4.3 指数函数与对数函数的关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.3　指数函数与对数函数的关系 (教师独具内容) 课程标准：知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数． 教学重点：1.反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.2.对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质，深刻理解两者的关系． 教学难点：利用对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象的对称关系解决问题． 核心素养：1.通过学习反函数的概念和反函数的性质培养数学抽象素养.2.通过利用反函数的性质解决问题培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax(a＞0且a≠1) 图象 定义域 __________ __________ 值域 __________ __________ (－∞，＋∞) (0，＋∞) (0，＋∞) 知识点一　指数函数与对数函数的比较 (－∞，＋∞) 核心概念掌握 5 当a＞1时，y＝ax为增函数；当0＜a＜1时，y＝ax为减函数 当a＞1时，y＝logax为增函数；当0＜a＜1时，y＝logax为减函数 核心概念掌握 6 知识点二　反函数 (1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的________，记作________． 值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝ f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线______对称．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则f－1(x)也是减函数． [说明]　f－1(x)是函数f(x)的反函数，不是“f(x)的负1次幂：[f(x)]－1”． (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 反函数 y＝f－1(x) y＝x 核心概念掌握 7 答案 核心概念掌握 8 (2，1) 答案 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　求函数的反函数 解 核心素养形成 11 解 核心素养形成 12 【感悟提升】　求反函数的一般步骤 (1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； (2)从y＝f(x)中解出x； (3)x，y互换并注明反函数的定义域． 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 题型二　反函数性质的应用 已知函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，求a，b的值． 解 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 【感悟提升】　利用反函数的性质解题 (1)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． (2)互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称． (3)若点(a，b)在函数y＝f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图象上． (4)互为反函数的两函数的单调性相同． 核心素养形成 19 答案 解析 解析：由题意，得g(－1)＝－1＋2＝1，g(g(－1))＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，∴t＝1，∴g(g(－1))＝1. 1 核心素养形成 20 题型三　指数函数与对数函数图象间的关系 　 已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) 答案 解析 核心素养形成 21 【感悟提升】　利用反函数的性质识图 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，二者的图象关于直线y＝x对称．在有关指数函数与对数函数图象识别的问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题． 核心素养形成 22 答案 解析 【跟踪训练】 3．y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图象是下图中的(　　) 核心素养形成 23 随堂水平达标 1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 解析：y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，∴a＝2.故f(x)＝log2x. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 3．(多选)已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则（　　) A．f(x)＝ln x(x>0) B．f(2x)＝－e2x(x∈R) C．f(x)＝－ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0) 解析：由题意可得，y＝f(x)是y＝ex的反函数，∴f(x)＝ln x(x>0)，∴f(2x)＝ln (2x)＝ln x＋ln 2(x>0)．故选AD. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 4．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________． 解析：函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋ ∞)，∴log2x＋2>3，即log2x>1，∴x>2.则此函数的定义域为(2，＋ ∞)． 答案 解析 (2，＋ ∞) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 5．若点A(1，2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图象上，又在f(x)的反函数f－1(x)的图象上，则a＝____，b＝_____． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 反函数的概念 反函数的图象 指数函数与对数函数图象间的关系 利用反函数的性质求参数 指数函数的反函数及应用 反函数的性质 指数函数与对数函数的关系 分段函数反函数的求解 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 对数函数反函数的求解与求值 利用反函数的性质求值；解不等式 对数型函数反函数的求解及单调性 对数型函数反函数的求解及求参数；对数型复合函数求最值 指数函数反函数的求解及应用 反函数的性质及应用 反函数的性质；指数型函数反函数的求解及应用 反函数的求解；反函数的概念及应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 一、单选题 1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是(　　) A．有且仅有一个实根 B．至少有一个实根 C．至多有一个实根 D．有0个，1个或1个以上实根 解析：若f(x)＝0有根m，则f(m)＝0，又因为f(x)有反函数，所以0在y＝f－1(x)关系下有唯一的值与之对应，故m必唯一，所以y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点，即方程f(x)＝0至多有一个实根． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 2．将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得函数y＝log2(x＋1)的图象．横线处应填写(　　) A．先向左平移1个单位 B．先向右平移1个单位 C．先向上平移1个单位 D．先向下平移1个单位 解析：与函数y＝log2(x＋1)的图象关于直线y＝x对称的曲线是函数y＝2x－1的图象．为了得到它，只需将y＝2x的图象向下平移1个单位．故选D. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 3．若指数函数y＝ax，当x<0时，有0<y<1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图象是(　　) 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 4．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，且f(2)＋f(4)＝1，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析：依题意，函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，∴f(x)与y＝2x＋a互为反函数，∵y＝2x＋a，∴x＋a＝log2y，∴f(x)＝log2x－a，由于f(2)＋f(4)＝1，∴1－a＋2－a＝1，∴a＝1.故选B. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 二、多选题 6．已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)＝－1，若f(x)的反函数为f－1(x)，则(　　) A．f－1(－1)＝1 B．f－1(x)在定义域内单调递增 C．f－1(1)＝1 D．f－1(x)在定义域内单调递减 解析：由反函数的性质可知，f－1(－1)＝1，且f－1(x)在定义域内单调递增． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 解 析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(－log92)＝_____． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 10．已知函数f(x)是定义在R上的减函数，其图象经过A(－4，1)，B(0，－1)两点，函数f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是____；不等式|f(x－2)|<1的解集是________． 解析：由题意，可知f－1(x)的图象过点(1，－4)和点(－1，0)，∴f－1(1)＝－4. ∵|f(x－2)|<1，∴－1<f(x－2)<1，即f(0)<f(x－2)<f(－4)，又函数f(x)为R上的减函数，∴－4<x－2<0，即－2<x<2，∴不等式|f(x－2)|<1的解集为(－2，2)． 答案 解析 －4 (－2，2) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 四、解答题 11．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f－1(x)； (3)判断函数f－1(x)的单调性． 解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2， 故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay， 即x＝2－ay，∴f－1(x)＝2－ax. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 (3)函数f－1(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2. f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋a x1＝a x1－a x2， ∵a>1，x1<x2， ∴a x1<a x2，即a x1－a x2<0， ∴f－1(x2)<f－1(x1)， ∴函数f－1(x)在R上是减函数． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 12．已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a>1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值； (3)求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值． 解：(1)由8－2x>0，得2x<8，∴x<3， ∴函数f(x)的定义域为(－∞，3)． (2)令y＝loga(8－2x)，则x＝log2(8－ay)， 对调x，y，得y＝log2(8－ax)． 由于函数f(x)的反函数是其本身，∴a＝2. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 16．已知函数f(x)＝x2－3tx＋1，其定义域为[0，3]∪[12，15]． (1)当t＝2时，求函数f(x)的反函数f－1(x)； (2)如果函数f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 　　　　　　　　　　　　　 R 函数值的变化情况 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 单调性 _____________________________________________________ _____________________________________________________________ 当a＞1时，ax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＞1，x＞0，,＝1，x＝0，,大于0小于1，x＜0；)) 当0＜a＜1时，ax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(大于0小于1，x＞0，,＝1，x＝0，,＞1，x＜0)) 当a＞1时，logax eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＞0，x＞1，,＝0，x＝1，,＜0，0＜x＜1；)) 当0＜a＜1时， logaxeq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＜0，x＞1，,＝0，x＝1，,＞0，0＜x＜1)) 1．(反函数的概念)下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是(　　) 2．(指数函数与对数函数的关系)若函数y＝f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(x)的反函数为y＝g(x)，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－1 3．(反函数的求法)函数y＝logeq \s\do9(\f(1,3))(x－1)的反函数为___________． 4．(反函数的性质)若点(1，2)在函数y＝f(x)的图象上，则点_______必在其反函数y＝f－1(x)的图象上． y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)＋1 (1)y＝2x＋3； (2)y＝logeq \s\do9(\f(2,3))x； (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)－1； (4)y＝0.2x＋1(x≤1)． 解　(1)由y＝2x＋3，得x＝eq \f(1,2)y－eq \f(3,2)，所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝eq \f(1,2)x－eq \f(3,2). (2)y＝logeq \s\do9(\f(2,3))x的底数是eq \f(2,3)，它的反函数是指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x). (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝logeq \s\do9(\f(2,3))(x＋1)(x>－1)． (4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，对调其中的x和y，得y＝log0.2(x－1)，因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)． 【跟踪训练】 1．求下列函数的反函数： (1)y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x2，x<0；))(2)y＝logeq \s\do9(\f(1,3))(2x＋1)； (3)y＝eq \f(2x＋1,2x－1). 解：(1)当x≥0时，由y＝2x，得x＝eq \f(y,2)，y≥0； 当x<0时，由y＝－x2，得x＝－eq \r(－y)，y<0. 所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x2，x<0))的反函数是y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，x≥0，,－\r(－x)，x<0.)) (2)由y＝logeq \s\do9(\f(1,3))(2x＋1)，得2x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y)， 所以x＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(y)－eq \f(1,2)， 对调x，y得y＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)－eq \f(1,2)， 所以y＝logeq \s\do9(\f(1,3))(2x＋1)的反函数是y＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)－eq \f(1,2). (3)由y＝eq \f(2x＋1,2x－1)，得2x(y－1)＝y＋1. 因为y≠1，所以2x＝eq \f(y＋1,y－1).① 因为2x>0，所以eq \f(y＋1,y－1)>0，解得y>1或y<－1. 故反函数的定义域是{x|x>1或x<－1}． 由①式，得x＝log2eq \f(y＋1,y－1). 所以y＝eq \f(2x＋1,2x－1)的反函数为y＝log2eq \f(x＋1,x－1)(x<－1或x>1)． 解　解法一：∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)， ∴a＋b＝4，① 由y＝ax＋b，得ax＝y－b， ∴x＝loga(y－b)，对调x，y得y＝loga(x－b)， 将点(2，0)代入y＝loga(x－b)，得loga(2－b)＝0， ∴2－b＝1.② 由①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.)) 解法二：∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)， ∴a＋b＝4.① 又y＝ax＋b的反函数的图象过点(2，0)， ∴点(0，2)在函数y＝ax＋b的图象上， ∴a0＋b＝2.② 联立①②，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.)) 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数．若函数g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,f－1（x），x>0，))则g(g(－1))＝____． 解析　∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则b＝eq \f(1,a)，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称．结合选项可知选B. 解析：∵y＝log2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，故排除A，B.又此函数图象过点(0，2)，故选C. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B.eq \f(1,2x) C．logeq \s\do9(\f(1,2))x D．2x－2 －eq \f(1,3) eq \f(7,3) 解析　∵f－1(1)＝2，∴f(2)＝1.又f(1)＝2， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,4a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(7,3).)) 解析：∵当x<0时，y＝ax∈(0，1)，∴a>1.∴y＝logax单调递增，y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)单调递减．结合选项知，选A. 5．函数f(x)与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)互为反函数，则函数f(4－x2)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－2，0] D．[0，2) 解析：∵函数f(x)与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)互为反函数，∴f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))x＝－log2x(x>0)，则函数f(4－x2)＝－log2(4－x2)．由4－x2>0，得－2<x<2，∴函数f(4－x2)的单调递增区间是[0，2)．故选D. 7．(2024·河北承德月考)已知函数y＝－logax(a>0且a≠1)和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)(a>0且a≠1)，下列结论正确的是(　　) A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图象关于直线y＝x对称 解析：对于A，注意到y＝－logax＝logeq \s\do9(\f(1,a))x，则其与函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)互为反函数，故A正确；对于B，函数y＝logeq \s\do9(\f(1,a))x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，故B正确；对于C，当a>1时，两函数均在定义域内单调递减，当0<a<1时，两函数均在定义域内单调递增，故C错误；对于D，两函数互为反函数，则函数的图象关于直线y＝x对称，故D正确．故选ABD. y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,ln x，x≥1)) 三、填空题 8．函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函数是_______________． 解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.故原函数的反函数为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,ln x，x≥1.)) eq \f(\r(2),2) 解析：∵loga9＝2，∴a＝3，而f－1(x)＝ax，∴f－1(x)＝3x，∴f－1(－log92)＝3－log92＝3log3eq \s\up6(\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2). (3)y＝f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－2x>0，,8－2－x>0，))得－3<x<3， ∴函数y＝loga[65－8(2x＋2－x)]的定义域为(－3，3)． ∵2x＋2－x＝2x＋eq \f(1,2x)≥2，当且仅当x＝0时取等号， ∴65－8(2x＋2－x)≤49， ∴函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49. 13．若f(x)＝2x的反函数为f－1(x)，且f－1(a)＋f－1(b)＝4，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值是(　　) A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4) 解析：令y＝2x，得x＝log2y，所以f－1(x)＝log2x，又f－1(a)＋f－1(b)＝4，所以log2a＋log2b＝4，即log2(ab)＝4，所以ab＝16，因此eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))＝eq \f(1,2)，当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(1,b)，即a＝b＝4时，等号成立．故选B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3))) 14．若函数f(x)＝x－eq \f(1,x)(x>0)的反函数为y＝f－1(x)，则关于x的不等式f－1(x)≤3的解集为____________． 解析：观察可得f(x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，则其反函数在R上也单调递增，又f(3)＝3－eq \f(1,3)＝eq \f(8,3)，则3＝f－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))，∴f－1(x)≤3，即f－1(x)≤f－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))，∴x≤eq \f(8,3)，即关于x的不等式f－1(x)≤3的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3))). 15．已知奇函数f(x)＝eq \f(a·2x＋b,2x－1)的反函数f－1(x)的图象过点A(－3，1)． (1)求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式f－1(x)>－1. 解：(1)因为f(x)＝eq \f(a·2x＋b,2x－1)为奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)⇒eq \f(2－1a＋b,2－1－1)＝－eq \f(2a＋b,2－1)⇒a＝b， 因为f(x)的反函数f－1(x)的图象过点A(－3，1)， 所以f(1)＝－3，即eq \f(2a＋b,2－1)＝－3， 所以2a＋b＝－3， 所以a＝b＝－1. (2)由(1)，知f(x)＝eq \f(2x＋1,1－2x)， 则f－1(x)＝log2eq \f(x－1,x＋1)(x>1或x<－1)， 由f－1(x)＝log2eq \f(x－1,x＋1)>－1，得eq \f(x－1,x＋1)>eq \f(1,2)， 解得x>3或x<－1. 所以不等式f－1(x)>－1的解集为{x|x>3或x<－1}． 解：(1)当t＝2时，f(x)＝x2－6x＋1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，令y＝x2－6x＋1. 当x∈[0，3]时，y＝x2－6x＋1＝(x－3)2－8∈[－8，1]，∴x＝3－eq \r(y＋8)； 当x∈[12，15]时，y＝(x－3)2－8∈[73，136]， ∴x＝3＋eq \r(y＋8). ∴f－1(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－\r(x＋8)，x∈[－8，1]，,3＋\r(x＋8)，x∈[73，136].)) (2)若eq \f(3t,2)≤0，即t≤0，则函数f(x)在定义域上单调递增，∴具有反函数； 若eq \f(3t,2)≥15，即t≥10，则函数f(x)在定义域上单调递减，∴具有反函数； 当3≤eq \f(3t,2)≤12，即2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴x＝eq \f(3t,2)的对称区间是[3t－3，3t]，于是当3t<12或3t－3>15，即t∈[2，4)或t∈(6，8]时，函数f(x)在其定义域上满足一一对应关系，具有反函数． 综上所述，实数t的取值范围是(－∞，0]∪[2，4)∪(6，8]∪[10，＋∞)． $$