04-5.1.4 用样本估计总体(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”核心知识点，涵盖样本数字特征（平均数、方差、分位数）与分布估计（频率分布直方图），通过衔接抽样方法，构建从样本数据到总体估计的知识支架，帮助学生形成统计思维脉络。 其亮点在于结合鱼塘估重、学生成绩分析等现实情境例题，通过解题模板总结分层抽样方差计算等方法，培养学生用数学眼光观察实际问题、用数学思维推理数据规律、用数学语言表达结论的能力，助力学生提升数据分析与应用能力，为教师提供丰富教学案例与结构化教学支持。

第五章 统计与概率 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 5.1　统计 5.1.4　用样本估计总体 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条,根据这几年的经验知,鱼苗的成活率为95%,一段时间后准备打捞 出售,第一网捞出40条,称得平均每条鱼2.5 kg,第二网捞出25条,称得平均每条鱼2.2 kg,第三网捞出35条, 称得平均每条鱼2.8 kg,估计鱼塘中鱼的总质量为 ( ) A.192 280 kg　　　    B.202 280 kg C.182 280 kg　　　    D.172 280 kg     A     解析　依题意得鱼塘中的鱼的平均质量为  =2.53(kg), ∴估计鱼塘中鱼的总质量为2.53×80 000×95%=192 280(kg). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东青岛实验高中月考]某校举行劳动技能大赛,统计了100名学生的比赛成绩,得到如图所示的 频率分布直方图,已知成绩均在区间[40,100]内,其中不低于90分的视为优秀,低于60分的视为不及格.若 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则下列说法中错误的是( )       A     第1讲　描述运动的基本概念 A.a=0.15 B.优秀学生人数比不及格学生人数少15 C.这次比赛成绩的平均数约为70.5分 D.这次比赛成绩的69%分位数约为78分 解析　对于A,由题意得(0.01×2+a×2+0.02+0.03)×10=1,所以a=0.015,因此A中说法错误; 对于B,优秀学生人数为0.1×100=10,不及格学生人数为0.25×100=25,优秀学生人数比不及格学生人数 少15,因此B中说法正确; 对于C,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),因此C中说法正确; 对于D,设比赛成绩的69%分位数为x分,则有0.1+0.15+0.2+(x-70)×0.03=0.69,解得x=78,因此D中说法正 确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏无锡第三高级中学月考]某公司为了调查员工的体重,因为女员工远多于男员工,所以按性 别分层,用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本,已知样本中所有员工体重的方差为120,其中女员工 的平均体重为50千克,方差为50,男员工的平均体重为70千克,方差为30.若样本中有21名男员工,则样本 中女员工的人数为__________.     63     第1讲　描述运动的基本概念 解析    记样本中女员工的平均体重和方差分别为 千克, ,所占权重为ω(ω>0.5),男员工的平均体重和 方差分别为 千克, ,所占权重为1-ω,则 =50, =50, =70, =30, 则样本中所有员工的平均体重 =ω +(1-ω) =70-20ω, 方差s2=ω[ + ]+(1-ω)[ + ]=ω[50+(20-20ω)2]+(1-ω)[30+(-20ω)2]=-400ω2+420ω+30=120,化 简得40ω2-42ω+9=0,解得ω=0.75或ω=0.3(舍), 所以样本中女员工的人数为 ×0.75=63. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板    (1)计算分层抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重,然后运用 公式计算即可. (2)计算分层抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重,然后运用公式计 算即可. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用样本的分布估计总体的分布 4.[2025吉林长春期末]某校为了宣传青少年身心健康的重要性,采用分层抽样的方法选取了高一、高 二、高三年级各100名同学进行了跑步测试,按照最终测试成绩(单位:分)进行分组,得到如图所示的频 率分布直方图,估计该校同学测试成绩的75%分位数为 ( )   A.82.5分　　　    B.81分　　　    C.80分　　　    D.79.5分     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为(0.010+0.025+0.035)×10=0.7<0.75,(0.010+0.025+0.035+0.020)×10=0.9>0.75,所以75%分位数 在[80,90)内, 设样本数据的75%分位数为x,则(0.010+0.025+0.035)×10+0.020×(x-80)=0.75,解得x=82.5,所以估计该校 同学测试成绩的75%分位数为82.5分,故A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编][2025广东汕头期末]某市为修订用水政策,制订更合理的用水价格,随机抽取了1 000 户居民的月均用水量(单位:t)作为样本并绘制了频率分布直方图如下(同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表).根据频率分布直方图的数据信息,下列结论正确的是 ( )       C     第1讲　描述运动的基本概念 A.居民的月均用水量的中位数大于7.2 t B.月均用水量低于16.2 t的居民所占比例超过90% C.居民的月均用水量的极差介于21 t与27 t之间 D.居民的月均用水量的平均值介于16.2 t与22.2 t之间 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为1 000户居民的月均用水量在[1.2,4.2)内的频率为0.077×3=0.231<0.5, 在[1.2,7.2)内的频率为0.231+0.107×3=0.231+0.321=0.552>0.5,所以估计居民的月均用水量的中位数在 [4.2,7.2)内,故A错误; 对于B,因为1 000户居民的月均用水量中低于16.2 t的频率为(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030)×3=0.861, 所以估计月均用水量低于16.2 t的居民所占比例为86.1%,故B错误; 对于C,由题图知,1 000户居民的月均用水量的极差的最大值为28.2-1.2=27(t),最小值为25.2-4.2=21(t),所 以估计居民的月均用水量的极差介于21 t与27 t之间,故C正确; 对于D,由题中频率分布直方图可知, (0.077+0.107+0.043+0.030+0.030+0.017+0.010+0.013+b)×3=1,解得b= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以1 000户居民的月均用水量的平均值为 0.077×2.7+0.107×5.7+0.043×8.7+0.030×11.7+0.030×14.7+ 0.017×17.7+0.010×20.7+0.013×23.7+ ×26.7 ×3=8.907(t),所以估计居民的月均用水量的平均值介 于7.2 t与10.2 t之间,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026广东中山期末]某校每年定期举行禁毒知识竞赛活动,为了解同学们对禁毒知识的掌握情况,现 从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(单位:分,满分100分,成绩均为不低于40分的整 数)分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)估计该校学生成绩的75%分位数; (3)已知落在[50,60)内的平均成绩是56分,方差是7,落在[60,70)内的平均成绩为65分,方差是4,求两组成 绩的总平均数 和总方差s2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,解得a=0.030. (2)样本成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,落在[40,90)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0. 25=0.9, 设样本数据的75%分位数为m,易知m∈[80,90),由0.65+(m-80)×0.025=0.75,解得m=84, 所以估计该校同学成绩的75%分位数为84分. (3)由题中频率分布直方图知,成绩在[50,60)内的学生人数为100×0.1=10,成绩在[60,70)内的学生人数为 100×0.2=20, 所以 = =62(分), s2= ×{10×[7+(56-62)2]+20×[4+(65-62)2]}=23. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025河北秦皇岛实验中学期末]某高校举行了一次环保知识竞赛,共有900名学生参加,为了解本次竞 赛成绩的情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成 的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题. 分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 0.16 [70,80) 10 [80,90) 16 0.32 [90,100] 合计 50 第1讲　描述运动的基本概念   (1)填充完整频率分布表(将答案直接填在表格内); (2)补全频率分布直方图; (3)若成绩在[80,100]内的学生可获得环保纪念勋章,请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题中频率分布表可知样本容量为50, 故成绩在[60,70)内的频数为0.16×50=8, 成绩在[70,80)内的频率为 =0.20, 成绩在[90,100]内的频数为50-(4+8+10+16)=12,频率为 =0.24, 故频率分布表为: 第1讲　描述运动的基本概念 分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 0.20 [80,90) 16 0.32 [90,100] 12 0.24 合计 50 1 第1讲　描述运动的基本概念 (2)频率分布直方图如图所示:   (3)样本中成绩在[80,100]内的频率为0.32+0.24=0.56, 所以估计该校获得环保纪念勋章的学生人数为900×0.56=504. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 5.1　统计 5.1.4　用样本估计总体 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.[多选题][2026江西抚州阶段检测]教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中 指出:各地要加强对学生体质健康重要性的宣传,让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.提 高学生体育与健康素养,增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有2 000名男生,为了了解该校男生 的身体发育情况,随机抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所 示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),则下列结论正确的是 (　　　　　)       ABD     第1讲　描述运动的基本概念 A.样本数据的众数为67.5 B.样本数据的80%分位数为72.5 C.样本数据的平均值为66 D.该校男生中体重低于60 kg的学生大约有300人 第1讲　描述运动的基本概念 解析    对于A,由题图得样本数据的众数为 =67.5; 对于B,由于(0.03+0.05+0.06)×5=0.7<0.8, (0.03+0.05+0.06+0.04)×5=0.9>0.8, 所以设样本数据的80%分位数为x,则0.7+(x-70)×0.04=0.8,∴x=72.5; 对于C,样本数据的平均值为57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75; 对于D,该校男生中体重低于60 kg的学生大约有2 000×0.03×5=300(人),故A、B、D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江西宜春丰城第九中学段考]新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科,每位同学 从中选择1门课程学习.现对该校2 000名学生的选科情况进行统计,如图①,并用按比例分配的分层抽样 的方法从中抽取5%的学生对所选课程进行满意率调查,如图②.        则所给说法正确的是 (　　　　) A.满意率调查中抽取的样本容量为2 000 B.该校学生中对物理课程满意的人数约为720 　　         BC     第1讲　描述运动的基本概念 C.若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32,则a=80 D.抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数 第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意及题图①可知,该调查的总体容量为2 000,其中学习物理的有2 000×60%=1 200人,学习 历史的有2 000×40%=800人. 满意率调查中抽取的样本容量为2 000×5%=100,故A错误. 该校学生中对物理课程满意的人数约为1 200×60%=720,故B正确. 按比例分配进行分层抽样时,抽取的5%的学生中学习物理的有100×60%=60人,学习历史的有100×40% =40人, 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32,则a= ×100=80,故C正确. 因为a≤100,所以抽取的学生中对历史课程满意的人数为40×a%≤40, 又抽取的学生中对物理课程满意的人数为60×60%=36, 所以抽取的学生中对物理课程和历史课程满意的人数无法比较大小,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026黑龙江绥化开学考试]某科研机构发现某品种中医药的药物成分中甲的含量x与药物功效y之间 满足y=15x-2x2,检测这种药品一个批次的6个样本,得到成分甲的含量x的平均值为5,标准差为 ,则估计 这批中医药的药物功效y的平均值为__________.     15     解析　设6个样本中成分甲的含量为xi,i=1,2,3,4,5,6. 因为成分甲的含量的平均值为5,所以 xi=5×6=30. 因为标准差为 ,所以  (xi-5)2=    -10 xi+150 =5,可得  =180. 又y=15x-2x2,所以 yi=15 xi-2  =90, 所以估计这批中医药的药物功效y的平均值为 × yi=15. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用样本的分布估计总体的分布 4.[2026辽宁名校联盟联考]对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生,得 到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.20 [15,20) 24 n [20,25) m p [25,30] 2 0.04 合计 M 1 第1讲　描述运动的基本概念   (1)求出表中M,p及图中a的值; (2)若该校有高三学生300人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数; (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数(同一组中数据用该组区间的中点值 作代表,最终结果保留一位小数). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 =0.20,解得M=50, 所以10+24+m+2=50,解得m=14,所以p= = =0.28,a= =0.096. (2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为 ×300=144. (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是 =17.5. 因为n= =0.48,所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足0.2+(x-15)× =0.5,解得x= 18.125, 所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1. 因为12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3, 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025四川成都段考]某学校举办了一场党史知识竞赛活动,共有500名学生参加.为了解本次知识竞赛 活动的成绩,从中抽取了50名学生的分数(分数均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的分数都不 低于60,将这50名学生的分数进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100],得 到如下的频率分布直方图.   (1)求m的值,并估计此次知识竞赛活动学生分数的中位数; 第1讲　描述运动的基本概念 (2)根据频率分布直方图,估计此次知识竞赛活动学生分数的平均数.若对分数不低于平均数的同学进 行奖励,请估计参赛的500名学生中获奖的人数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 解析    (1)由题图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03. 设此次知识竞赛活动学生分数的中位数为x0,因为数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率 为0.8,所以80<x0<90.由(x0-80)×0.04=0.1,得x0=82.5,故估计此次知识竞赛活动学生分数的中位数为82.5. (2)由题图及(1)知数据落在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,则估计此次知 识竞赛活动学生分数的平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82. 此次知识竞赛活动学生分数不低于82的频率为0.2+ ×0.4=0.52,则估计参赛的500名学生中获奖的 人数为500×0.52=260. 第1讲　描述运动的基本概念 $