6.1.2 向量的加法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 6.1.2　向量的加法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1.理解并掌握向量加法的概念及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，会求多个向量的和． 教学难点：向量加法的两个法则的应用． 核心素养：通过学习向量加法的概念、向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则培养数学抽象素养、直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　向量的和(和向量) 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)．向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝． 知识点二　向量的加法法则 (1)向量加法的三角形法则 当a与b不共线时，求它们的和可用下图表示．因为此时a，b，a＋b正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则． 当a与b共线时，求它们的和可用下图表示． 值得注意的是，对任意向量a，有a＋0＝0a＝a． (2)向量加法的平行四边形法则 如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，所以＝＋＝＋． 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则． 知识点三　和向量模的不等式 向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|． [说明]　当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|实际上是三角形知识中的“两边之和大于第三边”． 知识点四　多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如下图所示． 知识点五　向量加法的运算律 (1)加法交换律 对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a． (2)加法结合律 对于任意的向量a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 1．(向量加法的三角形法则)在边长为2的等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则|＋|＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案：B 2．(向量加法的平行四边形法则)在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 答案：D 3．(多个向量相加)化简：＋＋＋＋＝________． 答案：0 题型一　向量加法的三角形法则　 　(1)在▱ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝＋ D.＋＝＋ [解析]　根据向量加法的三角形法则，得＋＝，＋＝，所以＋＝＋. [答案]　C (2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________． [解析]　当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4；当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20.综上，|a＋b|的最大值为20，最小值为4. [答案]　20　4 【感悟提升】 1．向量加法的三角形法则作图的方法 (1)把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母来表示)； (2)由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和． 2．对向量加法的三角形法则的两点说明 (1)适用范围：任意向量． (2)注意事项：应用向量加法的三角形法则时，两个向量一定首尾相连，始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点． 3．两个向量的和向量仍是一个向量． 4．处理与模有关的不等关系时，可利用不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 【跟踪训练】 1．(多选)在△ABC中，下列四个结论中正确的是(　　) A.＋> B.＋＝ C．||＋||>|| D．||＋||＝|| 答案：BC 解析：向量无法比较大小，A不正确；根据向量加法的三角形法则可知，＋＝，B正确；由三角形的两边之和大于第三边，可知||＋||>||，C正确，D不正确．故选BC. 题型二　向量加法的平行四边形法则　 　(2024·新疆高一期末)在矩形ABCD中，＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ [解析]　由题意，得＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝.故选D. [答案]　D 【感悟提升】 1．向量加法的平行四边形法则作图的方法 (1)把两个已知向量a，b的始点平移到同一点A. (2)记a＝，b＝，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC. (3)就是这两个已知向量a，b的和． 2．对向量加法的平行四边形法则的两点说明 (1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线． (2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的始点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量． 【跟踪训练】 2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量为与的和向量，由a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝. 题型三　多个向量相加　 　(1)设(＋)＋(＋)＝a，而b是一非零向量，则下列各结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|，其中结论正确的是(　　) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ [解析]　因为a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，又b是一非零向量，所以a∥b，故①正确；a＋b＝b，故②错误，③正确；又|a＋b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，故④错误．故选D. [答案]　D (2)如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c. [解]　解法一：如图1，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b.再作＝c，则＝a＋b＋c. 解法二：如图2，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b.再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c. 解法三：如图3，将向量a，b，c依次首尾相接，以向量a的始点为始点，以向量c的终点为终点的向量d即为向量a＋b＋c. 【感悟提升】多个向量相加的求解策略 (1)向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”． (2)当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，那么各向量的和就是0. 如图所示，在n＋1边形A0A1…An中，有＋＋＋…＋An－1An＝，＋＋＋…＋An－1An＋＝0. 【跟踪训练】 3．化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. 解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0. 1．给出下列命题： ①在△ABC中，必有＋＋＝0； ②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点； ③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：①是真命题；②是假命题，当A，B，C三点共线时也可以有＋＋＝0；③是假命题，只有当a与b同向时，|a＋b|与|a|＋|b|相等，其他情况均为|a＋b|<|a|＋|b|.故选B. 2．在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B. C. D. 答案：A 解析：正六边形是六边均等长的多边形．设正六边形ABCDEF的中心为O，则△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OAF都是等边三角形，于是四边形OBAF和四边形OCDE都是菱形(如图所示)，所以＝，＝，于是＋＋＝＋＋＝0. 3．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是(　　) A.＋＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ 答案：BD 解析：对于A，＋＋＝＋＝；对于B，＋＋＝＋＝；对于C，＋＋＝＋＝；对于D，＋＋＝＋＝.故选BD. 4．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________． 答案：0 解析：|＋＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝|0|＝0. 5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么＋＝________，＋＝________． 答案：　 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则，可知＋＝＋＝，＋＝＋＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 多个向量相加 和向量模的不等式；相等向量；共线向量 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 和向量方向的判断 多个向量相加；向量的模 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 向量加法的三角形法则和平行四边形法则；多个向量相加 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 向量加法法则的几何应用 和向量模的不等式 向量加法的三角形法则；多个向量相加 多个向量相加 和向量模的不等式 向量加法法则的几何应用 求作向量的和；向量加法法则的几何应用 多个向量相加；零向量的应用 一、单选题 1．(2024·山东泰安高一期末)下列各式中结果为零向量的是(　　) A.＋＋＋ B.＋＋ C.＋＋＋ D.＋＋＋ 答案：B 解析：对于A，＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0，不符合题意；对于B，＋＋＝0，符合题意；对于C，＋＋＋＝＋＋＝＋＝，不符合题意；对于D，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋0＝，不符合题意．故选B. 2．下列说法中正确的是(　　) A．若a≠b，则|a|≠|b| B．|a＋b|>|a|－|b| C．|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a∥b，c∥b，则a∥c 答案：C 解析：对于A，当a与b的长度相等，方向相反时，a≠b，但|a|＝|b|，故A错误；对于B，当b＝0时，|a＋b|＝|a|－|b|，故B错误；C显然正确；对于D，当b＝0时，不成立．故选C. 3．如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式成立的是(　　) A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝ 答案：C 解析：由向量加法的三角形法则和向量相等的定义知＋＝＝，故C正确；由向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则知A，B，D均错误．故选C. 4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　) A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．不确定 答案：A 解析：∵a∥b，∴a和b方向相同或相反．当a，b方向相同时，a＋b的方向与a的方向相同；当a，b方向相反时，∵|a|>|b|>0，∴a＋b的方向仍与a的方向相同．故选A. 5．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于(　　) A．2 B. C．3 D．4 答案：B 解析：|＋＋|＝|＋＋|＝||＝. 二、多选题 6．(2024·湖北宜昌一中高一月考)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 答案：ABD 解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．故选ABD. 7．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B.＋＝0 C.＋＋＝0 D.＋＝ 答案：ACD 解析：∵在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴＝＋，＝，∴A正确；＋＝＋≠0，∴B错误；＋＋＝＋＝0，∴C正确；＝，∴＋＝＋＝，∴D正确．故选ACD. 三、填空题 8．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，试用正六边形的六个顶点和点O为始点或终点，构造向量表示下列向量的和． (1)＋＝________； (2)＋＝________． 答案：(1)(或 或 或)　(2) 解析：连接OA2，OA4，OA5，OA6，则四边形OA1A6A5和四边形OA1A2A3为菱形，∴＋＝＝＝＝；＝＝.又＝，∴＋＝＋＝＋＝. 9．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________． 答案：3 解析：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.因为||＝||＝3，所以四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3，所以在Rt△BDO中，OD＝，所以|a＋b|＝||＝×2＝3. 10．已知||＝6，||＝9，则|＋|的取值范围是________． 答案：[3，15] 解析：∵|||－|||≤|＋|≤||＋||，且||＝6，||＝9，∴3≤|＋|≤15，∴|＋|的取值范围为[3，15]． 四、解答题 11.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.求证：＋＝＋. 证明：因为＝＋，＝＋， 所以＋＝＋＋＋， 又因为＋＝0，所以＋＝＋. 12.如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝＋＝. 13．设单位向量a，b，c，若p＝a＋b＋c，则|p|的取值范围为(　　) A．[0，3] B．[0，2] C．[0，1] D．[1，2] 答案：A 解析：因为a，b，c为单位向量，所以|p|＝|a＋b＋c|≤3，当且仅当a，b，c方向都相同时，等号成立；当a，b，c对应起止点依次首尾相连构成封闭三角形时，p＝0，此时|p|＝0最小．综上所述，0≤|p|≤3.故选A. 14．已知点A，B是半径为1的⊙O上的两个动点，＋＝，当点C在⊙O上时，则||＝________． 答案： 解析：如图，因为＋＝，且点C在⊙O上，所以四边形OACB是菱形．所以OA＝AC＝OC，OC⊥AB，垂足为D.在Rt△ODA中，因为OA＝1，∠AOD＝60°，所以||＝2AD＝2×1×sin60°＝. 15.如图，已知向量a，b，c，d. (1)求作a＋b＋c＋d； (2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值． 解：(1)如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心，1为半径的圆上(如图所示)，由图可知，当点B在点B1时，O，A，B1三点共线且与同向，此时|a＋e|的值最大，最大值是3. 16．(2024·湖南岳阳一中高一阶段考试)(1)设O是正五边形ABCDE的中心，求＋＋＋＋； (2)设O是正n边形A1A2…An的中心，求＋＋…＋. 解：(1)令m＝＋＋＋＋，若将m顺时针旋转72°，等价于将，，，，都顺时针旋转72°，如图． 向量，，，，在旋转后对应的位置为，，，，， 所以旋转后向量的和为＋＋＋＋＝m，即m顺时针旋转72°后所得向量仍是m，故m＝0. (2)设a＝＋＋…＋，将a顺时针旋转°，等价于将，，…，都顺时针旋转°，同理，旋转后向量的和仍为＋＋…＋＝a，即a顺时针旋转°后所得向量仍是a，故a＝0. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$