4.1.1 实数指数幂及其运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学　必修 第二册 RJB 4.1.1　实数指数幂及其运算 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1；m，n为整数且n>0)、实数指数幂at(a>0且a≠1；t∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握指数幂的运算性质． 教学重点：根式与分数指数幂的互化． 教学难点：运用指数幂的运算法则进行化简、求值． 核心素养：1.通过学习n次方根的概念、根式的概念、根式的性质、指数幂的意义及指数幂的运算法则培养数学抽象素养.2.通过运用指数幂的运算法则进行化简、求值培养数学运算素养． 知识点一　n次方根的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 知识点二　n次方根的表示 根据方程xn＝a解的情况可以看出： (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0． (2)正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时，在实数范围内没有意义． (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 知识点三　根式及相关概念 当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 知识点四　根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|． [提醒]　和()n不一样，中a可以取任意实数，而()n中因为要保证有意义，a的取值受n的限制． 知识点五　分数指数幂的意义 (1)为了方便起见，我们约定底数a>0.于是，当a>0时，规定a＝，a＝()m＝. (2)负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即a>0时，规定a＝(n，m∈N＋)． [提醒]　a不可理解为个a相乘，一定要与an(n∈N＋)的意义区分开． 知识点六　无理数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数． 知识点七　实数指数幂的运算法则 asat＝as＋t(s，t∈R)， (as)t＝ast(s，t∈R)， (ab)s＝asbs(s∈R)． 1．(n次方根的概念及表示)若x3＝5，则x＝________． 答案： 2．(根式的性质)若n为正偶数时，＝x－1，则x的取值范围为________． 答案：[1，＋∞) 3．(实数指数幂的运算)化简：＝________． 答案：x－y－ 4．(分数指数幂)计算：＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0＝________． 答案：－ 5．(无理数指数幂)计算：21＋×16－＝________． 答案：1 题型一　根式的性质与运算　 　化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)＋＋. [解]　(1) ＝a. (2) ＝|x－4|＝ (3)＝＝|a3|＝ (4)＝＝|2a－1|， ∵a≤， ∴2a－1≤0， ∴|2a－1|＝1－2a， 即原式＝1－2a. (5)∵3－2＝()2－2＋1＝(1－)2， ∴原式＝＋＋ ＝|1－|＋(1－)＋|1－| ＝－1＋1－＋－1 ＝－1. 【感悟提升】解决根式化简问题的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点：①正确区分()n与两式；②运算时注意变式，整体代换及平方差、立方差和完全平方公式的运用，做到化繁为简，必要时要进行讨论． 【跟踪训练】 1．计算(或化简)下列各式： (1) ；(2) ；(3) ； (4)＋＋； (5)＋. 解：(1)原式＝－4. (2)原式＝＝＝3. (3)原式＝|x－2|＝ (4)原式＝－6＋(4－)＋－4＝－6. (5)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 所以原式＝ 题型二　根式与分数指数幂的互化　 　(1)用根式表示下列各式：①a；②a；③a－. [解]　①a＝. ②a＝. ③a－＝＝. (2)用分数指数幂表示下列各式：①；②a3×；③；④()2×. [解]　①＝＝a－. ②a3×＝a3×a＝a3＋＝a. ③＝(a3×a)＝a. ④()2×＝(a)2×(ab3)＝aab ＝a＋×b＝ab. 【感悟提升】根式与分数指数幂互化的关键与技巧 (1)关键：熟记根式与分数指数幂的转化式子a＝和a－＝＝，其中字母a使式子有意义． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简． 【跟踪训练】 2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A．－＝(－x)－(x≠0) B．x－＝－ C.＝ (xy>0) D.＝y(y<0) 答案：C 解析：－＝－x，故A错误；x－＝，故B错误；＝＝，故C正确；＝(－y)(y<0)，故D错误． 题型三　实数指数幂的运算　 　计算(或化简)下列各式： (1)＋2－2×－(0.01)0.5； (2)＋0.1－2＋＋－3×π0； (3) ÷ (a>0)； (4)－； (5)4＋1×23－2×8－. [解]　(1)原式＝1＋×－ ＝1＋－＝. (2)原式＝＋＋＋－3 ＝＋100＋＋－3＝100. (3)原式＝(a×a－)÷(a－×a) ＝[a××a(－)×]÷[a(－)××a×] ＝a－＋－＝a0＝1. (4)原式＝－ ＝－ ＝a－－a－＝0. (5)原式＝(22)＋1×23－2×(23)－ ＝22＋2×23－2×2－2 ＝22＋2＋3－2－2 ＝23＝8. 【感悟提升】实数指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里面的，无括号的先算指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂． (3)底数是负数，先要确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数的，先要化成假分数． (4)底数尽量变为幂的形式． (5)根式一般先转化成分数指数幂，再利用实数指数幂的运算法则进行运算． 【跟踪训练】 3．计算(或化简)下列各式： (1) －＋0.25×； (2)＋＋＋4×； (3)； (4)－； (5)(5)＋21－×2. 解：(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3. (2)原式＝(2－2)－2＋(6－)－＋(3＋2)2－4××6＝24＋6＋5＋2×6－3×6＝21. (3)原式＝ ＝＝ ＝a－－＝a－1＝. (4)原式＝ ＋ ＝a－b＋(a＋b)＝2a＝2. (5)原式＝5×＋21－＋＝52＋21＝27. 题型四　条件求值问题　 　已知a＋a－＝3，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2； (3)；(4). [解]　(1)∵a＋a－＝3， ∴(a＋a－)2＝9， 即a＋a－1＋2＝9，∴a＋a－1＝7. (2)∵a＋a－1＝7，∴(a＋a－1)2＝49， 即a2＋a－2＋2＝49， ∴a2＋a－2＝47. (3)原式＝ ＝ ＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8. (4)∵a＋a－ ＝(a＋a－)(a－aa－＋a－1) ＝3(a＋a－1－1)＝3×(7－1)＝18. 而a2＋a－2＝47， ∴原式＝＝＝3. 【感悟提升】解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 【跟踪训练】 4．已知a＋a－1＝5，求a＋a－与a－a－的值． 解：∵a＋a－1＝5(a>0)， 又(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5＋2＝7， ∴a＋a－＝或a＋a－＝－(舍去)． 故a＋a－＝. ∵a＋a－1＝5， 又(a－a－)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3， ∴a－a－＝±. 1．若＋()n＋1＝0，a≠0，且n∈N＋，则(　　) A．a>0，且n为偶数 B．a<0，且n为偶数 C．a>0，且n为奇数 D．a<0，且n为奇数 答案：B 解析：由()n＋1＝a，得＝－a，故n为偶数且a<0. 2．若 ＝，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B. C. D. 答案：D 解析：原方程化为＝，左边为非负值，故右边也应为非负值，所以1－3a≥0，a≤.故选D. 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A．a－＝ B.＝x C．aaa－＝a××(－) D．2x－＝1－ 答案：AD 解析：a－＝＝，故A正确；＝x，故B错误；aaa－＝a＋－，故C错误；2x－·＝2×x－＋－2×2x－－＝x0－4x－1＝1－，故D正确．故选AD. 4．若3x－2y＝2，则＝________． 答案： 解析：＝52y－3x＝5－2＝. 5．若x>0，则－4x－(x－x)＝________． 答案：－23 解析：原式＝(2x)2－(3)2－4x＋4＝4x－33－4x＋4＝－27＋4＝－23. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 根式的性质　 实数指数幂的运算 根式与分数指数幂的化简　 无理数指数幂的运算　 整体代换法求值　 根式的性质；实数指数幂的运算 整数指数幂的运算 分数指数幂的运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ 对点 化为分数指数幂并运算求值 根式与分数指数幂的化简与求值　 实数指数幂的运算 根式与分数指数幂的化简　 条件求值问题与基本不等式结合　 实数指数幂的运算 分数指数幂的化简；整体代换法求值 实数指数幂的运算与证明 一、单选题 1．下列式子中，正确的个数为(　　) ①＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1； ③ ＝x＋y；④＝. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：对于①，若n为偶数，则不一定成立，故①错误；对于②，因为a2－a＋1＝＋≠0，所以(a2－a＋1)0＝1，故②正确；③显然错误；对于④，等式左边为负数，而右边为正数，故④错误．故选B. 2．若3α＝5，3β＝6，则＝(　　) A. B．33α－2β C．3α3－β2 D．325α－6β 答案：B 解析：因为3α＝5，3β＝6，所以(3α)3＝33α＝53＝125，(3β)2＝32β＝62＝36，所以＝＝33α－2β. 3．化简：＝(　　) A．a16 B．a8 C．a4 D．a2 答案：C 解析：原式＝(a)×(a)＝a2×a2＝a4. 4．计算：3π×＋(22)＋1的值为(　　) A．17 B．18 C．6 D．5 答案：B 解析：3π×＋(22)＋1＝＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18. 5．设a－a－＝m，则＝(　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 答案：C 解析：将a－a－＝m两边平方，得(a－a－)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2⇒＝m2＋2. 二、多选题 6．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2×a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(a－)2＝a D．()m＝ 答案：AD 解析：对于A，a2×a3＝a2＋3＝a5，A正确；对于B，(－a2)3＝(－1)3a6＝－a6，(－a3)2＝(－1)2a6＝a6，B不正确；对于C，(a－)2＝a－×2＝a－，C不正确；对于D，当有意义时，()m＝a＝，D正确．故选AD. 7．下列各式运算错误的是(　　) A．(－a2b)2(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2(－b2)3]3＝－a18b18 答案：CD 解析：对于A，(－a2b)2(－ab2)3＝a4b2(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2(－b2)3＝a6(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，[－(a3)2(－b2)3]3＝(a6b6)3＝a18b18，故D错误．故选CD. 三、填空题 8．计算：(7＋4)－27＋16－2×8＋×(4－)－1＝________． 答案：4 解析：原式＝[(2＋)2]－(33)＋(24)－2×(23)＋2×2＝2＋－＋8－8＋2＝4. 9．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________． 答案： 解析：∵2a＝m，5b＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m×m＝m＋，∴m2＝10，根据题意，可知m>0，∴m＝. 10．已知a＝－，b＝，则÷＝________． 答案： 解析：原式＝×＝＝a－＝＝＝＝. 四、解答题 11．计算：(1)32－－＋0.5－2； (2)1.5－×＋80.25×＋(×)6－； (3)(2－1)＋1×÷32＋. 解：(1)原式＝(25)－－－＋ ＝2－3－＋22＝－＋4＝. (2)原式＝×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－＝＋(23×2)＋22×33－＝2＋4×27＝110. (3)原式＝2(－1)(＋1)××＝2×＝2×＝. 12．化简下列各式： (1)(a>0，b>0)； (2)＋(m>0，n>0)． 解：(1)原式＝＝ ＝a+－×b1+－＝ab－1＝. (2)原式＝ ＝. 13．设x，y∈R，且x＋3y＝2，则3x＋27y的最小值是(　　) A．30 B．27 C．12 D．6 答案：D 解析：由已知3x＋27y＝3x＋33y≥2＝2＝2＝6，当且仅当3x＝33y，即x＝1，y＝时，等号成立． 14．计算：0.75－1××＋10(－2)－1＋＝________． 答案：－18 解析：原式＝××＋10×＋300＝×－10(2＋)＋10＝×－20＝－18. 15．(1)化简：－； (2)已知a2x＝＋1，求的值． 解：(1)原式＝－ ＝－(a－b) ＝a－b－(a－b)＝0. (2)令ax＝t，则t2＝＋1， 所以＝ ＝ ＝t2＋t－2－1＝＋1＋－1 ＝＋1＋－1－1＝2－1. 16．已知pa3＝qb3＝rc3，且＋＋＝1，求证：(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r. 证明：令pa3＝qb3＝rc3＝k， 则pa2＝，qb2＝，rc2＝， 所以(pa2＋qb2＋rc2)＝ ＝k. 因为＋＋＝1， 所以(pa2＋qb2＋rc2)＝k. 同理，由pa3＝qb3＝rc3＝k， 得p＝，q＝，r＝， 所以p＋q＋r＝＋＋ ＝k＝k. 所以(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$