5.1.2 数据的数字特征-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第五章　统计与概率 5.1　统计 5.1.2　数据的数字特征 (教师独具内容) 课程标准：理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息． 教学重点：理解最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差的意义和作用． 教学难点：根据问题的需要选择恰当的数字特征来表达数据的信息． 核心素养：通过求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差培养数据分析素养和数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　最值 一组数据的最值指的是其中的最___值与最___值，最值反映的是这组数最______的情况．一般地，最大值用_____表示，最小值用____表示． 大 小 极端 max min 核心概念掌握 5 知识点二　平均数 (1)日常生活中，我们经常使用平均数来刻画一组数据的___________(或__________)． (2)如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为___________________．这一公式在数学中常简记为____________，其中的符号“____”表示求和，读作“_________”，____右边式子中的___表示______的范围，其________与_________分别写在_____的下面与上面. 平均水平 中心位置 ∑ 西格玛 ∑ i 求和 最小值 最大值 ∑ 核心概念掌握 6 nt 核心概念掌握 7 知识点三　中位数、百分位数 (1)一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的_______位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称_______为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称__________为这组数的中位数． (2)一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据_________该值，且至少有(100－p)%的数据_________该值． 中心 xn＋1 不大于 不小于 核心概念掌握 8 为了方便，我们按如下方式确定p%分位数：设一组数按照从___到___排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝______的值，如果i不是整数，设i0为_____i的_____整数，取_____为p%分位数；如果i是整数，取________为p%分位数． 特别地，规定：0分位数是____(即_______)，100%分位数是___即________)． 实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为_____________)与75%分位数(简称为______________)． 知识点四　众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的_______，出现次数最多的数据称为这组数据的________． 小 大 大于 np% 最小 x1 最小值 xn 最大值 第一四分位数 第三四分位数 频数 众数 核心概念掌握 9 知识点五　极差、方差与标准差 (1)一组数的极差指的是这组数的________减去________所得的差．极差反映了一组数的__________，描述了这组数的__________． (2)方差和标准差也是描述一组数的___________的量．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝____________．此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为_______． 方差的算术平方根称为________，________描述了数据相对于平均数的离散程度． 最大值 最小值 变化范围 离散程度 离散程度 a2s2 标准差 标准差 核心概念掌握 10 [说明]　(1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小． (2)方差、标准差的取值范围：[0，＋∞)．方差、标准差为0时，样本中各数据全相等，表明数据没有波动，数据没有离散性． 核心概念掌握 11 1．(平均数)某班40名学生一次体育测试成绩统计如下： 如果已知该班的平均成绩为76分，则x，y的值分别为(　　) A．14，4 B．13，5 C．12，6 D．11，7 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 7 x 12 y 3 答案 核心概念掌握 12 投实心球序次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/m 10.5 10.2 10.1 10.6 10.4 9.9 10.4 10.7 10.2 10.1 2．(中位数)若一组数按从小到大的顺序排列为10，12，13，x，17，19，21，24，且中位数为16，则x＝______. 3．(百分位数)一位同学进行十次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表： 则此同学成绩的50%分位数是______． 15 10.3 答案 核心概念掌握 13 4．(标准差)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数为7，8，7，9，5，4，9，10，7，4. 则①平均命中环数为______； ②命中环数的标准差为______． 7 2 答案 核心概念掌握 14 核心素养形成 一次数学测试中，高一(1)班1小组12名学生的成绩分别是58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，则这次测试该小组12名学生成绩的众数、平均数、65%分位数分别是(　　) A．82分、82分、90分 B．82分、81分、92分 C．82分、80分、87分 D．82分、81分、87分 题型一　平均数、中位数、百分位数、众数的计算 答案 解析 核心素养形成 16 【感悟提升】　 核心素养形成 17 2．中位数的计算方法 将数据从小到大排列后，看中间位置的数，若中间有一项，则此数便为中位数，若中间有两项，则两项和的一半便为中位数． 3．众数的计算方法 出现次数最多的数即为众数．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数． 4．计算一组n个数据的p%分位数的步骤 第一步，按照从小到大排列原始数据； 第二步，计算i＝np%； 第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为i0，则p%分位数为第i0项数据；若i是整数，则p%分位数为第i项与第i＋1项数据的平均数． 核心素养形成 18 【跟踪训练】 1．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示： 则该班学生一周读书时间的中位数、平均数、众数、40%分位数分别是(　　) A．9，9，8，8.5 B．10，9，8，8 C．9，9.5，9，8 D．9.5，9，8，9 答案 读书时间/小时 7 8 9 10 11 学生人数 6 10 9 8 7 核心素养形成 19 解析 核心素养形成 20 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表： (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(精确到1元) (2)假设副董事长的工资从7000元提升到20000元，董事长的工资从7500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到1元) (3)你认为平均数、中位数、众数哪个更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 题型二　平均数、中位数、众数的实际应用 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 7500 7000 5500 5000 4500 4000 3500 核心素养形成 21 解析 核心素养形成 22 【感悟提升】　平均数、中位数、众数的特点 (1)平均数、中位数及众数都是描述一组数据集中趋势的量． (2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势． (4)众数考查各数出现的频数，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题． 核心素养形成 23 【跟踪训练】 2．(1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差 答案 解析 解析：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩从高到低排列后看第8位的成绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数． 核心素养形成 24 (2)某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表： 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 答案 解析 解析：鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大，由表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，并且这组数据的众数为37. 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 核心素养形成 25 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据如下： 甲：99，100，98，100，100，103； 乙：99，100，102，99，100，100. 分别计算两组数据的平均数及方差． 题型三　方差、标准差的计算 解 核心素养形成 26 解 核心素养形成 27 【感悟提升】　求方差的基本方法 核心素养形成 28 【跟踪训练】 3．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表： (1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数； (2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差(精确到0.001)． 每天丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数 6 16 15 13 核心素养形成 29 解 每天丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数 6 16 15 13 核心素养形成 30 题型四　数据的数字特征的综合应用 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表(满分为100分)： 已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． 分数/分 50 60 70 80 90 100 人数/人 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 核心素养形成 31 解 核心素养形成 32 解 核心素养形成 33 【感悟提升】　比较两组数据的综合水平时，应先比较平均数，了解平均水平的差距情况．若差距明显，则可以结合实际情况作出判断或选择；若差距不明显，则需要利用方差或标准差进一步比较数据的波动情况． 核心素养形成 34 核心素养形成 35 解 核心素养形成 36 解 核心素养形成 37 解 核心素养形成 38 随堂水平达标 1．某景区对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表： 则该景区“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和25%分位数分别是(　　) A．2万、1.5万 B．2万、2.2万 C．2.2万、2.2万 D．2万、1.85万 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 旅游人数/万 1.5 2.2 2.2 3.8 1.5 2.2 0.6 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 解析 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 旅游人数/万 1.5 2.2 2.2 3.8 1.5 2.2 0.6 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　) A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 3．(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能发生改变的数字特征是(　　) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 解析：中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均可能发生改变．故选BCD. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 4．一组数按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数的极差为7，则这组数的方差为(　　) A．30 B．6 C．25 D．5 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 44 5．某校高一年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表： (1)根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是______；在动作准确方面最有优势的是________班； (2)如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%，30%，50%的比例计算各班的得分，那么________班得分最高． 答案 服装统一 动作整齐 动作准确 高一甲班 80 84 87 高一乙班 97 78 80 高一丙班 90 78 85 89 高一甲 高一甲 随堂水平达标 1 2 3 4 5 45 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 46 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 中位数的应用 加权平均数 中位数、众数、平均数、百分位数的计算 平均数、众数、极差的计算和比较 平均数、标准差的性质 平均数、中位数、标准差、极差的判断 数据的数字特征的综合应用 平均数、中位数、众数的实际应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 平均数、百分位数的计算 方差、标准差的计算 求两组数据的平均数、方差 数据的数字特征的实际应用 新定义；极差、平均数、中位数、标准差的计算 利用平均数、方差求参数 平均数、标准差的计算 数据的数字特征的综合应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 一、单选题 1．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 2．某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核(考核的满分均为100分)，三个方面依次按3∶5∶2确定最后得分．小王经过考核后所得的分数依次为90分、88分、83分，那么小王的最后得分是(　　) A．87分 B．87.5分 C．87.6分 D．88分 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 3．某校调查某班30名同学所穿的鞋的尺码如下表所示： 则这组数据的中位数、众数、平均数、25%分位数分别是(　　) A．35，35，35，33 B．35，35，34.5，34 C．34，35，34，34 D．35，35，34.5，33 答案 解析 码号 33 34 35 36 37 人数 7 6 14 1 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 4．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 则下列判断正确的是(　　) A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好 C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差 答案 甲 7 8 10 9 8 8 6 乙 9 10 7 8 7 7 8 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 5．若一组数据x1，x2，…，x10的平均数是3，标准差是8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均数和标准差分别为(　　) A．6，8 B．5，15 C．5，16 D．6，32 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 二、多选题 6．(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 7．若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况)均不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定是尖子生的是(　　) A．甲同学：平均数为2，中位数为2 B．乙同学：平均数为2，方差小于1 C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于1 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 解析：甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明其三次考试中至少有两次名次为2，而另一次考试的名次可能超过3，也可能不超过3，故丙可能是尖子生，也可能不是尖子生；丁同学名次数据的众数为2，方差大于1，说明其某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x＝1，2，3时，方差均小于1，故x>3，断定丁一定不是尖子生．故选AB. 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 三、填空题 8．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中分别抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12. 三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数． 甲：________，乙：________，丙：________． 答案 众数 平均数 中位数 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 5 9．某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了高一某班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表： 那么这50名学生平均每人植树______棵，这50名学生每人植树棵数的75%分位数是______． 答案 解析 4 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 四、解答题 11．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别如下： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出以上两组数据的方差． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 12．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： (1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； (2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额． 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 14．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________． 4 答案 解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4. 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 15．某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示： 求这次考试成绩的平均数和标准差 解 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 16．某校高一甲、乙两班各有49名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计如下表： (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”； (2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议． 班级 平均数 众数 中位数 标准差 高一甲班 79 70 87 19.8 高一乙班 79 70 79 5.2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 解：(1)由高一甲班成绩的中位数是87可知，85分排在25位以后，从位次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试上来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游． (2)高一甲班成绩的中位数是87，说明高于87分的人数占一半左右，而平均数为79分，标准差又很大，说明低分者也多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助． 高一乙班成绩的中位数和平均数都是79，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 　　　　　　　　　　　　　 R eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn) eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))xi （3）求和符号∑具有的性质： ①eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))（xi＋yi）＝__________________； ②eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))（kxi）＝_______； ③eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))t ＝______． (4)一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为_________． eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))xi＋eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))yi keq \o(∑,\s\up6(n),\s\do14(i＝1))xi aeq \o(x,\s\up6(－))＋b eq \f(xn＋xn＋1,2) xi0 eq \f(xi＋xi＋1,2) eq \f(1,n)eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2 解析　这组数据中82分出现的次数最多，故众数为82分．平均数为 eq \f(58＋67＋73＋74＋76＋82＋82＋87＋90＋92＋93＋98,12)＝81分．因为12×65%＝7.8，所以这组数据的65%分位数为87分．故选D. 1．平均数的计算方法 (1)定义法：eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)． (2)在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a的左右摆动时，用简化公式：eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \o(x,\s\up6(－))′＋a. (3)利用加权平均数公式：在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(f1＋f2＋…＋fk＝n)，则这n个数的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk,n). 解析：由表中数据知，该班共有学生40人，所以这组数据处于最中间位置的是第20、第21个数据，故该班学生一周读书时间的中位数为eq \f(9＋9,2)＝9，平均数为eq \f(6×7＋10×8＋9×9＋8×10＋7×11,40)＝9，众数为8.因为40×40%＝16，所以该班学生一周读书时间的40%分位数为eq \f(8＋9,2)＝8.5.故选A.　 解　(1)平均数是eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(7500＋7000＋5500×2＋5000＋4500×5＋4000×3＋3500×20,33) ≈4091，中位数是3500，众数是3500. (2)新的平均数是eq \o(x,\s\up6(－))′＝ eq \f(30000＋20000＋5500×2＋5000＋4500×5＋4000×3＋3500×20,33) ≈5167，新的中位数是3500，新的众数是3500. (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 解　eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (1)先求平均值，再代入公式s2＝eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2或s2＝eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n,x)eq \o\al(2,i)－eq \o(x,\s\up6(－))2. (2)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2. (3)将每个数据减去一个与平均数接近的数，得到一组新数据，通过求新数据的平均数与方差得到原数据的平均数和方差．当我们计算的数据较大时，这个方法能有效地简化运算． 解：(1)平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,50)×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝eq \f(185,50)＝3.7. 众数是3，中位数是4. (2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝eq \f(1,50)×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝eq \f(1,50)×48.5＝0.97. 所以标准差s≈0.985.　 解　①甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些． ②seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256. ∵seq \o\al(2,甲)<seq \o\al(2,乙)，∴甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些． ③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好． ④从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好． 【跟踪训练】 4．某班共有45名同学，在某次满分为100分的测验中，得分前15名同学的平均分为90分，标准差为eq \r(3)，后30名同学的平均分为72分，标准差为eq \r(6).(得分均为整数) (1)求全班同学成绩的平均分； (2)求全班同学成绩的方差； (3)能否下“全班同学全都及格了”的结论？说明理由．(达到60分及以上为及格) 解：(1)该班45人分成两组，这两组的平均分分别是90，72，∴全班同学成绩的平均分是eq \f(1,45)×(90×15＋72×30)＝78. (2)设x1，x2，…，x15分别表示该班得分前15名同学的成绩，x16，x17，…，x45分别表示该班得分后30名同学的成绩，s1表示该班得分前15名同学的标准差，s2表示该班得分后30名同学的标准差，s表示全班同学的标准差， 则s2＝eq \f(1,45) eq \i\su(i＝1,45, )(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,45)(eq \i\su(i＝1,45,x)eq \o\al(2,i)－45eq \o(x,\s\up6(－))2)， ∵s1＝eq \r(3)，∴seq \o\al(2,1)＝eq \f(1,15)×[(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,15))－15×902]＝3， ∴xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,15)＝45＋15×8100＝121545； ∵s2＝eq \r(6)， ∴seq \o\al(2,2)＝eq \f(1,30)×[(xeq \o\al(2,16)＋xeq \o\al(2,17)＋…＋xeq \o\al(2,45))－30×722]＝6， ∴xeq \o\al(2,16)＋xeq \o\al(2,17)＋…＋xeq \o\al(2,45)＝180＋30×722＝155700. ∴全班的方差是s2＝eq \f(1,45)×[(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,45))－45×782]＝eq \f(1,45)×[(121545＋155700)－273780]＝77. (3)能． 若后30名中有人不及格，设该同学为b30，则b30≤59，该同学比平均分低至少13分， 那么其他同学比平均分高出的分数至少有13分， ∴(b1－72)2＋(b2－72)2＋…＋(b30－72)2≥13＋169＝182>180，而(b1－72)2＋(b2－72)2＋…＋(b30－72)2＝180，矛盾， ∴必定全部及格． 解析：游客人数的平均数为eq \f(1,7)×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(万)．将数据由小到大排列为0.6，1.5，1.5，2.2，2.2，2.2，3.8，因为7×25%＝1.75，所以这组数据的25%分位数为1.5万．故选A.　 解析：由平均数、众数、中位数的定义可知，平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×75,1＋1＋2＋4＋1＋1)＝87；因为得85分的有4人，所以众数是85；把成绩由小到大排列为75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，故中位数是85.　 解析：由题意得a＝56＋7＝63，所以这组数的平均数为eq \f(1,5)×(56＋59＋60＋62＋63)＝60，方差为eq \f(1,5)×[(56－60)2＋(59－60)2＋(60－60)2＋(62－60)2＋(63－60)2]＝eq \f(1,5)×(16＋1＋0＋4＋9)＝6.故选B.　 解析：(1)在服装统一方面，三个班得分的平均数为eq \f(80＋97＋90,3)＝89，在动作准确方面最有优势的是高一甲班． (2)高一甲班的得分为80×20%＋84×30%＋87×50%＝84.7(分)， 高一乙班的得分为97×20%＋78×30%＋80×50%＝82.8(分)， 高一丙班的得分为90×20%＋78×30%＋85×50%＝83.9(分)，故高一甲班的得分最高．　 解析：依题意，新数据组有6个数，其中位数是eq \f(25＋35,2)＝30，显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.故选B.　 解析：小王的最后得分是90×eq \f(3,10)＋88×eq \f(5,10)＋83×eq \f(2,10)＝27＋44＋16.6＝87.6(分)．故选C.　 解析：这组数据中处于最中间位置的是第15、第16个数据，故这组数据的中位数为35.这组数据中35出现的次数最多，故众数为35，平均数为eq \f(33×7＋34×6＋35×14＋36×1＋37×2,30)＝34.5.因为30×25%＝7.5，所以这组数据的25%分位数为34.故选B.　 解析：甲命中的环数的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,7)×(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6)＝8，乙命中的环数的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,7)×(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8)＝8，所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，B均错误；因为甲射击的成绩的众数为8，乙射击的成绩的众数为7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误；因为甲射击的成绩的极差为10－6＝4，乙射击的成绩的极差为10－7＝3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故D正确．故选D.　 解析：因为数据x1，x2，…，x10的平均数是3，所以数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均数为2×3－1＝5.因为数据x1，x2，…，x10的标准差是s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为eq \r(22×64)＝16.故选C.　 解析：对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6)－eq \f(x2＋x3＋x4＋x5,4)＝eq \f(2(x1＋x6)－(x2＋x3＋x4＋x5),12)，因为无法确定2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，故A错误；对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为eq \f(x3＋x4,2)，故B正确；对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD. 解析：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，平均数＝eq \f(1,8)×(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)＝8，故运用了平均数；对丙分析：共8个数据，最中间的是7和9，故其中位数是8，即运用了中位数． 解析：平均每人植树eq \f(20×3＋15×4＋10×5＋5×6,50)＝4(棵)，因为50×75%＝37.5，所以这50名学生每人植树棵数的75%分位数是5. eq \f(9,10) eq \f(3\r(10),10) 10．若40个数据的平方和是56，平均数是eq \f(\r(2),2)，则这组数据的方差是________，标准差是________． 解析：设这40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为eq \o(x,\s\up6(－))，则s2＝eq \f(1,40)×[(x1－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x40－eq \o(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,40)×[xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,40)＋40eq \o(x,\s\up6(－))2－2eq \o(x,\s\up6(－))(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq \f(1,40)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq \f(1,40)×(56＋20－40)＝eq \f(9,10)，所以s＝eq \r(\f(9,10))＝eq \f(3\r(10),10).　 解：(1)由题意，知eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7. (2)由方差公式s2＝eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2，得seq \o\al(2,甲)＝3，seq \o\al(2,乙)＝1.2. 解析：(1)平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,15)×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位数为210，众数为210. (2)不合理．因为15人中有13人的销售额达不到320件，也就是说，320虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为210件要合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额． 13．(多选)根据《国家学生体质健康标准》规定，学生的体测得分由各单项指标得分与权重乘积之和组成，为了科学测量个体体质在全体中的位置，通常将体测得分转化为标准分数．某校一次体能测试中，各同学体测得分为xi，所有同学的体测平均得分为eq \o(x,\s\up6(－))，标准差为s，定义标准分数yi＝eq \f(1,s)(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))，则(　　) A．转化标准分数后的极差是转化前极差的eq \f(1,s) B．转化标准分数后的平均分数为0 C．转化标准分数后的中位数是转化前中位数的eq \f(1,s) D．转化标准分数后的标准差为1 解析：对于A，设(xi)max＝m，(xi)min＝n，则ymax－ymin＝eq \f(1,s)(m－eq \o(x,\s\up6(－)))－eq \f(1,s)(n－eq \o(x,\s\up6(－)))＝eq \f(1,s)(m－n)，故A正确；对于B，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1))yi＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) eq \f(1,s)(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))＝eq \f(1,s)·eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))＝0，故B正确；对于C，设原中位数为a，则易得转化后的中位数为eq \f(1,s)(a－eq \o(x,\s\up6(－)))，故C错误；对于D，设原方差为s2，则s2＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2，转化后的方差为eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) eq \f(1,s2)(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,s2)·eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up10(n),\s\do14(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,s2)·s2＝1，标准差为1，D正确．故选ABD. 解：设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为eq \o(x,\s\up6(－)). 根据题意，有eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(90×20＋80×20,40)＝85， 42＝eq \f(1,20)(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,20)－20×902)， 62＝eq \f(1,20)(xeq \o\al(2,21)＋xeq \o\al(2,22)＋…＋xeq \o\al(2,40)－20×802)， ∴xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,40)＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040. 再由变形公式，得 s2＝eq \f(1,40)(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,40)－40eq \o(x,\s\up6(－))2) ＝eq \f(1,40)(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,40)－40×852) ＝eq \f(1,40)×(291040－289000) ＝51， ∴s＝eq \r(51). ∴这次考试成绩的平均数为85，标准差为eq \r(51). $$