4.2.1 对数运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 4.2.1　对数运算 (教师独具内容) 课程标准：理解对数的概念． 教学重点：1.对数的概念.2.对数的性质． 教学难点：对数性质的灵活运用． 核心素养：1.通过学习对数的概念和对数的性质培养数学抽象素养.2.通过运用对数的性质解决问题培养数学运算素养． 知识点一　对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． [想一想]　在对数的概念中，为什么a＞0且a≠1? 提示：①若a<0，则N为某些数值时，b不存在，如式子(－3)b＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在．因此规定a不能小于0. ②当a＝0且N≠0时，b不存在；当a＝0，N＝0时，b可以为任何实数，不能确定．因此规定a≠0. ③当a＝1且N≠1时，b不存在；而当a＝1，N＝1时，b可以为任何实数，不能确定．因此规定a≠1. ④当a＞0且a≠1时，由ab＝N(N＞0)，知当a与N确定之后，b唯一确定．因此规定a＞0且a≠1. 知识点二　对数的性质 由对数的概念可得到如下性质： (1)负数和零没有对数． (2)以a(a>0且a≠1)为底1的对数为0，即loga1＝0(a>0且a≠1)． (3)底的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)． (4)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． 因为由b＝logaN，得ab＝N，所以将b＝logaN代入上式，可得alogaN＝N． (5)logaab＝b(a>0且a≠1)． 因为ab＝N⇔logaN＝b，所以logaab＝b(a>0且a≠1)． 知识点三　常用对数与自然对数 (1)常用对数 ①定义：以10为底的对数称为常用对数． ②符号表示：常用对数log10N通常简写为lg__N． (2)自然对数 ①定义：以e为底的对数称为自然对数． ②符号表示：自然对数logeN通常简写为ln__N． 1．(对数的概念)使对数式b＝loga(2－3a)有意义的实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞) C. D. 答案：C 2．(指数式与对数式的互化)若log3a＝2，则a＝________． 答案：9 3．(常用对数与自然对数)lg 10＝________，ln e＝________． 答案：1　1 4．(对数的性质)计算：2log23＋3log32＋lg 0.0001＝________． 答案：1 题型一　对数的概念　 　在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5) C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4) [解析]　由题意得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 【感悟提升】对数式有意义的条件 对数式有意义的两个前提：①底数大于0且不等于1；②对数的真数必须大于0. 【跟踪训练】 1．在log(2x－1)(x＋2)中求x的取值范围． 解：因为真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>且x≠1. 即x的取值范围是. 题型二　指数式与对数式的互化　 　(1)将下列指数式改写成对数式：2－5＝；34＝81；＝n. [解]　log2＝－5；log381＝4；logn＝m. (2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；log16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3. [解]　53＝125；＝16；eb＝a；103＝1000. 【感悟提升】指数式与对数式互化的思路 指数式ab＝N可以写成对数式logaN＝b(a>0且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下： (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【跟踪训练】 2．(1)已知logx16＝2，则x＝(　　) A．±4 B．4 C．256 D．2 答案：B 解析：∵x2＝16且x>0，x≠1，∴x＝4.故选B. (2)若a＝log23，则2a＋2－a＝________． 答案： 解析：因为a＝log23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝. (3)将下列指数式与对数式互化： ①log216＝4；②＝6；③43＝64. 解：①24＝16.②()6＝27.③log464＝3. 题型三　对数恒等式的应用　 　求下列各式的值： (1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25； (4)2log25；(5)4log23. [解]　(1)5log54＝4. (2)∵3log34＝4， ∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×＝. (3)∵2log25＝5， ∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80. (4)∵2log25＝5，∴2log25＝(2log25)＝. (5)∵2log23＝3， ∴4 log23＝22log23＝(2log23)2＝9. 【感悟提升】运用对数恒等式时的注意事项 (1)对于对数恒等式a logaN＝N(a>0且a≠1，N>0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． (2)对指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 【跟踪训练】 3．求31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋4的值． 解：原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg 3)3＋3－2×log34＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2＝18－48＋27＋＝－. 题型四　对数性质的应用　 　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1； (3) ＝x；(4)33＋log3x＝2. [解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1， ∴x＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3， ∴x＝103＝1000. (3)∵＝x， ∴(－1)x＝＝ ＝＝－1， ∴x＝1. (4)33＋log3x＝33×3log3x＝27x＝2，∴x＝. 【感悟提升】对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0且a≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，由外到内逐层使用对数的性质． 【跟踪训练】 4．(1)若log3(2x－1)＝1，则x＝________． 答案：2 解析：由已知可得2x－1＝3，∴x＝2. (2)已知log2[log3(log4x)]＝0，求x的值． 解：∵log2[log3(log4x)]＝0， ∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3， ∴x＝43＝64. (3)若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值． 解：∵log(x－2)(x2－7x＋13)＝0， ∴ 即解得x＝4. 故x的值为4. 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数称为常用对数． 其中正确说法的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案：A 解析：①正确；对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，故②错误；对于③，以e为底的对数称为自然对数，故③错误．故选A. 2．若log8x＝－，则x的值为(　　) A. B．4 C．2 D. 答案：A 解析：x＝8－＝.故选A. 3．(多选)下列各式计算正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．由log25x＝，得x＝±5 答案：AB 解析：∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，A正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，B正确；若10＝lg x，则x＝1010，C错误；由log25x＝，得x＝25＝5，D错误．故选AB. 4．函数f(x)＝3x－2的零点为________． 答案：log32 解析：由f(x)＝3x－2＝0，得3x＝2，∴x＝log32.故函数f(x)的零点为log32. 5．式子2log25＋log1的值为________． 答案：5 解析：由对数的性质，知2log25＝5，log1＝0，故原式＝5. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 对数的概念　 解对数方程　 对数式化为指数式 常用对数；指数式与对数式的互化 函数模型的应用 简单的对数运算；对数的性质 指数式与对数式的互化 解对数方程；指数幂的运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 对数的性质 利用对数恒等式与对数的性质求值 对数式化为指数式进行计算 解对数方程；对数的性质 对数的概念　 对数性质的应用　 对数恒等式；对数式化为指数式 利用二次函数的性质构造对数方程并求解 一、单选题 1．若log(x－1)(x－1)＝1，则x的取值范围是(　　) A．x≠1 B．x>1 C．x≠2 D．x>1且x≠2 答案：D 解析：若log(x－1)(x－1)＝1有意义，则x－1>0且x－1≠1，即x>1且x≠2.故选D. 2．方程2log3x＝的解是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 答案：A 解析：∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝. 3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝＝. 4．如果f(10x)＝x，则f(3)＝(　　) A．log310 B．lg 3 C．103 D．310 答案：B 解析：解法一：令10x＝t，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t．∴f(3)＝lg 3.故选B. 解法二：令10x＝3，得x＝lg 3，∴f(3)＝lg 3.故选B. 5．(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 答案：D 解析：由题意，得＝2.1，＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.故选D. 二、多选题 6．下列结论正确的是(　　) A．log24＝2 B．2.10.5>2.1－1.8 C．3log32＝2 D．－ln e＝1 答案：ABC 解析：对于A，log24＝2，故A正确；对于B，根据函数y＝2.1x是增函数可知2.10.5>2.1－1.8，故B正确；对于C，根据对数恒等式可知3log32＝2，故C正确；对于D，－ln e＝－1，故D不正确．故选ABC. 7．下列指数式与对数式的互化中，正确的是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log55＝1与51＝5 答案：ABD 解析：A，B，D正确；log39＝2变成指数式应为32＝9，C不正确．故选ABD. 三、填空题 8．已知logx＝3，则x＝________． 答案： 解析：∵logx＝3，∴x＝，∴x＝＝. 9．若a>0，a2＝，则loga＝__________，loga＝________． 答案：1　2 解析：由a>0，a2＝＝，可知a＝，∴loga＝log＝1，loga＝log＝log＝2. 10．2log2－－＋lg ＋(－1)lg 1的值是________． 答案：－3 解析：原式＝－＋lg 10－2＋(－1)0＝－－2＋1＝－3. 四、解答题 11．计算： (1)log84；(2) ； (3)log(2＋)(2－)． 解：(1)设log84＝x，则8x＝4， 即23x＝22，3x＝2，x＝，故log84＝. (2)设＝x，则()x＝81， 即3＝34，＝4，x＝16， 故＝16. (3)设log(2＋)(2－)＝x， 则(2＋)x＝2－， (2＋)x＝＝(2＋)－1，x＝－1， 故log(2＋)(2－)＝－1. 12．求下列各式中x的值： (1)logx27＝；(2)log2x＝－； (3)lg (ln x)＝0；(4)logx(3＋2)＝－2； (5)log5(log2x)＝0；(6)ln (lg x)＝1. 解：(1)由logx27＝，得x＝27， ∴x＝27＝32＝9. (2)由log2x＝－，得x＝2－， ∴x＝＝. (3)∵lg (ln x)＝0，∴ln x＝1，∴x＝e. (4)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2， 即x＝(3＋2)－＝－1. (5)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝2. (6)∵ln (lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. 13．“2a＝2b”是“ln a＝ln b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：2a＝2b⇔a＝b，ln a＝ln b⇔所以“2a＝2b”是“ln a＝ln b”的必要不充分条件．故选B. 14．已知a>b>c>1，且loga(logx)＝logb(logy)＝logc(logz)＝0，则(　　) A．1<z<y<x B．0<z<y<x<1 C．0<x<y<z<1 D．1<x<y<z 答案：C 解析：因为loga(logx)＝logb(logy)＝logc(logz)＝0，所以logx＝1，logy＝1，logz＝1，所以x＝>0，y＝>0，z＝>0，因为a>b>c>1，所以0<<<<1，所以0<x<y<z<1. 15．(1)计算：； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解：(1) ＝×2log43＝×＝×(4log43)＝×＝. (2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3， 则a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12. 16．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值． 解：原函数式可化为f(x)＝lg a－＋4lg a. ∵f(x)有最大值3， ∴lg a<0，且－＋4lg a＝3， 整理，得4(lg a)2－3lg a－1＝0， 解得lg a＝1或lg a＝－. 又lg a<0，∴lg a＝－.∴a＝10－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$