6.1.1 向量的概念-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第六章　平面向量初步 6.1　平面向量及其线性运算 6.1.1　向量的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1.结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中的这些相关概念． 教学难点：1.对向量概念的理解.2.共线向量的理解和应用． 核心素养：1.通过对向量及相关概念的学习培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过运用向量及相关概念解决问题培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　向量的概念 一般地，既有_______又有_______的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的_____ (或长度)． 知识点二　向量的表示方法 (1)向量的几何表示 我们可以用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的_______表示向量的大小，有向线段________________表示向量的方向．通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的_____ (或起点)，带箭头的端点称为向量的_______.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为______，此时向量的模用_____表示． 大小 方向 模 长度 箭头所指的方向 始点 终点 核心概念掌握 5 |a| 零向量 0 |0|=0 1 |e|＝1 核心概念掌握 6 知识点四　向量的相等与平行 (1)相等向量：一般地，把____________________的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作_______． (2)平行向量：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量____．通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作_____．两个向量平行也称为两个向量______． [说明]　相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． [提醒]　(1)由于规定零向量与任意向量平行，所以平行向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为当b＝0时，向量a，c可以是任意的． (2)表示两个非零的共线向量的有向线段所在的直线未必一定平行，也可以是重合的． 大小相等、方向相同 a＝b a∥b 平行 共线 核心概念掌握 7 答案 不确定的 0 0 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　向量及相关概念 解析　加速度既有大小又有方向，符合向量的概念．故选B. (1)下列各量中是向量的是(　　) A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度 答案 解析 核心素养形成 10 解析　 ①是真命题；②是假命题，若单位向量的方向不同，则终点不同；③是假命题，向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小． 答案 解析 核心素养形成 11 核心素养形成 12 【跟踪训练】 1．(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．给出下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确说法的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 解析 解析：速度是既有大小又有方向的向量，不能比较大小，①错误；位移是既有方向又有大小的向量，不能比较大小，②错误；路程只有大小，可比较大小，显然汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，③正确．故选B. 核心素养形成 13 (2)下列说法正确的是(　　) A．温度既有零上温度，又有零下温度，则温度是矢量 B．作用力与反作用力是一对大小相等，方向相同的矢量 C．向量的大小与有向线段的起点无关 D．向量的大小与有向线段的起点有关 答案 解析 解析：温度的零上、零下之分不是方向，只是一种规定，故A错误；力是矢量，作用力与反作用力大小相等，方向相反，故B错误；向量的大小可用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，故C正确，D错误．故选C. 核心素养形成 14 题型二　向量的表示及应用 解　如图所示． 解 核心素养形成 15 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 题型三　向量的相等与平行 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 【感悟提升】　相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 随堂水平达标 1．关于零向量，下列说法中错误的是(　　) A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度是0 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 解析：零向量的方向是任意的，零向量的长度是0，零向量与任一向量平行．故选A. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 向量的概念 向量的模；单位向量；共线向量；相等向量 共线向量 向量的模 相等向量 向量的模；相等向量；共线向量 向量的模；相等向量；共线向量 零向量；单位向量 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 向量的模的最值 向量的模；共线向量 向量的模；相等向量；共线向量 相等向量的应用及证明 向量的模；相等向量；共线向量 向量的表示及应用 向量的模 向量的表示及应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 一、单选题 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程； ⑦密度；⑧功．其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：看所给的量是否既有大小又有方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 2．(2024·辽宁沈阳高一期末)下列命题中正确的是(　　) A．单位向量的方向都相同 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 解析：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都等于1，但方向不一定相同，故A错误；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．故选D. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 5．(2024·河北唐山一中高一月考)若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的端点，得到的向量中有n(n∈N＋)个是两两不相等的，则n的最大值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 三、填空题 8．若向量a与任意向量b都平行，则a＝___；若|a|＝1，则向量a是_________. 解析：由于只有零向量与任意向量平行，故a＝0；由于|a|＝1，即向量a的长度为1，所以向量a是单位向量． 答案 解析 0 单位向量 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 答案 解析 8 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解：由向量相等及共线的概念，结合题中图形可知C不一定成立，其余一定成立． 解析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解析：由题意，马在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以点B为起点作向量，共3个；以点C为起点作向量，共8个．所以共有11个． 解 答案 11 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 　　　　　　　　　　　　　 R eq \o(AB,\s\up13(→)) eq \o(AB,\s\up13(→)) (2)向量的字母表示 除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如 |来表示． 等来表示向量．向量a的模也用___或| ， 知识点三　零向量与单位向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为_________．零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即____；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即eq \o(\a\vs4\al(0),\s\up13(→)).零向量的模为0，即_________．零向量的方向是不确定的． (2)单位向量：模等于___的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是_____. eq \o(AO,\s\up13(→))，eq \o(OD,\s\up13(→))，eq \o(DO,\s\up13(→))，eq \o(EF,\s\up13(→))，eq \o(FE,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CB,\s\up13(→))，eq \o(AD,\s\up13(→))，eq \o(DA,\s\up13(→)) eq \o(DO,\s\up13(→))，eq \o(EF,\s\up13(→))，eq \o(CB,\s\up13(→)) 1.(向量的相等)如图，四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，则必有(　　) A.eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(CB,\s\up13(→)) B.eq \o(OA,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→)) C.eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(DB,\s\up13(→)) D.eq \o(DO,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→)) 2．(零向量)零向量的方向是________，零向量的模等于___，零向量记作____． 3.(向量的相等与平行)如图，在正六边形ABCDEF中，设O为它的中心，与eq \o(OA,\s\up13(→))共线的非零向量有______________________________________，与eq \o(OA,\s\up13(→))相等的向量有____________． (2)给出下列命题： ①向量eq \o(AB,\s\up13(→))的模和向量eq \o(BA,\s\up13(→))的模相等； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【感悟提升】向量的判定及相关概念 (1)向量的判定 判定一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两要素：大小和方向．同时具备这两个要素的量是向量，否则就不是向量． (2)向量与有向线段的关系 如果有向线段eq \o(AB,\s\up13(→))表示一个向量，通常我们就说向量eq \o(AB,\s\up13(→))，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． (3)向量与数量的区别 ①向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量没有方向； ②数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|也不能说a>b. (1)eq \o(OA,\s\up13(→))，使|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝4eq \r(2)，点A在O北偏东45°； (2)eq \o(AB,\s\up13(→))，使|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝4，点B在点A正东方向； (3)eq \o(BC,\s\up13(→))，使|eq \o(BC,\s\up13(→))|＝6，点C在点B北偏东30°. 【感悟提升】用“四定一标”来表示向量 (1)“四定”即 eq \x(\a\al(定向量的,始点))―→eq \x(\a\al(确定向量的,方向))―→eq \x(\a\al(确定向量的大小,（长度）))―→eq \x(\a\al(按向量大小确定,终点)). (2)“一标”即确定向量的方向后用箭头标出． 【跟踪训练】 2．某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D. (1)作出向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))； (2)求eq \o(AD,\s\up13(→))的模． 解：(1)作出向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))，如图所示． (2)由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米，△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \o(AD,\s\up13(→))|＝5eq \r(5)米． (1)写出与向量eq \o(FC,\s\up13(→))共线的非零向量； (2)求证：eq \o(BE,\s\up13(→))＝eq \o(FD,\s\up13(→)). 解　(1)由共线向量的定义，得与向量eq \o(FC,\s\up13(→))共线的非零向量有eq \o(CF,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CB,\s\up13(→))，eq \o(BF,\s\up13(→))，eq \o(FB,\s\up13(→))，eq \o(ED,\s\up13(→))，eq \o(DE,\s\up13(→))，eq \o(AE,\s\up13(→))，eq \o(EA,\s\up13(→))，eq \o(AD,\s\up13(→))，eq \o(DA,\s\up13(→)). (2)证明：在▱ABCD中，AD綊BC， 又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綊BF. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴BE綊FD，∴eq \o(BE,\s\up13(→))＝eq \o(FD,\s\up13(→)). 【跟踪训练】 3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中： (1)写出与eq \o(EF,\s\up13(→))方向相反的向量； (2)写出与eq \o(EF,\s\up13(→))的模相等的向量； (3)写出与eq \o(EF,\s\up13(→))相等的向量． 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC， 所以与eq \o(EF,\s\up13(→))方向相反的向量为eq \o(FE,\s\up13(→))，eq \o(BD,\s\up13(→))，eq \o(DC,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→)). (2)因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，且△ABC的三边均不相等，所以△DEF的三边均不相等，且EF＝BD＝DC， 所以与eq \o(EF,\s\up13(→))的模相等的向量为eq \o(FE,\s\up13(→))，eq \o(BD,\s\up13(→))，eq \o(DB,\s\up13(→))，eq \o(DC,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→)). (3)由(1)(2)可知，与eq \o(EF,\s\up13(→))相等的向量为eq \o(DB,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→)). 2．(2024·云南昆明一中高一月考)如图，在⊙O中，向量eq \o(OB,\s\up13(→))，eq \o(OC,\s\up13(→))，eq \o(AO,\s\up13(→))是(　　) A．有相同始点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 解析：|eq \o(OB,\s\up13(→))|，|eq \o(OC,\s\up13(→))|，|eq \o(AO,\s\up13(→))|均为⊙O的半径，故|eq \o(OB,\s\up13(→))|＝|eq \o(OC,\s\up13(→))|＝|eq \o(AO,\s\up13(→))|，由图形判断A，B，D均错误．故选C. 3．(2024·广东东莞高一开学考试)给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③在四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数为(　　) A．2 　　　　　B．3 　　　　　C．4 　　　　　　D．5 解析：对于①，两个向量相等是指两个向量大小相等，方向相同，所以它们的起点和终点不一定相同，故①不正确；对于②，若|a|＝|b|，方向不同，则a＝b不一定成立，故②不正确；对于③，在四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，则AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形，故③正确；对于④，在平行四边形ABCD中，一定有eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，故④正确；对于⑤，若m＝n，n＝k，则m＝k，故⑤正确；对于⑥，a∥b，b∥c，当b＝0时，a与c不一定共线，故⑥不正确．故选B. 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(CD,\s\up13(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．模相等的向量都相等 C．四边形ABCD是平行四边形当且仅当eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→)) D．一个向量方向不确定当且仅当模为0 解析：A不正确，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))在同一条直线上；B不正确，向量的模相等，但方向并不一定相同；由向量相等的概念及零向量的概念，易知C，D正确．故选CD. 3eq \r(2) eq \r(26) 2eq \r(2) 5．(2024·河南郑州七中高一期中)下图中，小正方形的边长为1，则|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝_____，|eq \o(CD,\s\up13(→))|＝______，|eq \o(EF,\s\up13(→))|＝______． 解析：根据勾股定理可得|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝3eq \r(2)，|eq \o(CD,\s\up13(→))|＝eq \r(26)，|eq \o(EF,\s\up13(→))|＝2eq \r(2). 3.如下图所示，在△ABC中，DE∥BC，则向量eq \o(AD,\s\up13(→))，eq \o(AE,\s\up13(→))，eq \o(BD,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(ED,\s\up13(→))，eq \o(EC,\s\up13(→))中的共线向量有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 解析：eq \o(AD,\s\up13(→))与eq \o(BD,\s\up13(→))，eq \o(AE,\s\up13(→))与eq \o(EC,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))与eq \o(ED,\s\up13(→))都是共线向量． 4．(2024·广东广州六中高一月考)在平面内，已知点O固定，且|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝2，则点A构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 解析：因为在平面内|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝2，且点O固定，所以点A在以点O为圆心，2为半径的圆上，故点A构成的图形是一个圆．故选C. 解析：如图，两两互不相等的向量有eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BA,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))，eq \o(CA,\s\up13(→))，eq \o(DB,\s\up13(→))，eq \o(BD,\s\up13(→))，eq \o(AD,\s\up13(→))，eq \o(DA,\s\up13(→))，共8个． 二、多选题 6.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中正确的是(　　) A．图中所标出的向量中与eq \o(AB,\s\up13(→))相等的向量只有1个(不含eq \o(AB,\s\up13(→))本身) B．图中所标出的向量中与eq \o(AB,\s\up13(→))的模相等的向量有4个(不含eq \o(AB,\s\up13(→))本身) C.eq \o(BD,\s\up13(→))的长度恰为eq \o(DA,\s\up13(→))长度的eq \r(3)倍 D.eq \o(CB,\s\up13(→))与eq \o(DA,\s\up13(→))不共线 解析：易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，故A正确；对于B，|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(DC,\s\up13(→))|＝|eq \o(DA,\s\up13(→))|＝|eq \o(CB,\s\up13(→))|＝|eq \o(CA,\s\up13(→))|，故B正确；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|eq \o(BD,\s\up13(→))|＝eq \r(3)|eq \o(DA,\s\up13(→))|，故C正确；对于D，eq \o(CB,\s\up13(→))∥eq \o(DA,\s\up13(→))成立，故D错误．故选ABC. 7．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→)) B.eq \o(AB,\s\up13(→))∥eq \o(DE,\s\up13(→)) C．|eq \o(AD,\s\up13(→))|＝|eq \o(BE,\s\up13(→))| D.eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(FC,\s\up13(→)) 解析：由正六边形的性质，可得eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→))，eq \o(AB,\s\up13(→))∥eq \o(DE,\s\up13(→))，|eq \o(AD,\s\up13(→))|＝|eq \o(BE,\s\up13(→))|，|eq \o(AD,\s\up13(→))|＝|eq \o(FC,\s\up13(→))|，显然eq \o(AD,\s\up13(→))，eq \o(FC,\s\up13(→))方向不同，故eq \o(AD,\s\up13(→))≠eq \o(FC,\s\up13(→)).故选ABC. eq \f(5\r(3),2) 9．在一个边长为5的正三角形ABC中，若点D在边BC上运动，则向量eq \o(AD,\s\up13(→))长度的最小值为________． 解析：根据题意，在正三角形ABC中，当AD与边BC垂直时，有向线段AD的长度最小，最小值为正三角形ABC的高，即eq \f(5\r(3),2). 10．四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与eq \o(AC,\s\up13(→))平行且长度为2eq \r(2)的向量有___个，与向量eq \o(AC,\s\up13(→))同向且长度为2eq \r(2)的向量有____个． 解析：如图所示，满足与eq \o(AC,\s\up13(→))平行且长度为2eq \r(2)的向量有eq \o(AF,\s\up13(→))，eq \o(FA,\s\up13(→))，eq \o(EC,\s\up13(→))，eq \o(CE,\s\up13(→))，eq \o(GH,\s\up13(→))，eq \o(HG,\s\up13(→))，eq \o(IJ,\s\up13(→))，eq \o(JI,\s\up13(→))，共8个，与向量eq \o(AC,\s\up13(→))同向且长度为2eq \r(2)的向量占与向量eq \o(AC,\s\up13(→))平行且长度为2eq \r(2)的向量中的一半，共4个． 四、解答题 11.如图，在圆心为原点，半径为1的圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N.则在向量eq \o(OM,\s\up13(→))，eq \o(ON,\s\up13(→))，eq \o(MP,\s\up13(→))，eq \o(NQ,\s\up13(→))，eq \o(OP,\s\up13(→))，eq \o(OB,\s\up13(→))，eq \o(OA,\s\up13(→))，eq \o(OQ,\s\up13(→))中： (1)找出相等的向量； (2)找出所有共线向量； (3)eq \o(OM,\s\up13(→))，eq \o(ON,\s\up13(→))的模各是多少？ 解：(1)相等的向量有eq \o(MP,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))＝eq \o(NQ,\s\up13(→)). (2)eq \o(OM,\s\up13(→))与eq \o(ON,\s\up13(→))；eq \o(MP,\s\up13(→))与eq \o(OB,\s\up13(→))，eq \o(OA,\s\up13(→))，eq \o(NQ,\s\up13(→))互为共线向量． (3)|eq \o(OM,\s\up13(→))|＝|eq \o(ON,\s\up13(→))|＝eq \f(\r(3),2). 12.如图所示的平面图形中，已知eq \o(AA′,\s\up13(→))＝eq \o(BB′,\s\up13(→))＝eq \o(CC′,\s\up13(→)).求证： (1)△ABC≌△A′B′C′； (2)eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(A′B′,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(A′C′,\s\up13(→)). 证明：(1)∵eq \o(AA′,\s\up13(→))＝eq \o(BB′,\s\up13(→))， ∴|eq \o(AA′,\s\up13(→))|＝|eq \o(BB′,\s\up13(→))|，且eq \o(AA′,\s\up13(→))∥eq \o(BB′,\s\up13(→)). 又A不在eq \o(BB′,\s\up13(→))上，∴AA′∥BB′， ∴四边形AA′B′B是平行四边形， ∴|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(A′B′,\s\up13(→))|. 同理|eq \o(AC,\s\up13(→))|＝|eq \o(A′C′,\s\up13(→))|，|eq \o(BC,\s\up13(→))|＝|eq \o(B′C′,\s\up13(→))|. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形， ∴eq \o(AB,\s\up13(→))∥eq \o(A′B′,\s\up13(→))，且|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(A′B′,\s\up13(→))|， ∴eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(A′B′,\s\up13(→)).同理可证eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(A′C′,\s\up13(→)). 13．(多选)(2024·湖南长沙一中高一质检)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(EF,\s\up13(→))| B.eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(FH,\s\up13(→))共线 C.eq \o(BD,\s\up13(→))与eq \o(EH,\s\up13(→))共线 D.eq \o(CD,\s\up13(→))＝eq \o(FG,\s\up13(→)) 14.(2024·安徽合肥八中高一月考)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量eq \o(AA1,\s\up13(→))，eq \o(AA2,\s\up13(→))表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个． 15.(2024·上海高一月考)如图，A1，A2，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，…，A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于圆的半径的向量有多少个？模等于圆的半径的eq \r(2)倍的向量有多少个？ 解：由题图可知，模等于圆的半径的向量为eq \o(OAi,\s\up13(→))，eq \o(AiO,\s\up13(→))(i＝1，2，…，8)，共16个；图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆的半径的eq \r(2)倍的向量，所以模等于圆的半径的eq \r(2)倍的向量共16个． 16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000eq \r(2) km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？ 解：如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意，知△ABC是正三角形， ∴AC＝2000 km. 又∠ACD＝45°， CD＝1000eq \r(2) km， ∴△ACD是等腰直角三角形． ∴AD＝1000eq \r(2) km，∠CAD＝45°. ∴丁地在甲地的东南方向，距甲地1000eq \r(2) km. $$