4.2.2 对数运算法则-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 4.2.2　对数运算法则 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的运算法则.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 教学重点：1.对数运算法则.2.换底公式． 教学难点：对数运算法则及换底公式的应用． 核心素养：1.通过学习对数运算法则和换底公式培养数学抽象素养.2.通过应用对数运算法则和换底公式解决问题培养数学运算素养． 知识点一　对数运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； 推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均为正因数)； (2)logaMα＝αlogaM； (3)loga＝logaM－logaN． 知识点二　对数的换底公式 (1)logab＝，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1. (2)转换成自然对数或常用对数：logab＝＝． [拓展]　换底公式的常用推论 (1)logambn＝logab. (2)logab×logba＝1. (3)logab×logbc×logcd＝logad. 1．(积的对数)lg 20＋lg 5＝(　　) A．100 B．2 C．10 D．1 答案：B 2．(商的对数)log325－log35＝________． 答案：log35 3．(幂的对数)lg 8＋lg 53＝________． 答案：3 4．(换底公式)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________． 答案： 题型一　对数运算法则的应用　 　(1)若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式： ①logax×logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga(xy)＝logax×logay； ④＝loga； ⑤(logax)n＝logaxn； ⑥logax＝－loga； ⑦＝loga； ⑧loga＝－loga. 其中式子成立的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24×log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax×logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24×log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax×logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，∴＝loga不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；对于⑥，因为－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax，所以⑥成立；对于⑦，因为loga＝logax＝，所以⑦成立；对于⑧，因为loga＝loga＝－loga，所以⑧成立． [答案]　A (2)化简：①； ②2log32－log3＋log38－5log53； ③log2＋log2. [解]　①原式＝＝＝. ②原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1. ③原式＝log2(×)＝log24＝2. 【感悟提升】利用对数运算法则解题的技巧 (1)把复杂的真数化简． (2)正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则化为对数的和、差、积、商再化简． (3)逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (4)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg ＝－lg a等． 【跟踪训练】 1．计算：(1)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log535－2log5＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. 题型二　换底公式的应用　 　(1)用logab表示loganbn和logambn(m≠0，n≠0)． [解]　loganbn＝＝＝＝logab， logambn＝＝＝logab. (2)计算：(log85＋log25)×(log54＋log258)． [解]　原式＝× ＝× ＝＋＋2＋＝. (3)已知lg 2＝a，lg 7＝b，用a，b表示log89.8的值． [解]　log89.8＝＝＝ ＝. 【感悟提升】运用换底公式的原则和技巧 注意：当一个题目中同时出现对数式和指数式时，一般需要统一成一种表达形式． 【跟踪训练】 2．(1)计算：(log43＋log83)×. 解：原式＝×＝×＋×＝＋＝. (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645. 解：解法一：∵18b＝5，∴log185＝b. 又log189＝a， 于是log3645＝＝＝＝＝. 解法二：∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a， 于是log3645＝＝＝. 解法三：∵log189＝a，18b＝5， ∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log3645＝＝＝ ＝＝. 题型三　与对数有关的条件求值　 　(1)设3x＝4y＝36，求＋的值． [解]　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2， ∴＝log63，＝log62， ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1，即＋＝1. (2)已知实数x，y满足xy＝yx，且logxy＝2，求xy的值． [解]　∵xy＝yx，且logxy＝2， ∴ylg x＝xlg y，＝2，∴ylg x＝x·2lg x， ∴2x＝y，∴logx2x＝2，则2x＝x2， ∵x>0且x≠1， ∴x＝2，y＝4，∴xy＝8. 【感悟提升】与对数有关的条件求值问题的解题技巧 (1)通过指数式化对数式求出x，y，再代入所求式子中进行运算． (2)当给出的等式以指数形式出现时，常对等式两边取对数．在取对数时，要注意对底数的合理选取． 【跟踪训练】 3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值． 解：解法一：设ax＝by＝cz＝t，t>0且t≠1， ∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即abc＝1. 解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz， ∴令ax＝by＝cz＝t，t>0且t≠1， ∴x＝，y＝，z＝，lg t≠0， ∴＋＋＝＋＋ ＝. ∵＋＋＝0， ∴lg a＋lg b＋lg c ＝lg (abc)＝0， ∴abc＝1. 1．计算log916×log881的值为(　　) A．18 B. C. D. 答案：C 解析：log916×log881＝×＝×＝.故选C. 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：log36＝＝＝.故选B. 3．(多选)若a>0且a≠1，x∈R，y∈R且xy>0，则下列各式恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 答案：BD 解析：∵xy>0，∴A中若x<0，则不成立；C中若x<0，y<0也不成立；B，D恒成立．故选BD. 4．已知ab＝M(a>0，b>0，M≠1)，且logMb＝x，则logMa＝________． 答案：1－x 解析：因为ab＝M，则logMa＋logMb＝logM(ab)＝logMM＝1，即logMa＋x＝1，所以logMa＝1－x. 5．2(lg )2＋lg ×lg 5＋＝________． 答案：1 解析：原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 积的对数 积的对数、商的对数、幂的对数 积的对数的推广　 换底公式；积的对数 换底公式的应用 换底公式；幂的对数 指数式化为对数式；换底公式；对数的运算法则 对数的运算法则　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 换底公式；幂的对数 换底公式；幂的对数 对数运算法则；换底公式 利用对数的运算法则、换底公式解方程 对数的运算法则在实际中的应用 换底公式；幂的对数 换底公式的应用 利用对数的运算法则、换底公式解决证明问题 一、单选题 1．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 2．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3 答案：A 解析：∵lg x＝lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg，∴x＝. 3．log2＋log2＋log2＋…＋log2＝(　　) A．5 B．4 C．－5 D．－4 答案：C 解析：原式＝log2＝log2＝－5. 4．(2024·河北石家庄期末)设n＝＋，那么n的值所在的区间为(　　) A．(－2，－1) B．(－3，－2) C．(1，2) D．(2，3) 答案：D 解析：由题意可得n＝＋＝＋＝log32＋log35＝log310，且32＝9<10，33＝27>10，所以n＝log310∈(2，3)． 5．设log83＝p，log35＝q，则lg 5＝(　　) A．p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D．pq 答案：C 解析：因为log83＝＝＝p，所以lg 3＝3plg 2.因为log35＝＝q，所以lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，所以lg 5＝.故选C. 二、多选题 6．若log2m＝log4n，则(　　) A．n＝2m B．log9n＝log3m C．ln n＝2ln m D．log2m＝log8(mn) 答案：BCD 解析：因为log2m＝log4n，所以m>0，n>0，log2m＝log22n＝log2n＝log2n，所以m＝n，m2＝n，故A错误；因为log9n＝log32m2＝log3m＝log3m，故B正确；因为ln n＝ln m2＝2ln m，故C正确；因为log8(mn)＝log23m3＝log2m＝log2m，故D正确．故选BCD. 7．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B.＝＋ C.＝－ D.＝＋ 答案：AC 解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，对于A，由ab＋bc＝2ac可得＋＝2，因为＋＝＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确；对于B，因为＋＝＋＝2logk4＋logk6＝logk96，＝＝2logk9＝logk81，故≠＋，故B错误；对于C，因为－＝－＝2logk6－logk4＝logk9，＝＝logk9，故＝－，故C正确；对于D，因为＋＝＋＝logk4＋2logk6＝logk144，＝＝2logk9＝logk81，故≠＋，故D错误．故选AC. 三、填空题 8．log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＝________． 答案： 解析：原式＝log3＋lg (25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝. 9．化简：(log43＋log83)(log32＋log92)＝________． 答案： 解析：原式＝×＝log23×＝. 10．(2024·全国甲卷)已知a>1，－＝－，则a＝________． 答案：64 解析：由－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 四、解答题 11．计算：(1) ＋lg 4＋lg 25； (2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06； (3)2log2＋＋lg 20－lg 2－(log32)×(log23)＋(－1)lg 1. 解：(1)原式＝＋2lg 2＋2lg 5 ＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3lg 2＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2 ＝1. (3)原式＝＋＋lg－×＋1＝＋＋lg 10－1＋1＝2. 12．解下列方程： (1)(lg x－lg 3)＝lg 5－lg (x－10)； (2)lg x＋2log(10x)x＝2. 解：(1)由已知方程知故x>10. 原方程可化为lg＝lg ， 所以＝，即x2－10x－75＝0. 解得x＝15或x＝－5(舍去)， 经检验，x＝15是原方程的解． (2)由已知方程知10x>0且10x≠1，即x>0且x≠. 原方程可化为lg x＋＝2， 即(lg x)2＋lg x－2＝0. 令t＝lg x，则t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2， 即lg x＝1或lg x＝－2，所以x＝10或x＝. 经检验，x＝10，x＝都是原方程的解． 13．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 答案：D 解析：由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15，所以＝＝＝4，两边取以10为底的对数，得λlg ＝2lg 2，所以λ＝≈≈1.15.故选D. 14．(2024·山东菏泽期末)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝，则log(a1a2…a10)(b1b2·…·b10)＝________． 答案： 解析：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝，则bi＝(i＝1，2，3，…，10)，所以log(a1 a2…a10)(b1b2…b10)＝＝＝＝. 15．设0<a<1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，当y＝时，logay取得最小值，求a的值． 解：由已知条件，得logax＋－＝3， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3 ＝＋. 当logax＝时，logay有最小值， 此时y＝，所以有loga＝， 故a＝＝2－＝＝. 所以a＝. 16．(1)已知5x＝2y＝()z，且x，y，z均不为0，求证：＋＝2； (2)设xa＝yb＝zc，x>0，y>0，z>0，且＋＝，求证：z＝xy. 证明：(1)令5x＝2y＝()z＝k(k＞0且k≠1)， 则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k， 所以＋＝＋ ＝2lg k(logk5＋logk2) ＝2lg k·logk10＝2. 所以＋＝2. (2)当x＝y＝z＝1时，满足z＝xy； 当x≠1，y≠1，z≠1时， 令xa＝yb＝zc＝t(t>0且t≠1)， 则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt. 因为＋＝，所以logtx＋logty＝logtz. 所以logt(xy)＝logtz. 所以z＝xy. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$