在平面内的一点，若满足4－－＝0，则＝________． 答案： 解析：设＝2，则由题意可得－＋－＝0，∴＝，∴S△ABC＝2S△ABN．又S△ABM＝S△ABN，∴S△ABC＝4S△ABM，∴＝． 四、解答题 11．已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3． (1)用表示； (2)用表示． 解：如图1，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC． (1)如图2，向量与方向相同，所以＝2． (2)如图3，向量与方向相反，所以＝－3． 12．E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示． 解：如图，取AB的中点P，连接EP，FP， 在△ABC中，因为EP是△ABC的中位线， 所以＝－＝－a， 在△ABD中，因为FP是△ABD的中位线， 所以＝＝－b， 在△EFP中，＝＋＝－a－b． 13．(多选)已知O是△ABC的重心，则下列说法中正确的是(　　) A．＋＋＝0 B．＝(＋) C．＝(＋) D．＋＝(＋) 答案：AB 解析：记D为BC的中点，则O为AD靠近点D的三等分点．因为＋＝2，＝－2，所以＋＋＝0，故A正确；又＋＝2，＝，所以＝(＋)，故B正确，C错误；又＋＝2，＋＝2＝6，所以＋＝(＋)，故D错误．故选AB． 14．(2024·江西南昌高一期末)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则△ABC的面积为________． 答案： 解析：由于＋＝2，由向量加法的几何意义，得O为边BC的中点．∵△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，∴△ABC是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝90°，斜边BC＝2，又||＝||，∴AC＝1，AB＝，∴S△ABC＝AB×AC＝××1＝． 15．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC，CD的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形． 证明：∵F，G分别为AB，AC的中点，∴＝． 同理，＝．∴＝． ∴FG∥EH且FG＝EH． ∴四边形EFGH为平行四边形． 16．(2024·四川绵阳中学高一质检)如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3． (1)求证：＝； (2)求||，||． 解：(1)证明：因为AB＝6，AD＝1，BE＝4，DE＝3， 所以BD＝5，DE2＋BE2＝BD2，∠BED＝90°． 又∠ACB＝90°，所以DE∥AC， 所以＝＝，故＝． (2)由(1)知＝， 则||＝||＝×3＝． 因为＝＝，所以＝， 则||＝||＝×4＝． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$