4.4 幂函数-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第四章　指数函数、 对数函数与幂函数 4.4　幂函数 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 y＝xα α 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 知识点三　幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在区间____________上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点________． (2)如果α>0，则幂函数的图象通过_____，并且在区间[0，＋∞)上是___函数． (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是_____函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近___轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近____轴． (0，＋∞) (1，1) 原点 增 减 y x 核心概念掌握 7 1．(幂函数图象的公共点)幂函数y＝xα(α是常数)的图象一定经过点(　　) A．(0，0) B．(1，1) C．(－1，1) D．(1，－1) 2．(幂函数的图象)已知幂函数的图象经过点P(16，4)，则该幂函数的大致图象是(　　) 答案 核心概念掌握 8 3 R [0，＋∞) 答案 偶 (－∞，0] [0，＋∞) 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　幂函数的概念 解　∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． 已知幂函数y＝(m2－m－1)·xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． 解 核心素养形成 11 【感悟提升】　判断一个函数是否为幂函数的方法 (1)看形式：看该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式． (2)明特征：幂函数需满足以下三个特征：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 核心素养形成 12 答案 解析 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 题型二　幂函数的图象及应用 答案 解析 核心素养形成 15 核心素养形成 16 【跟踪训练】 2.(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象， 则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 答案 解析 解析：在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1. 核心素养形成 17 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 题型三　比较幂值的大小 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 【感悟提升】比较幂值大小的三种基本方法 核心素养形成 23 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 题型四　利用幂函数解不等式 解 核心素养形成 27 【感悟提升】利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 核心素养形成 28 解 【跟踪训练】 4．已知(a＋1)－2>(3－2a)－2，求a的取值范围． 核心素养形成 29 随堂水平达标 答案 解析：符合幂函数y＝xα形式的只有②④.故选C. 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 答案 解析 b<a<c 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 幂函数的图象与性质 由幂函数的图象判断幂指数的大小 幂函数的定义域、值域 利用函数的单调性比较大小 幂函数的求解及利用单调性比较大小 幂函数的图象与性质 幂函数的概念及单调性的应用 利用幂函数的概念与单调性求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 指数函数与幂函数结合；利用幂函数的概念求参数 幂函数的值域；利用幂函数的单调性解不等式 利用幂函数的单调性比较 大小 幂函数的概念与奇偶性的应用；利用函数的单调性求参数范围 幂函数的概念与值域 构造幂函数并利用幂函数的性质求参数 幂函数的图象与性质的综合应用 指数函数与幂函数的图象与性质的综合应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 一、单选题 1．下列命题中正确的是(　　) A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数 D．幂函数的图象不可能在第四象限 解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为直线y＝1去掉点(0，1)，故A不正确；当α<0时，幂函数y＝xα的图象不过点(0，0)，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，所以幂函数的图象都不过第四象限，故D正确． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 解析：∵y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，0<0.3<1，∴log50.3<0，即a<0；∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，1<2<3，∴0<log32<1，即0<b<1；∵y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，1<3<3.4，∴3.40.3>30.3>1，即d>c>1.∴d>c>b>a. 4．已知a＝log50.3，b＝log32，c＝30.3，d＝3.40.3，则a，b，c，d的大小关系为(　　) A．d>c>b>a B．d>a>c>b C．b>d>c>a D．b>c>d>a 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解析：由幂函数的定义可知，m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m＝3时，y＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意．综上，m＝－1或3. 答案 解析 －1或3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解析 答案 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解析 (3，5) 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 12．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 13．已知点(n，8)在幂函数f(x)＝(m－2)xm的图象上，则函数f(x)在区间[n，n＋1]上的值域为(　　) A．[－8，27] B．[2，3] C．[4，9] D．[8，27] 解析：因为函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，解得m＝3，所以f(x)＝x3，因为点(n，8)在幂函数f(x)＝x3的图象上，所以f(n)＝n3＝8，解得n＝2.因为f(x)＝x3在R上单调递增，所以函数f(x)＝x3在[2，3]上的值域为[8，27]．故选D. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 解析 －1 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 16.如图所示，函数F(x)的图象是由指数函数f(x)＝ax与幂函数 g(x)＝xb的图象“拼接”而成的． (1)求F(x)的解析式； (2)比较ab与ba的大小； (3)已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求实数m的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 　　　　　　　　　　　　　 R (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的性质解决问题． 核心素养：1.通过学习幂函数的概念、幂函数的图象和性质培养数学抽象素养. 2.通过应用幂函数的性质解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数________称为幂函数，其中_____为常数． [提醒]　与指数函幂函数数的区别 (1)指数函数：y＝ax自变量(全体实数)eq \a\vs4\al(底数（a>0且a≠1）) (2)幂函数 y＝xαeq \a\vs4\al(常数\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如α＝1，2，3，－1，\f(1,2)等)))自变量(与α的取值有关) 知识点二　一些常用幂函数的图象 同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图象如图所示． 3．(幂函数的概念)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝______． 4．(幂函数的性质)若y＝axa2－eq \s\up7(\f(1,5))是幂函数，则该函数的定义域是______，值域是__________，是______(填“奇”或“偶”)函数，单调递减区间是__________，单调递增区间是___________． 【跟踪训练】 1．(1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为y＝eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数为2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B. 解：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2).)) (2)已知y＝(m2＋2m－2)xeq \s\up7(\f(1,m2-1))＋2n－3是幂函数，求m，n的值． f(1,3)) INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET 　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－eq \s\up7(\f(1,2))在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 解析　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝xeq \s\up6(\f(1,3))在第一象限内的图象为C2，y＝x－eq \f(1,2)在第一象限内的图象为C3. 【感悟提升】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝xeq \s\up6(\f(1,2))或y＝x3)来判断． (2)已知函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3)). ①求函数的定义域； ②判断函数的奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定函数的单调区间． 解：①y＝xeq \s\up6(\f(2,3))＝eq \r(3,x2)，定义域为R. ②设y＝f(x)，因为定义域关于坐标原点对称，且f(－x)＝eq \r(3,（－x）2)＝eq \r(3,x2)＝f(x)，所以函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))是偶函数． ③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))的图象，如图所示． 根据图象易知，函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)． (1)1.5eq \s\up6(\f(1,2))，1.7eq \s\up6(\f(1,2))； (2)(－1.2)3，(－1.25)3； (3)5.25－1，5.26－1，5.26－2； (4)0.53，30.5，log30.5； (5)4eq \s\up6(\f(1,3))，2eq \s\up6(\f(2,5))，eq \r(3,9). 解　(1)∵y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，∴1.5eq \s\up6(\f(1,2))<1.7eq \s\up6(\f(1,2)). (2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1. ∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2， ∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1，30.5>1，log30.5<0， ∴log30.5<0.53<30.5. (5)∵4eq \s\up6(\f(1,3))＝2eq \s\up6(\f(2,3))，又y＝2x在R上是增函数，eq \f(2,3)>eq \f(2,5)， ∴2eq \s\up6(\f(2,3))>2eq \s\up6(\f(2,5)). ∵eq \r(3,9)＝3eq \s\up6(\f(2,3))， 又y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在[0，＋∞)上是增函数，3>2， ∴3eq \s\up6(\f(2,3))>2eq \s\up6(\f(2,3)). ∴eq \r(3,9)>4eq \s\up6(\f(1,3))>2eq \s\up6(\f(2,5)). 【跟踪训练】 3．比较下列各组数的大小： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(0.5)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(0.5)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1)； (3)(－0.23)eq \s\up6(\f(2,3))，0.32eq \s\up6(\f(2,3))； (4)3－0.5，logeq \s\do9(\f(1,3))0.6，eq \f(\r(2),2). 解：(1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且eq \f(2,3)>eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(0.5)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq \s\up12(0.5). (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 且－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1). (3)∵y＝xeq \s\up6(\f(2,3))为R上的偶函数， ∴(－0.23)eq \s\up6(\f(2,3))＝0.23eq \s\up6(\f(2,3)). 又y＝xeq \s\up6(\f(2,3))为[0，＋∞)上的增函数，0.23<0.32， ∴0.23eq \s\up6(\f(2,3))<0.32eq \s\up6(\f(2,3))，∴(－0.23)eq \s\up6(\f(2,3)) <0.32eq \s\up6(\f(2,3)). (4)∵3－0.5＝3eq \s\up7(-\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up6(\f(1,2))，logeq \s\do9(\f(1,3))0.6＝logeq \s\do9(\f(1,3))eq \f(3,5)，eq \f(\r(2),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(1,2))，又幂函数y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函数， ∴eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up6(\f(1,2))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up6(\f(1,2))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,2)). ∵函数y＝logeq \s\do9(\f(1,3))x在(0，＋∞)上是减函数， ∴eq \f(1,2)＝logeq \s\do9(\f(1,3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up6(\f(1,2))>logeq \s\do9(\f(1,3)) eq \f(3,5). ∴eq \f(\r(2),2)>3－0.5>logeq \s\do9(\f(1,3))0.6. f(1,3)) INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\李艳\\PPT\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知(a＋1)－<(3－2a)－eq \s\up7(\f(1,3))，求实数a的取值范围． 解　∵y＝x－eq \s\up7(\f(1,3))在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，又(a＋1)－eq \s\up7(\f(1,3))<(3－2a)－eq \s\up7(\f(1,3))， ∴3－2a<a＋1<0或a＋1>3－2a>0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a>0，)) 解得eq \f(2,3)<a<eq \f(3,2)或a<－1. 解：由幂函数y＝x－2的图象(如图)可知，|x|越小，y值越大． ∵(a＋1)－2>(3－2a)－2， ∴|a＋1|<|3－2a|且a＋1≠0， 解得a<eq \f(2,3)或a>4且a≠－1. 1．下列函数：①y＝x2＋1；②y＝x－eq \s\up7(\f(1,2))；③y＝eq \r(2)x2；④y＝x－eq \s\up7(\f(2,3))；⑤y＝x－eq \s\up7(\f(1,3))＋1；⑥y＝5x；⑦y＝(x＋1)3.其中是幂函数的是(　　) A．①⑤⑥ B．①②③⑦ C．②④ D．②③⑤⑦ 2．函数y＝xeq \s\up6(\f(5,3))的图象大致是(　　) 解析：∵函数y＝xeq \s\up6(\f(5,3))是奇函数，且eq \f(5,3)>1，∴函数y＝xeq \s\up6(\f(5,3))的图象大致为B. 3．(多选)设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是(　　) A．－1 B．eq \f(1,2) C．1 D．3 解析：对于A，当α＝－1时，y＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于B，当α＝eq \f(1,2)时，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，定义域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C，当α＝1时，y＝x，定义域为R，且为奇函数，满足题意；对于D，当α＝3时，y＝x3，定义域为R，且为奇函数，满足题意．故选CD. eq \f(1,2) 4．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则f(eq \r(2))＝________． 解析：因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f(x)的图象与坐标轴无公共点，故m<0，所以m＝－2，故f(x)＝x－2，所以f(eq \r(2))＝(eq \r(2))－2＝eq \f(1,2). 5．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up6(\f(2,3))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(1,3))，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)． 解析：∵函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(2,3))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up6(\f(2,3)).又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上是减函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(1,3))，∴b<a<c. 2.已知幂函数y＝xn在第一象限内的图象如图所示，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n的值依次为(　　) A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2 C．－eq \f(1,2)，－2，2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2) 解析：图中曲线C1的指数n>1，曲线C2的指数0<n<1，因而排除A，C；取x＝2，由2eq \s\up7(-\f(1,2))>2－2知B正确． 3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) A．y＝xeq \s\up6(\f(1,3)) B．y＝x－eq \s\up7(\f(1,2)) C．y＝xeq \s\up6(\f(5,3)) D．y＝xeq \s\up6(\f(2,3)) 解析：对于A，y＝xeq \s\up6(\f(1,3))＝eq \r(3,x)，定义域、值域都为R；对于B，y＝x－eq \s\up7(\f(1,2))＝eq \f(1,\r(x))的定义域、值域都为(0，＋∞)；对于C，y＝xeq \s\up6(\f(5,3))的定义域、值域都为R；对于D，y＝xeq \s\up6(\f(2,3))＝eq \r(3,x2)的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．故选D. 5．(2024·江苏无锡期末)已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))在幂函数f(x)＝xα的图象上，设a＝f(log25)，b＝f(ln 2)，c＝f(tan60°)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a 解析：∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))在幂函数f(x)＝xα的图象上，∴3α＝eq \f(1,9)，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，该函数在(0，＋∞)上单调递减，∵log25>log24＝2，0＝ln 1<ln 2<ln e＝1，tan60°＝eq \r(3)，∴0<ln 2<tan60°<log25，∴f(ln 2)>f(tan60°)>f(log25)，即b>c>a.故选D. 二、多选题 6．对幂函数f(x)＝xeq \s\up7(-\f(3,2))有以下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R} B．f(x)的值域是(0，＋∞) C．f(x)的图象只在第一象限 D．f(x)是奇函数 解析：幂函数f(x)＝x－eq \s\up7(\f(3,2))＝eq \f(1,\r(x3))，对于A，f(x)的定义域是{x|x>0，x∈R}，故A不正确；对于B，f(x)的值域是(0，＋∞)，故B正确；对于C，f(x)的图象只在第一象限，故C正确；对于D，f(x)是非奇非偶函数，故D不正确．故选BC. 7．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0 C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能 解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝eq \f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意得函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且为奇函数．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab<0(0<b<－a)，ab＝0(b＝0)，ab>0(b<0)均有可能成立．故选BC. 三、填空题 8．若幂函数y＝(m2－2m－2)xm2-2m-1在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________． 9．(2024·河南郑州期末)若函数f(x)＝ax－eq \s\up7(\f(b,2))－eq \f(3,4)(a>0且a≠1，b>0)的图象过定点A，且点A在幂函数h(x)＝(3m－2)xm＋1上，则b＝________． 解析：由x－eq \f(b,2)＝0可得，x＝eq \f(b,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，所以函数f(x)的图象过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(1,4))).因为函数h(x)＝(3m－2)xm＋1为幂函数，所以3m－2＝1，解得m＝1，h(x)＝x2.又点A在函数h(x)的图象上，所以heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，b2＝1.因为b>0，所以b＝1. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) 10．已知幂函数f(x)＝xeq \s\up7(-\f(1,2))，则f(x)在[4，9]上的值域为________；若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝xeq \s\up7(-\f(1,2))＝eq \f(1,\r(x))(x>0)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(4)＝eq \f(1,2)，f(9)＝eq \f(1,3)，∴f(x)在[4，9]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).若f(a＋1)<f(10－2a)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得3<a<5，所以a的取值范围是(3，5)． 四、解答题 11．比较下列各组数的大小： (1)3－eq \s\up7(\f(5,2))和3.1－eq \s\up7(\f(5,2))； (2)－8－eq \s\up7(\f(7,8))和－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9))) eq \s\up6(\f(7,8))； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3)). 解：(1)函数y＝x－eq \s\up7(\f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数， 因为3<3.1，所以3－eq \s\up7(\f(5,2))>3.1－eq \s\up7(\f(5,2)). (2)－8eq \s\up7(－\f(7,8))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up7(\f(7,8))，函数y＝xeq \s\up7(\f(7,8))在(0，＋∞)上为增函数，因为eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up7(\f(7,8))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \s\up7(\f(7,8)). 从而－8eq \s\up7(－\f(7,8))<－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \s\up7(\f(7,8)). (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3))， 函数y＝xeq \s\up7(－\f(2,3))在(0，＋∞)上为减函数， 因为eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3))， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3)). 解：(1)由题意，得m2－5m＋7＝1， 解得m＝2或3. 因为函数f(x)是偶函数，故f(x)＝x2. (2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3， g(x)图象的对称轴是直线x＝eq \f(a,2)， 若g(x)在[1，3]上不是单调函数， 则1<eq \f(a,2)<3，解得2<a<6. 所以实数a的取值范围是(2，6)． 14．(2024·广东梅州中学高一月考)已知实数m，n满足(m＋1)3＋m＝(n－1)3＋n＝0，则eq \f(n,m)＝________． 解析：∵(m＋1)3＋m＝(n－1)3＋n＝0，∴(m＋1)3＋m＋1＝1，且(n－1)3＋n－1＝－1，令函数f(x)＝x3＋x，∵其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，y＝x3，y＝x在R上均单调递增，则f(x)为单调递增的奇函数，且f(m＋1)＝1，f(n－1)＝－1，∴m＋1＝－(n－1)，即m＝－n，显然m≠0，∴eq \f(n,m)＝－1. 15．若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x)，f(x)≤g(x)，,g(x)，f(x)>g(x)，))求函数h(x)的最大值及单调区间． 解：(1)设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以(eq \r(2))α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝eq \f(1,2)，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示．由题意及图象可知 h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0或x>1，,x2，0<x≤1.)) 根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)． 解：(1)将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))分别代入f(x)＝ax与g(x)＝xb，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,4))＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(b)＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,16)，,b＝\f(1,2).)) ∴F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(x)，x≤\f(1,4)，,x\s\up6(\f(1,2))，x>\f(1,4).)) (2)ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16))) eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)，ba＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(1,16))， 又函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上是减函数，2>eq \f(1,16)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(1,16))，即ab<ba. (3)由(1)可得(m＋4)－eq \s\up7(\f(1,2))<(3－2m)－eq \s\up7(\f(1,2))， 又幂函数y＝x－eq \s\up7(\f(1,2))在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋4>0，,3－2m>0，,m＋4>3－2m，))解得－eq \f(1,3)<m<eq \f(3,2)， ∴实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(3,2))). $$