4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的概念、性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 教学重点：1.对数函数的概念.2.对数函数的图象与性质． 教学难点：运用对数函数的图象与性质解决相关问题． 核心素养：1.通过学习对数函数的概念、图象与性质培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过运用对数函数的图象与性质解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 知识点二　对数函数的图象与性质 对数函数 y＝logax(a＞0且a≠1) 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 定点 图象恒过定点(1，0) 函数值的特点 当x∈(0，1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 [拓展]　函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响 (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，图象向右越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图象向右越靠近x轴． (2)左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 1．(对数函数的图象)函数f(x)＝logax(0<a<1)的图象大致为(　　) 答案：B 2．(对数函数的概念)函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________． 答案：3 3．(对数函数的性质)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，0) 题型一　对数函数的概念　 　(1)已知下列函数： ①y＝log(－x)； ②y＝2log4(x－1)； ③y＝ln x； ④y＝log(a2＋a)x(a是常数)； ⑤y＝logx. 其中，是对数函数的是________(只填序号)． [解析]　对于①，真数是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且真数是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，真数是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数；对于⑤，logx的系数为1，底数为常数，且>0，不等于1，真数是x，故⑤是对数函数． [答案]　③⑤ (2)已知对数函数f(x)的图象过点，则f＝________． [解析]　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，将点代入f(x)＝logax(a>0且a≠1)，得loga＝2，又a＞0，所以a＝，所以f(x)＝logx.所以f＝log＝1. [答案]　1 【感悟提升】对数函数的判断方法 判断一个函数是否为对数函数的依据是该函数是否为y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x. 【跟踪训练】 1．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 答案：1 解析：由题意，得a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1. 题型二　对数型复合函数的图象及应用　 　(1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d，1，0的大小关系为(　　) A．a>b>1>d>c>0 B．b>a>1>c>d>0 C．a>b>1>c>d>0 D．b>a>1>d>c>0 [解析]　由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.故选D. [答案]　D (2)函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　　) [解析]　函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位得到的，图象过定点(0，0)．故选C. [答案]　C (3)函数y＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) [解析]　函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，排除B，C；又x＝±1时，y＝1，故选A. [答案]　A (4)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D. [解析]　令f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象的下方．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图所示，要使在(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，即1<a≤2. [答案]　C 【感悟提升】 1．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 2．作对数型复合函数图象的方法 先作出基本函数(对数函数)的图象，再由平移、对称等变换作出所求函数的图象． 3．解决与对数函数有关的方程或不等式问题的方法 通常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法． 【跟踪训练】 2．(1)为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象(　　) A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 答案：A 解析：由题意，得函数g(x)＝log2＝log2x－log28＝log2x－3，所以只需将函数g(x)＝log2的图象向上平移3个单位，即可得到函数f(x)＝log2x的图象．故选A. (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________． 答案：(0，－2) 解析：因为函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1，0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． (3)函数f(x)＝|ln x|－e－x的零点个数为________． 答案：2 解析：令f(x)＝0，即|ln x|－e－x＝0，即|ln x|＝e－x，令g(x)＝|ln x|，h(x)＝e－x，把函数f(x)的零点个数问题转化为函数g(x)，h(x)的图象的交点个数，画出函数g(x)＝|ln x|，h(x)＝e－x的图象， 如图所示，结合图象，可得两函数的图象共有2个交点，即函数f(x)＝|ln x|－e－x的零点个数为2. 题型三　对数值的大小比较　 　比较下列各组数的大小： (1)3log45，2log23； (2)log30.2，log40.2； (3)log3π，logπ3； (4)loga3，loga10(a>0且a≠1)． [解]　(1)∵3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数， 又125>81， ∴3log45>2log23. (2)∵0>log0.23>log0.24， ∴<，即log30.2<log40.2. (3)∵函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，∴log3π>logπ3. (4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴loga3<loga10. 当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，∴loga3>loga10. 【感悟提升】比较对数值大小的常用方法 (1)比较底数相同、真数不同的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． (2)比较底数不同、真数相同的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式 化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小． (3)比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量(如1，0，－1等)． (4)比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小． (5)比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件．例如：比较loga(b2－b＋1)与loga的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝＋≥>. 【跟踪训练】 3．比较下列各组对数值的大小： (1)log1.5，log1.6； (2)log21.9，log23.2； (3)log79，log4； (4)log0.20.1，0.20.1. 解：(1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，∴log1.5>log1.6. (2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<3.2，∴log21.9<log23.2. (3)∵log79>0，log4<0，∴log79>log4. (4)∵函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减， 且0.1<0.2，∴log0.20.1>log0.20.2＝1. ∵函数y＝0.2x在R上单调递减，且0<0.1， ∴0.20.1<0.20＝1. ∴log0.20.1>0.20.1. 1．下列函数中，是对数函数的是(　　) A．y＝logxa(x＞0且x≠1) B．y＝log2x C．y＝2log3x2 D．y＝log5(x＋1) 答案：B 解析：根据对数函数的定义知B为对数函数． 2．函数y＝loga(x－2)＋5(a>0且a≠1)的图象过定点(　　) A．(1，0) B．(3，1) C．(3，5) D．(1，5) 答案：C 解析：∵loga1＝0，∴当x＝3时，y＝loga1＋5＝5，即函数图象过定点(3，5)． 3．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象一定过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：BCD 解析：f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，所以函数f(x)的图象一定过第二、三、四象限．故选BCD. 4．若0<loga2<1(a＞0且a≠1)，则a的取值范围是________． 答案：(2，＋∞) 解析：由loga2>0知a>1，故函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数．所以由loga2<1＝logaa知a>2，故a的取值范围是(2，＋∞)． 5．如图，A，B，C，D是y＝lg x，y＝log4x，y＝log2x，y＝logx四个函数的图象，则 (1)函数y＝lg x的图象是________； (2)函数y＝log4x的图象是________； (3)函数y＝log2x的图象是________； (4)函数y＝logx的图象是________． 答案：D　B　A　C 解析：对于对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1时，函数在定义域内单调递增，当0<a<1时，函数在定义域内单调递减，所以函数y＝logx的图象是C，且当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴，所以函数y＝lg x的图象是D，函数y＝log4x的图象是B，函数y＝log2x的图象是A. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 对数函数的概念　 对数函数求解析式问题 对数型函数图象的判断 中间量法比较对数值的大小 对数函数解析式的求解及应用 对数函数图象的应用 对数函数图象的应用 对数函数图象过定点问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 单调性法比较对数值的大小 已知对数值的大小关系比较底数的大小 对数函数的概念与性质 单调性法、中间量法、图象法比较对数值的大小 利用对数函数的单调性比较函数值的大小 对数不等式恒成立问题 对数型函数的图象与性质 对数型函数的综合应用 一、单选题 1．给出下列函数：①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 2．若函数y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)和(0，1)，则(　　) A．a＝2，b＝2 B．a＝，b＝2 C．a＝2，b＝1 D．a＝，b＝ 答案：A 解析：依题意可知loga(－1＋b)＝0，且logab＝1，因此－1＋b＝1，且a＝b，解得a＝b＝2.故选A. 3．函数y＝|log2(x－1)|的图象是(　　) 答案：C 解析：此函数图象过点(2，0)，且函数值为非负．故选C. 4．(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案：B 解析：因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0.3，所以0<4.2－0.3<4.20.3，所以0<a<b，因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c.故选B. 5．若函数f(2x)＝xln 2，且f(m)＝2，则实数m的值为(　　) A．e B．e2 C．ln 2 D．2ln 2 答案：B 解析：因为f(2x)＝xln 2，所以令2x＝t，则x＝log2t.所以f(t)＝ln 2·log2t＝ln 2·＝ln t，所以f(x)＝ln x．因为f(m)＝ln m＝2，所以m＝e2.故选B. 二、多选题 6．已知2023a＝2024b，则下列a，b的关系中，不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 答案：CD 解析：令m＝2023a＝2024b>0，有a＝log2023m，b＝log2024m，而y＝log2023x与y＝log2024x的图象如图所示，当x＝m时，若0<m<1，则a<b<0；若m＝1，则a＝b＝0；若m>1，则0<b<a.故选CD. 7．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系可能是(　　) A．x2<x3<x1 B．x1＝x2＝x3 C．x1<x3<x2 D．x3<x2<x1 答案：ABC 解析：分别作出三个函数的大致图象和直线y＝a，如图所示．由图可知，当a<0时，x2<x3<x1，A正确；当a＝0时，x1＝x2＝x3，B正确；当a>0时，x1<x3<x2，C正确．故选ABC. 三、填空题 8．函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(2，2) 解析：令x－1＝1，得x＝2，又f(2)＝2，故P(2，2)． 9．(2024·贵州毕节月考)“x>log917”是“x>log34”的________．(填“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案：充分不必要条件 解析：log917＝log317＝log3>log34，所以x>log917时，一定有x>log34，而x>log34时，不一定有x>log917，所以“x>log917”是“x>log34”的充分不必要条件． 10．若logm3>logn3>1，则m，n，3的大小关系是________． 答案：m<n<3 解析：解法一：因为logm3>logn3>1，所以<<1，所以log3m<log3n<log33.又对数函数y＝log3x是增函数，所以m<n<3. 解法二：因为logm3>logn3>1，所以logm3>logn3>log33，且m>1，n>1，在同一直角坐标系中作出函数y＝logmx，y＝lognx，y＝log3x的图象如图所示，由图象可知m<n<3. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数． (1)求f的值； (2)求f(x)在[2，4]上的最大值和最小值． 解：因为函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，所以a2＋a－5＝1，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3. 又底数a>0且a≠1，所以a＝2. 所以f(x)＝log2x. (1)f＝log2＝－3. (2)因为函数f(x)＝log2x在[2，4]上是增函数，所以f(x)在[2，4]上的最大值为f(4)＝log24＝2，最小值为f(2)＝log22＝1. 12．分别比较下列各组数的大小： (1)log3.82.5，log2.82.9，log2.84.6； (2)8－0.7，log70.8，log0.80.7； (3)log25，log35. 解：(1)∵y＝log2.8x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log2.84.6>log2.82.9>log2.82.8＝1. 又y＝log3.8x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log3.82.5<log3.83.8＝1， ∴log3.82.5<log2.82.9<log2.84.6. (2)∵y＝8x在R上是增函数， ∴0<8－0.7<80＝1. ∵y＝log7x在(0，＋∞)上是增函数， ∴log70.8<log71＝0. ∵y＝log0.8x在(0，＋∞)上是减函数， ∴log0.80.7>log0.80.8＝1. ∴log0.80.7>8－0.7>log70.8. (3)解法一：函数y＝log2x和y＝log3x的图象如图所示． 当x>1时，y＝log2x的图象在y＝log3x的图象的上方，∴当x＝5时，log25>log35. 解法二：∵log25＝，log35＝， 又log53>log52>0，∴log25>log35. 13．(2024·湖北咸宁期末)设函数f(x)＝ln x，若a＝f(ln 3)，b＝f(1)，c＝f(0.23.1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．c<b<a 答案：D 解析：依题意，ln 3>ln e＝1，0<0.23.1<1，所以0.23.1<1<ln 3，又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以a，b，c的大小关系为c<b<a.故选D. 14．若不等式x2－logmx＜0在上恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案： 解析：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，要使x2＜logmx在上恒成立，只要y＝logmx在上的图象在y＝x2的图象的上方．当m＞1时，显然不成立，当0＜m＜1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2和y＝logmx的图象，如图所示，∵当x＝时，y＝x2＝，∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logmm即可，∴≤m，即m≥，∴≤m<1，即实数m的取值范围为. 15．已知函数f(x)＝lg |x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的单调区间． 解：(1)要使函数f(x)有意义，x的取值需满足|x|>0， 解得x≠0，即函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 又f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)． ∴函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示． (3)由图可得，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． 16．设函数f(x)＝x2－x＋m，且f(log2a)＝m，log2f(a)＝2，其中a≠1. (1)求实数a，m的值； (2)求f(log2t)的最小值及对应的t的值． 解：(1)∵f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋m＝m， ∴log2a(log2a－1)＝0， ∴a＝1(舍去)或a＝2， ∴log2f(a)＝log2f(2)＝log2(m＋2)＝2， ∴m＝2. 综上，a＝2，m＝2. (2)由(1)，知f(x)＝x2－x＋2＝＋. 当x＝时，f(x)取得最小值， ∴当log2t＝，即t＝时，f(log2t)取得最小值，为. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$