4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的概念、性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 教学重点：指数函数的概念、图象与性质． 教学难点：运用指数函数的图象与性质解决问题． 核心素养：1.通过学习指数函数的概念、图象与性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过运用指数函数的图象与性质解决简单问题培养逻辑推理素养． 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． [想一想]　指数函数y＝ax中规定底数a>0且a≠1的原因是什么？ 提示：(1)若a<0，则对于x的某些数值，ax无意义，如(－2)x，当x＝，等时，无意义． (2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (3)若a＝1，则对于任意x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1，这样对于任意x∈R，ax都有意义． 知识点二　指数函数的图象与性质 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表： a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 图象恒过定点(0，1) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的变化情况 当x>0时，ax>1； 当x＝0时，ax＝1； 当x<0时，0<ax<1 当x>0时，0<ax<1； 当x＝0时，ax＝1； 当x<0时，ax>1 对称性 函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 [拓展]　在同一直角坐标系中，几个指数函数图象的相对位置与底数的关系 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，这一性质可通过x取1时，函数值的大小去理解．如图所示，a，b，c分别对应函数y＝ax，y＝bx，y＝cx当x取1时的函数值，因为a>b>c，所以在y轴右侧图象从上到下对应y＝ax，y＝bx，y＝cx，这就验证了上述性质． 1．(指数函数的图象)函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案：A 2．(指数函数的性质)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 3．(指数函数的概念)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________． 答案：2 题型一　指数函数的概念　 　(1)函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0且a≠1)是指数函数，则m＝________． [解析]　∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1. [答案]　0或1 (2)若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________． [解析]　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(x)的图象过点(2，9)，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3. [答案]　　3 【感悟提升】 1．指数函数的判定 (1)看形式：判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式； (2)明特征：指数函数具备的特征如下： 2．待定系数法求指数函数解析式的步骤 (1)设出函数的解析式f(x)＝ax(a>0且a≠1)； (2)利用已知条件，求出底数a； (3)写出指数函数的解析式． 【跟踪训练】 1．(1)(多选)下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax(a>0且a≠1) B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝ D．y＝(a－2)ax 答案：AC 解析：由指数函数的概念，知A中的函数是指数函数；B中，y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，所以不是指数函数；C中，y＝显然是指数函数；D中，只有即a＝3时才是指数函数．故选AC. (2)已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2，4)，求a的值． 解：由指数函数的定义，可知(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3. 当a＝2时，指数函数y＝2x的图象过点(2，4)，符合题意； 当a＝3时，指数函数y＝3x的图象不过点(2，4)，不符合题意． 综上，a＝2. 题型二　指数型函数的图象问题　 　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于1，①②的底数大于0小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．由以上分析，可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. [答案]　B (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [解析]　由函数f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.又因为函数f(x)＝ax－b的图象是在指数函数f(x)＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b<0. [答案]　D (3)函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________． [解析]　解法一：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)． [答案]　(3，4) 【感悟提升】 1．识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2．解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝kax＋c＋b(k≠0，a>0且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【跟踪训练】 2．(1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是(　　) 答案：A 解析：抛物线的方程是y＝a－，其顶点坐标为，由指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－和0之间．故选A. (2)若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(　　) A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0 C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<0 答案：D 解析：由函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限可得该函数的大致图象如图所示，由图可知a>1，a0＋b－1<0，即a>1，且b<0.故选D. (3)函数y＝a2x＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点________． 答案： 解析：令2x＋1＝0，得x＝－，此时y＝a0＋1＝2，所以函数图象过定点. 题型三　比较大小　 　比较下列各组数的大小： (1)1.5a，1.5a－1； (2)0.3－2，0.33； (3)1.50.3，0.81.2； (4)，； (5)a1－a，(1－a)a. [解]　(1)∵函数y＝1.5x在R上为增函数，又a>a－1，∴1.5a>1.5a－1. (2)∵函数y＝0.3x在R上为减函数， 又－2<3，∴0.3－2>0.33. (3)由指数函数的性质知，1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2. (4)÷＝＝， 由0<<1，>0，知<1， ∴<. (5)∵<a<1，∴1>a>1－a>0， 画出函数y＝ax和y＝(1－a)x的大致图象，如图所示，由图可知(1－a)a<(1－a)1－a<a1－a，∴a1－a>(1－a)a. 【感悟提升】比较幂的大小的常用方法 (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来比较． 【跟踪训练】 3．比较下列各组数的大小： (1)1.82.2，1.83； (2)0.7－0.3，0.7－0.4； (3)1.90.4，0.92.4； (4)0.8－0.1，1.250.2. 解：(1)y＝1.8x在R上为增函数， 又2.2<3，∴1.82.2<1.83. (2)∵y＝0.7x在R上为减函数， 又－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4. (4)1.250.2＝0.8－0.2，∵指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，又－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2＝1.250.2. 1．给出下列函数： ①y＝x2；②y＝(－2)x；③y＝2x＋1；④y＝(a－1)x(a>1且a≠2)． 其中，指数函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：①是二次函数；②底数小于0，故不是指数函数；③指数为x＋1，故不是指数函数；④是指数函数．故选A. 2．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 答案：C 解析：由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B；作直线x＝1与两条曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 3．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中错误的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋) 答案：CD 解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，不一定等于nf(x)，C错误；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n，不一定等于(axy)n，D错误．故选CD. 4．指数函数y＝f(x)的图象过点(π，2)，则f(0)＝______，f(－π)＝________． 答案：1　 解析：设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(0)＝a0＝1，∵它的图象过点(π，2)，∴2＝aπ，∴f(－π)＝a－π＝＝. 5．比较大小：2.32.3________2.33.2，0.75－0.1________0.750.1. 答案：<　> 解析：因为函数y＝2.3x在R上为增函数，2.3<3.2，所以2.32.3<2.33.2.因为y＝0.75x在R上为减函数，－0.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 指数函数的概念 指数函数图象过定点问题 指数型函数图象的判断 利用指数函数的图象与性质比较大小 利用指数函数的图象与性质判断底数范围 指数函数的性质与图象 利用指数函数的单调性、最值求参数的值 已知与指数函数有关的函数值求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 利用指数型函数的图象求参数范围 利用与指数函数有关的分段函数的单调性求参数范围 指数函数的判断 指数函数的概念与性质 利用指数函数的性质求参数范围 指数型函数图象的应用 指数型函数解析式的求解与性质 指数型函数图象的作法与性质 一、单选题 1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 答案：C 解析：由题意，得解得a＝2. 2．函数f(x)＝2ax＋2－1(a>0且a≠1)的图象过的定点是(　　) A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，－1) D．(－1，1) 答案：B 解析：∵函数f(x)＝2ax＋2－1(a>0且a≠1)，∴令x＋2＝0，解得x＝－2，f(－2)＝2×a0－1＝2－1＝1.∴f(x)的图象过定点(－2，1)．故选B. 3．函数y＝(0<a<1)的图象大致是(　　) 答案：D 解析：由题意可得y＝(0<a<1)．故选D. 4.，，的大小关系是(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 答案：A 解析：画出函数y＝和y＝的大致图象，如图所示．由图可知>>.故选A. 5．设x<0，且1<bx<ax，则(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 答案：B 解析：因为1<bx<ax，x<0，所以0<a<1，0<b<1，当x＝－1时，有<，所以a<b，所以0<a<b<1.故选B. 二、多选题 6．下列说法中正确的是(　　) A．任取x>0，均有3x>2x B．y＝()－x是增函数 C．y＝2|x|的最小值为1 D．在同一坐标系中，y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称 答案：AC 解析：任取x>0，均有3x>2x，A正确；y＝()－x是减函数，B错误；y＝2|x|的最小值为1，C正确；在同一坐标系中，y＝5x与y＝5－x＝的图象关于y轴对称，D错误．故选AC. 7．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值可能为(　　) A. B. C. D．2 答案：AB 解析：当a>1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，故有a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)；当0<a<1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，故有a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．综上，a＝或a＝.故选AB. 三、填空题 8．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝1，则m＝________． 答案： 解析：根据题意，得f(－1)＝21＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝m·22＝1，解得m＝. 9．已知函数y＝ax＋4a－3(a>0且a≠1)的图象不经过第一象限，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：由题意得0<a<1且当x＝0时，y≤0，即a0＋4a－3≤0，即a≤，故0<a≤. 10．若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是________． 答案：(1，2] 解析：由函数f(x)＝在R上是增函数，可得解得1<a≤2. 四、解答题 11．判断下列函数是否为指数函数： (1)y＝2×()x；(2)y＝2x－1； (3)y＝；(4)y＝xx；(5)y＝3－. 解：(1)不是指数函数，因为()x前的系数不是1. (2)不是指数函数，因为指数不是x. (3)是指数函数． (4)不是指数函数，因为底数不是大于0且不等于1的常数． (5)不是指数函数，因为指数不是x. 12．已知指数函数f(x)的图象经过点. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(|x|)>f(1)，求实数x的取值范围． 解：(1)设指数函数f(x)＝mx(m>0且m≠1)． 将点代入，得m2＝， 解得m＝或m＝－(舍去)， 所以f(x)＝. (2)由(1)知指数函数f(x)＝，它在R上是减函数． 又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1， 故实数x的取值范围为(－1，1)． 13．(2024·河北石家庄期末)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[－1，1]上恒有f(x)<2，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C．(1，2) D.∪(1，2) 答案：D 解析：当a>1时，f(x)在[－1，1]上是增函数．因为函数f(x)在[－1，1]上恒有f(x)<2，所以f(1)<2，所以a<2，所以1<a<2；当0<a<1时，f(x)在[－1，1]上是减函数．因为函数f(x)在[－1，1]上恒有f(x)<2，所以f(－1)<2，所以<2，即a>，所以<a<1.综上所述，实数a的取值范围是∪(1，2)． 14．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围为________． 答案：(0，2) 解析：作出函数g(x)＝|2x－2|的图象如图，因为函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，所以直线y＝b与函数g(x)的图象有两个交点，结合图象可知0＜b＜2.故实数b的取值范围为(0，2)． 15．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)． (1)求a与b的值； (2)当x∈[－2，4]时，求f(x)的最大值与最小值． 解：(1)∵点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象上， ∴∴ 又a＝－不符合题意，∴a＝，b＝－3. (2)由(1)可得f(x)＝()x－3. ∵>1，∴y＝()x在其定义域上是增函数， ∴f(x)＝()x－3在区间[－2，4]上单调递增． ∴f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－2)＝－，最大值为f(4)＝6. 16．已知函数y＝. (1)作出此函数的图象； (2)由图象确定其单调性； (3)由图象指出，当x取什么值时函数有最大值． 解：由函数解析式可得 y＝＝ (1)当x≥－1时，y＝的图象是由y＝的图象向左平移1个单位得到的； 当x<－1时，y＝3x＋1的图象是由y＝3x的图象向左平移1个单位得到的． 所以函数y＝的图象如图实线部分所示． (2)由图象知，函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知，当x＝－1时，函数有最大值，为1. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$