5.1.4 用样本估计总体-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第五章　统计与概率 5.1　统计 5.1.4　用样本估计总体 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.5.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值和样本方差． 教学重点：1.用样本的数字特征估计总体的数字特征.2.用样本的分布估计总体的分布． 教学难点：利用样本估计总体的方法解决实际问题． 核心素养：通过用样本估计总体提升数据分析素养、数学运算素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 样本的容量恰当 抽样方法又合理 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 1．(用样本分布估计总体分布)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　) A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 答案 核心概念掌握 7 2．(用样本平均数估计总体平均数)为了解某医院急救中心病人的等待时间，现随机抽取20位病人，对他们的等待时间记录如下表： 用上述数据估计该医院急救中心病人的平均等待时间为______分钟． 9.5 答案 等待时间/分钟 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25] 频数 4 8 5 2 1 核心概念掌握 8 3．(用频率分布直方图估计总体的分布)某校为了解学生每周的自习情况，现随机调查了200名学生，对他们每周的自习时间(单位：小时)进行统计，制成了如图所示的频率分布直方图，其中每周自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据频率分布直方图，估计该校2000名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是______． 1400 答案 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　用样本平均数、方差估计总体 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸(单位：mm)如下茎叶图所示： (1)分别计算这两个样本的平均数和方差； (2)如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？ 核心素养形成 11 解 核心素养形成 12 【感悟提升】用样本估计总体时，样本的平均数、方差只是总体的平均数、方差的近似值．在实际中，当所得数据的平均数不同时，需先分析平均水平，再计算方差，分析稳定情况． 核心素养形成 13 【跟踪训练】 1．某学校在上报《国家学生体质健康标准》高一年级学生的肺活量单项数据时，采用了分层抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量的平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量的平均数为2500 mL，方差为20.试估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差． 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 题型二　用频率分布直方图估计数据的数字特征 从高三年级全体学生中抽出50名学生参加数学竞赛，将成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数(精确到0.1)； (2)这50名学生成绩的平均数． 核心素养形成 16 解 解　(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数，在直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标即为所求，所以由频率分布直方图得众数应为75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等． 因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求． 因为(0.004＋0.006＋0.020)×10＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为0.3，而第四个小矩形的面积为0.030×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， 核心素养形成 17 解 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设中位数为x，则0.030×(x－70)＝0.2，得x≈76.7，故中位数约为76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边中点的横坐标乘以每个小矩形的面积即可． 所以平均数为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.020×10)＋75×(0.030×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2. 核心素养形成 18 【感悟提升】 (1)利用频率分布直方图估计一组数据的数字特征：①众数的估计值是最高小矩形的底边中点的横坐标；②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数大约等于每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和． (2)利用频率分布直方图求得的众数、中位数、平均数均为估计值，往往与实际数据得出的结果不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数． 核心素养形成 19 【跟踪训练】 2．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学 生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率 分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、 五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求： (1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生成绩的平均数． 核心素养形成 20 解 解： (1)由图可知众数为65， ∵第一、二个小矩形的面积分别为0.3，0.4， 且0.3＋0.4＝0.7>0.5， ∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5， 得x＝5， ∴估计中位数为60＋5＝65. (2)依题意，平均数为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67， ∴估计高一参赛学生成绩的平均数为67. 核心素养形成 21 题型三　用样本的分布来估计总体的分布 为了迎接某市作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查项目是自己对该市各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路人回答是客观的)，以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于50分的分成五段：[50，60)，[60，70)，…，[90，100]后画 出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息， 回答下列问题： (1)求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数； (2)估计全市市民满意度在60分及以上的百分比． 核心素养形成 22 解 解　(1)因为各组的频率和等于1， 所以低于50分的频率为f＝1－(0.015×2＋ 0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.1， 故低于50分的人数为60×0.1＝6. (2)依题意，60分及以上的频率和为(0.015 ＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75， 所以抽样满意度在60分及以上的百分比为75%， 于是，可以估计全市市民满意度在60分及以上的百分比约为75%. 核心素养形成 23 【感悟提升】用样本的分布来估计总体分布的关注点 (1)频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布． (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性． (3)用样本分布来估计总体分布时，要使样本较好地反映总体的特征，必须随机抽取样本．如果随机抽取另外一个相同容量的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同，但是它们都可以估计总体的分布． 核心素养形成 24 【跟踪训练】 3．(2024·贵州遵义期末)某景点某天接待了1250名游客，老年有625人，中青年有500人，少年有125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，制成如下频 率分布直方图： (1)求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； (2)求频率分布直方图中a的值； (3)估计当天游客满意度分值的75%分位数； (4)估计当天游客满意度分值不低于80分的人数． 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 解 核心素养形成 27 随堂水平达标 1．对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法正确的是(　　) A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确 解析：样本为所研究的具体对象，样本容量越大，越能反映总体情况，估计越精确． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 2．在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下： 分数在130分(包括130分)以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 答案 分组 [90，100) [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频数 1 2 6 7 3 1 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 3．(多选)在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点值代表，则下列说法正确的是(　　) A．成绩在[70，80)的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000 C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 4．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 估计全班学生每周购买零食的平均支出为_____元，方差为______． 答案 解析 学生数 平均支出/元 方差 男生 9 40 6 女生 6 35 4 38 11.2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 5．一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得它们的质量(单位：kg)如茎叶图所示： 据此估计水库中所有鱼的总质量约为________ kg. 答案 解析 117150 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 根据频率分布直方图求组距 根据频数分布直方图估计总体的平 均数 根据频率分布直方图估计总体在某区间的频数 根据折线图估计总体的数字特征 根据频率分布直方图估计总体的众数、中位数 根据茎叶图估计总体的平均数、标 准差 根据频率分布直方图估计总体的中位数、平均数、某区间的频率 根据频数分布表估计总体的方差 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 根据频数分布表估计总体的百分位数 根据频率分布直方图估计总体在某区间的频数 根据茎叶图及平均数求参数、方差并进行决策 根据频率分布表、频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数 雷达图的应用 根据折线图求方差；根据折线图走势进行决策 由分层抽样的平均数与方差估计总体的平均数与方差 根据频率分布直方图估计总体的百分位数；频率分布直方图的实际应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2．如图是从高一年级一次考试中随机抽取的部分学生的成绩统计图，根据该图可估计，高一年级全体学生这次考试的平均分数为(　　) A．46 B．36 C．56 D．60 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生 600名，据此估计，高一年级期末数学成绩不少 于60分的学生人数为(　　) A．588 B．480 C．450 D．120 解析：在频率分布直方图中，矩形的面积表示其频率．该校高一年级期末数学成绩不少于60分的频率为1－(0.005＋0.015)×10＝0.8，所以对应的学生人数为600×0.8＝480.故选B. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 4．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50 mm的零件，各抽取10个进行测量，其结果如图所示，则以下结论不正确的是(　　) A．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4 mm B．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0 mm C．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的 零件直径稳定 D．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流 水线生产的零件直径的平均值 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 5．对某小区随机抽取的100户居民的月均用水量进行统计，得到的频率分布直方图如图所示，则估计该小区所有居民月均用水量的众数、中位数分别为( 　) A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 二、多选题 6．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取 该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如 图所示的茎叶图．则以下结论正确的是(　　) A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温 B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温 C．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差 D．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 7．(2024·辽宁锦州期末)为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 则下列结论正确的是(　　) A．图中a的值是0.16 B．估计该地区家庭年收入的中 位数为7.5万元 C．估计该地区家庭年收入的平 均值不超过7万元 D．估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的比例为20% 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解析 解析：对于A，根据频率分布直方 图中频率之和为1，得(0.1×3＋0.04×2 ＋0.02×4＋0.2×2＋a)×1＝1，解得a＝ 0.14，故A错误；对于B，设该地区家庭 年收入的中位数为x万元，因为0.02＋0.04 ＋0.10＋0.14＋0.20＝0.5，所以x＝7.5，即中位数是7.5万元，故B正确；对于C，因为该地区家庭年收入的平均值为 ＝3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68，故C错误；对于D，由图中数据可以估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的比例为0.1＋0.04＋0.02×3＝0.2，故D正确．故选BD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 三、填空题 8．从有400人参加的某项运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表格，则这400人成绩的方差的估计值是_______． 答案 解析 1.16 分数 5 4 3 2 1 人数 5 15 20 5 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9．(2024·湖南株洲一中高一月考)某单位为了解党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 则该单位党员一周学习党史时间的60%分位数是_____． 答案 解析 9 党史学习时间/小时 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 10．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据 不慎丢失，则依据此图可得： (1)年龄组[25，30)对应小矩形的高度为______； (2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄 在[25，35)内的人数为______． 解析： (1)设年龄组[25，30)对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04. (2)由(1)得志愿者年龄在[25，35)内的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)内的人数约为0.55×800＝440. 答案 解析 0.04 440 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 四、解答题 11．如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数的记录，现有一个数据被污损，在图中以X表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均数为10. (1)求X的值和乙球员抢得篮板球数的方差； (2)如果你是该球队的教练，在正式比赛中你会派谁上场？请说明理由(用数据说明)． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 12．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出频率分布表和频率分布直方图如下： (1)求出表中M，p及图中a的值； (2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数； (3)估计学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数(中位数精确到0.1)． 分组 频数 频率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 24 n [20，25) m p [25，30] 2 0.05 合计 M 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 解 分组 频数 频率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 24 n [20，25) m p [25，30] 2 0.05 合计 M 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解 分组 频数 频率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 24 n [20，25) m p [25，30] 2 0.05 合计 M 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 13．(多选)(2024·湖北武汉期中)目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式．下面的实例是某市对“增值评价”的简单应用，该市教育评价部门对本市70所高中按照分层抽样的方式抽出7所(其中，“重点高中”3所分别记为A，B，C， “普通高中”4所分别记为d，e，f，g)， 进行跟踪统计分析，将7所高中新生进行了统一的 入学测试，高考后，该市教育评价部门将入学测试 成绩与高考成绩的各校平均总分绘制成了雷达图． 点M表示d学校入学测试平均总分大约为520分，点 N表示A学校高考平均总分大约为660分，则下列叙述正确的是(　　) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 A．各校入学测试的成绩都在300分以上 B．高考平均总分超过600分的学校有4所 C．B学校成绩出现负增幅现象 D．“普通高中”学生成绩上升比较明显 解析：由题图可知，各校入学测试的成绩都在300分以上，故A正确；高考平均总分超过600分的学校只有A，B，C 3所，故B错误；因为B学校的高考成绩低于入学测试成绩，所以B学校成绩出现负增幅现象，故C正确；由题图可以看出“普通高中”的高考成绩都大于入学测试成绩，故“普通高中”学生成绩上升比较明显，故D正确．故选ACD. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 14．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试， 他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示 (单位：mm)： A，B两位同学各加工的10个零件直径的平 均数与方差列于下表： 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 根据测试得到的有关数据，若只考虑平均数与方差，说明____的成绩好些；若考虑图中折线走势及竞赛中加工零件远远超过10个的实际情况，你认为派____去参赛较合适． 答案 解析 B A 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 15．在一次高一年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高一学生参加了本次考试，为了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 16．在党中央领导下，我国经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展．某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2023年的月均销售额(单位：万元)，将数据按 照[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)，[20， 22)，[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分 布直方图．已知[14，16)组的频数比[12，14)组多4. (1)求频率分布直方图中a和b的值； (2)该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　用样本的数字特征估计总体的数字特征 一般情况下，如果___________________，___________________的话，样本的特征能够反映总体的特征．在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征． 知识点二　分层抽样的平均数和方差 已知由两层构成的样本中，假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq \o(x,\s\up8(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq \o(y,\s\up8(－))，方差为t2.则 eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,m) eq \o(∑,\s\up14(m),\s\do14(i＝1))xi，s2＝eq \f(1,m) eq \o(∑,\s\up14(m),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up8(－)))2， eq \o(y,\s\up6(－))＝_______，t2＝_____________． eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1))yi eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1))(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))2 eq \f(1,m＋n) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((ms2＋nt2)＋\f(mn,m＋n)(\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－)))2)) 如果记样本均值为eq \o(a,\s\up6(－))，样本方差为b2，则 eq \o(a,\s\up6(－))＝___________________＝______________， b2＝_______________________________________ ＝______________________________________． 知识点三　用样本的分布来估计总体的分布 如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多．如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布． eq \f(1,m＋n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up14(m),\s\do14(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up14(n),\s\do14(i＝1))yi)) eq \f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n) eq \f(m[s2＋(\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－)))2]＋n[t2＋(\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－)))2],m＋n) 解　(1)由茎叶图可得样本数据分别为 甲：8.9，9.7，9.9，9.9，10.0，10.1，10.1，10.2，10.3，10.9； 乙：9.6，9.7，9.8，9.9，10.0，10.0，10.1，10.2，10.3，10.4. eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)×(8.9＋9.7＋9.9＋9.9＋10.0＋10.1＋10.1＋10.2＋10.3＋10.9)＝10， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(9.6＋9.7＋9.8＋9.9＋10.0＋10.0＋10.1＋10.2＋10.3＋10.4)＝10， 所以seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(8.9－10)2＋(9.7－10)2＋(9.9－10)2＋(9.9－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(10.3－10)2＋(10.9－10)2]＝0.228， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(9.6－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.0－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(10.3－10)2＋(10.4－10)2]＝0.06. (2)因为eq \o(x,\s\up6(－))甲 ＝eq \o(x,\s\up6(－))乙＝10，seq \o\al(2,甲)＞seq \o\al(2,乙)，所以用乙机床加工这种零件较合适． 解：把男生样本平均数记为eq \o(x,\s\up6(－))，方差记为seq \o\al(2,x)；把女生样本平均数记为eq \o(y,\s\up6(－))，方差记为seq \o\al(2,y)；把样本数据的平均数记为eq \o(z,\s\up6(－))，方差记为s2. 由eq \o(x,\s\up6(－))＝3000，eq \o(y,\s\up6(－))＝2500，根据分层抽样中样本平均数与各层样本平均数的关系，可得样本平均数为eq \o(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,20＋30)(20eq \o(x,\s\up6(－))＋30eq \o(y,\s\up6(－)))＝eq \f(1,50)×(20×3000＋30×2500)＝2700. 根据方差的定义，得样本方差为 s2＝2,x)eq \f(1,20＋30) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（20s＋30seq \o\al(2,y)）＋\f(20×30,20＋30)（\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))）2)) ＝eq \f(1,50)×[20×10＋30×20＋12×(3000－2500)2]＝60016. 据此估计高一年级全体学生肺活量的平均数为2700 mL，方差为60016. 解　 (1)因为老年有625人，中青年有500人，少年有125人，所以老年、中青年、少年的人数比例为625∶500∶125＝5∶4∶1， 故抽取100人的样本中老年的人数为100×eq \f(5,5＋4＋1)＝ 50， 中青年的人数为100×eq \f(4,5＋4＋1)＝40，少年的人数为 100×eq \f(1,5＋4＋1)＝10. (2)由题意可得(0.010＋0.025＋0.035＋a＋0.010)×10＝1， 解得a＝0.020. (3)设当天游客满意度分值的75%分位数为x， 因为(0.010＋0.025＋0.035)×10＝0.7<0.75，0.7＋0.020×10 ＝0.9>0.75， 所以x位于区间[80，90)内， 则(x－80)×0.020＝0.75－0.7， 解得x＝82.5. 所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5. (4)由题图可知，样本数据落在[80，100]的频率为(0.020＋0.010)×10＝0.30. 所以估计当天游客满意度分值不低于80分的人数为1250×0.30＝375. 解析：由表可知，优秀的人数为3＋1＝4，则优秀率为eq \f(4,20)＝20%，故据此估计该班的优秀率约为20%.故选B. 解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)的频 率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直 方图，可得成绩在[40，60)的频率为0.25，因此不及格的 考生人数为4000×0.25＝1000，故B正确；由频率分布 直方图，可得考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1＋55× 0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40，70)的频率为0.45，在[70，80)的频率为0.3，所以考生竞赛成绩的中位数为70＋eq \f(0.05,0.030)≈71.67，故D错误．故选ABC. 解析：估计全班学生每周购买零食的平均支出为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,15)×(9×40＋6×35)＝38，方差s2＝eq \f(1,15)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(9×6＋6×4＋\f(9×6,15)×（40－35）2))＝11.2. 解析：由茎叶图可得样本数据分别为1.04，1.07，1.09，1.10，1.11，1.12，1.14，1.15，1.15，1.16，1.16，1.18，1.19，1.21，1.21，1.24，1.25，1.25，1.29，1.32，所以样本的平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,20)×(1.04＋1.07＋1.09＋1.10＋1.11＋1.12＋1.14＋1.15×2＋1.16×2＋1.18＋1.19＋1.21×2＋1.24＋1.25×2＋1.29＋1.32)＝1.1715.水库中所有鱼的总质量约为1.1715×100000＝117150(kg)． 一、单选题 1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组频率分布直方图上的高为h，则|a－b|＝(　　) A．hm B．eq \f(m,h) C．eq \f(h,m) D．h＋m 解析：根据频率分布直方图中每组的高为eq \f(频率,组距)，可知eq \f(m,|a－b|)＝h，所以|a－b|＝eq \f(m,h).故选B. 解析：根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100]之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，样本总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，样本总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1380，样本平均分数为eq \f(1380,30)＝46.由样本估计总体，可知高一年级全体学生这次考试的平均分数为46. 解析：对于A，由图可知，甲流水线生产的零件直 径的极差为50.2－49.8＝0.4(mm)，故A正确；对于B， 由图可知，乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0 mm，故B正确；对于C，由折线图可以看出乙流水线 生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定，故C 正确；对于D，因为甲流水线生产的零件直径的平均值 eq \o(v,\s\up6(－))甲＝eq \f(50.0＋49.8＋50.1＋50.2＋49.9＋50.0＋50.2＋49.8＋50.2＋49.8,10)＝50，乙流水线生产的零件直径的平均值eq \o(v,\s\up6(－))乙 ＝eq \f(50.0＋50.0＋49.9＋50.0＋49.9＋50.1＋50.1＋50.1＋50.0＋49.9,10)＝50，所以eq \o(v,\s\up6(－))甲＝eq \o(v,\s\up6(－))乙，故D不正确．故选D. 解析　众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布直方图中通常取该组区间的中点值，所以众数为eq \f(2＋2.5,2)＝2.25.中位数是频率为0.5的分界点，由频率分布直方图，可知前4组的频率和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，前5组的频率和为0.49＋0.50×0.5＝0.74，因此中位数出现在第5组，设中位数为x，则(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02.用样本估计总体，可知该小区所有居民月均用水量的众数、中位数分别为2.25，2.02.故选B. 解析　∵eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，∴eq \o(x,\s\up6(－))甲<eq \o(x,\s\up6(－))乙．又seq \o\al(2,甲)＝eq \f(9＋1＋0＋4＋4,5)＝eq \f(18,5)，seq \o\al(2,乙)＝eq \f(4＋1＋0＋1＋4,5)＝2，∴s甲>s乙．故由样本估计总体可知A，D正确． eq \o(x,\s\up6(－)) 解析：成绩的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,50)×(5×5＋4×15＋3×20＋2×5＋1×5)＝3.2，方差为eq \f(1,50)×[5×(5－3.2)2＋15×(4－3.2)2＋20×(3－3.2)2＋5×(2－3.2)2＋5×(1－3.2)2]＝1.16，所以这400人成绩的方差的估计值是1.16. 解析：党员人数为6＋10＋9＋8＋7＝40，则40×60%＝24，那么60%分位数是数据从小到大排列后第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以60%分位数是eq \f(9＋9,2)＝9. 解：(1)由茎叶图，可得eq \f(X＋8＋9＋8＋14＋12,6)＝10， 解得X＝9； 乙球员抢得篮板球数的方差为 seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(9－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋ (8－10)2＋(14－10)2＋(12－10)2]＝5. (2)eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(6＋9＋9＋14＋11＋11,6)＝10， seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(6－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(14－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝6， 由(1)，可知eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙，seq \o\al(2,乙)＜seq \o\al(2,甲)， 所以乙球员发挥得更稳定，派乙球员上场． 解：(1)由分组[10，15)内的频数是10，频率是0.25， 知eq \f(10,M)＝0.25，所以M＝40. 所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4， 所以p＝eq \f(m,M)＝eq \f(4,40)＝0.1，a＝eq \f(24,40×5)＝0.12. (2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为0.25×240＝60. (3)估计学生参加社区服务次数的众数是eq \f(15＋20,2)＝17.5. 因为n＝eq \f(24,40)＝0.6， 所以中位数落在[15，20)内，设中位数为15＋x， 则0.25＋0.12x＝0.5， 解得x≈2.1， 所以估计学生参加社区服务次数的中位数是15＋2.1＝17.1. 又12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25. 所以估计学生参加社区服务次数的平均数是17.25. 平均数 方差 A 20 0.016 B 20 s 解析：因为seq \o\al(2,B)＝eq \f(1,10)×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，seq \o\al(2,A)>seq \o\al(2,B)，所以在平均数相同的情况下，B的波动较小，所以B的成绩好些．从图中折线趋势可知，尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，所以派A去参赛较合适 解：由分层抽样的平均数与方差的计算公式可得样本的平均数为eq \f(8×7＋2×8,8＋2)＝7.2， 样本的方差为eq \f(1,8＋2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（8×4＋2×1）＋\f(8×2,8＋2)×（7－8）2))＝3.56. 所以用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56. 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋b＋0.12＋0.14＋0.10＋0.04）×2＝1，,50×b×2－50×a×2＝4，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.03，,b＝0.07.)) (2)设该企业应该制定的月销售冲刺目标值为x万元，则在频率分布直方图中x右边的面积为0.2. 最后一组的面积是0.04×2＝0.08，最后两组的面积之和为0.10×2＋0.08＝0.28. 因为0.08＜0.2＜0.28，所以x位于区间[20，22)内，则(22－x)×0.10＋0.08＝0.2， 解得x＝20.8. 故该企业应该制定的月销售冲刺目标值为20.8万元． $$