4.2.2 对数运算法则-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.2　对数与对数函数 4.2.2　对数运算法则 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的运算法则.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 教学重点：1.对数运算法则.2.换底公式． 教学难点：对数运算法则及换底公式的应用． 核心素养：1.通过学习对数运算法则和换底公式培养数学抽象素养.2.通过应用对数运算法则和换底公式解决问题培养数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 logaM＋logaN logaN1＋logaN2＋…＋logaNk αlogaM logaM－logaN 核心概念掌握 5 知识点二　对数的换底公式 (1)logab＝_______，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1. (2)转换成自然对数或常用对数：logab＝ ______ ＝ _____ ． 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 1．(积的对数)lg 20＋lg 5＝(　　) A．100 B．2 C．10 D．1 2．(商的对数)log325－log35＝______． 3．(幂的对数)lg 8＋lg 53＝____． 4．(换底公式)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝_____． 答案 log35 3 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　对数运算法则的应用　 答案 核心素养形成 10 解析 核心素养形成 11 解 核心素养形成 12 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 题型二　换底公式的应用 (1)用logab表示loganbn和logambn(m≠0，n≠0)． 解 核心素养形成 15 (2)计算：(log85＋log25)×(log54＋log258)． (3)已知lg 2＝a，lg 7＝b，用a，b表示log89.8的值． 解 核心素养形成 16 【感悟提升】　运用换底公式的原则和技巧 注意：当一个题目中同时出现对数式和指数式时，一般需要统一成一种表达形式． 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 解 (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645. 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 题型三　与对数有关的条件求值 解 核心素养形成 21 解 (2)已知实数x，y满足xy＝yx，且logxy＝2，求xy的值． 核心素养形成 22 【感悟提升】与对数有关的条件求值问题的解题技巧 (1)通过指数式化对数式求出x，y，再代入所求式子中进行运算． (2)当给出的等式以指数形式出现时，常对等式两边取对数．在取对数时，要注意对底数的合理选取． 核心素养形成 23 解 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 3．(多选)若a>0且a≠1，x∈R，y∈R且xy>0，则下列各式恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 解析：∵xy>0，∴A中若x<0，则不成立；C中若x<0，y<0也不成立；B，D恒成立．故选BD. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 4．已知ab＝M(a>0，b>0，M≠1)，且logMb＝x，则logMa＝______． 解析：因为ab＝M，则logMa＋logMb＝logM(ab)＝logMM＝1，即logMa＋x＝1，所以logMa＝1－x. 答案 解析 1－x 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 答案 解析 1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 积的 对数 积的对数、商的对数、幂的对数 积的对数的 推广　 换底公式；积的对数 换底公式的 应用 换底公式；幂的对数 指数式化为对数式；换底公式；对数的运算法则 对数的 运算法则　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 换底公式；幂的对数 换底公式；幂的对数 对数运算法则；换底公式 利用对数的运算法则、换底公式 解方程 对数的运算法则在实际中的应用 换底公式；幂的对数 换底公式 的应用 利用对数的运算法则、换底公式解决证明问题 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 一、单选题 1．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 二、多选题 6．若log2m＝log4n，则(　　) A．n＝2m B．log9n＝log3m C．ln n＝2ln m D．log2m＝log8(mn) 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 解 析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9．化简：(log43＋log83)(log32＋log92)＝_____． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 答案 解析 64 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 13．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　对数运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么， (1)loga(MN)＝_______________. 推广：loga(N1N2…Nk)＝___________________________ (k∈N＋，N1，N2，…，Nk均为正因数)； (2)logaMα＝_________； (3)logaeq \f(M,N)＝_______________． eq \f(logcb,logca) eq \f(ln b,ln a) eq \f(lg b,lg a) [拓展]　换底公式的常用推论 (1)logambn＝eq \f(n,m)logab. (2)logab×logba＝1. (3)logab×logbc×logcd＝logad. eq \f(a,b) ①logax×logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga(xy)＝logax×logay； ④eq \f(logax,logay)＝logaeq \f(x,y)； ⑤(logax)n＝logaxn； ⑥logax＝－logaeq \f(1,x)； ⑦eq \f(logax,n)＝logaeq \r(n,x)； ⑧logaeq \f(x－y,x＋y)＝－logaeq \f(x＋y,x－y). 其中式子成立的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24×log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax×logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24×log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax×logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则eq \f(log24,log22)＝2≠log2eq \f(4,2)＝1，∴eq \f(logax,logay)＝logaeq \f(x,y)不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；对于⑥，因为－logaeq \f(1,x)＝－logax-1＝loga(x-1)-1＝logax，所以⑥成立；对于⑦，因为logaeq \r(n,x)＝logaxeq \s\up6(\f(1,n))＝eq \f(logax,n)，所以⑦成立；对于⑧，因为logaeq \f(x－y,x＋y)＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y))) eq \s\up12(－1)＝－logaeq \f(x＋y,x－y)，所以⑧成立． (2)化简：①eq \f(lg \r(27)＋lg 8－3lg \r(10),lg 1.2)； ②2log32－log3eq \f(32,9)＋log38－5log53； ③log2eq \r(8＋4\r(3))＋log2eq \r(8－4\r(3)). 解　①原式＝eq \f(lg （33）\s\up6(\f(1,2))＋lg 23－3lg 10\s\up6(\f(1,2)),lg \f(3×22,10))＝eq \f(\f(3,2)（lg 3＋2lg 2－1）,lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(3,2). ②原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1. ③原式＝log2(eq \r(8＋4\r(3))×eq \r(8－4\r(3)))＝log24＝2. 【感悟提升】利用对数运算法则解题的技巧 (1)把复杂的真数化简． (2)正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则化为对数的和、差、积、商再化简． (3)逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (4)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg eq \f(1,a)＝－lg a等． 【跟踪训练】 1．计算：(1)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log535－2log5eq \f(7,3)＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq \f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. 解　loganbn＝eq \f(lg bn,lg an)＝eq \f(nlg b,nlg a)＝eq \f(lg b,lg a)＝logab， logambn＝eq \f(lg bn,lg am)＝eq \f(nlg b,mlg a)＝eq \f(n,m)logab. 解　原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 5,lg 8)＋\f(lg 5,lg 2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 4,lg 5)＋\f(lg 8,lg 25))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 5,3lg 2)＋\f(lg 5,lg 2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2lg 2,lg 5)＋\f(3lg 2,2lg 5))) ＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)＋2＋eq \f(3,2)＝eq \f(14,3). 解　log89.8＝eq \f(lg 9.8,lg 8)＝eq \f(lg \f(72×2,10),lg 23)＝eq \f(2lg 7＋lg 2－1,3lg 2)＝eq \f(2b＋a－1,3a). 【跟踪训练】 2．(1)计算：(log43＋log83)×eq \f(lg 2,lg 3). 解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))×eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(lg 3,2lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)＋eq \f(lg 3,3lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6). 解：解法一：∵18b＝5，∴log185＝b. 又log189＝a， 于是log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log18（9×5）,log18（18×2）)＝eq \f(log189＋log185,1＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a). 解法二：∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a， 于是log3645＝eq \f(log18（9×5）,log18\f(182,9))＝eq \f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 解法三：∵log189＝a，18b＝5， ∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg （9×5）,lg \f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9) ＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a). (2,x) INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\杨楠\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)设3x＝4y＝36，求＋eq \f(1,y)的值． 解　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2， ∴eq \f(2,x)＝log63，eq \f(1,y)＝log62， ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1，即eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1. 解　∵xy＝yx，且logxy＝2， ∴ylg x＝xlg y，eq \f(lg y,lg x)＝2，∴ylg x＝x·2lg x， ∴2x＝y，∴logx2x＝2，则2x＝x2， ∵x>0且x≠1， ∴x＝2，y＝4，∴xy＝8. 【跟踪训练】 3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，求abc的值． 解：解法一：设ax＝by＝cz＝t，t>0且t≠1， ∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,logat)＋eq \f(1,logbt)＋eq \f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即abc＝1. 解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz， ∴令ax＝by＝cz＝t，t>0且t≠1， ∴x＝eq \f(lg t,lg a)，y＝eq \f(lg t,lg b)，z＝eq \f(lg t,lg c)，lg t≠0， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(lg a,lg t)＋eq \f(lg b,lg t)＋eq \f(lg c,lg t) ＝eq \f(lg a＋lg b＋lg c,lg t). ∵eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0， ∴lg a＋lg b＋lg c ＝lg (abc)＝0， ∴abc＝1. 1．计算log916×log881的值为(　　) A．18 B.eq \f(1,18) C.eq \f(8,3) D.eq \f(3,8) 解析：log916×log881＝eq \f(lg 16,lg 9)×eq \f(lg 81,lg 8)＝eq \f(4lg 2,2lg 3)×eq \f(4lg 3,3lg 2)＝eq \f(8,3).故选C. 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　) A.eq \f(a＋b,a) B.eq \f(a＋b,b) C.eq \f(a,a＋b) D.eq \f(b,a＋b) 解析：log36＝eq \f(lg 6,lg 3)＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 3)＝eq \f(a＋b,b).故选B. 5．2(lg eq \r(2))2＋lg eq \r(2)×lg 5＋eq \r(（lg \r(2)）2－lg 2＋1)＝_____． 解析：原式＝lg eq \r(2)×(2lg eq \r(2)＋lg 5)＋eq \r(（lg \r(2)－1）2)＝lg eq \r(2)×(lg 2＋lg 5)＋1－lg eq \r(2)＝lg eq \r(2)＋1－lg eq \r(2)＝1. 2．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　) A．x＝eq \f(ab3,c5) B．x＝eq \f(3ab,5c) C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3 解析：∵lg x＝lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgeq \f(ab3,c5)，∴x＝eq \f(ab3,c5). 3．log2eq \f(1,2)＋log2eq \f(2,3)＋log2eq \f(3,4)＋…＋log2eq \f(31,32)＝(　　) A．5 B．4 C．－5 D．－4 解析：原式＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝log2eq \f(1,32)＝－5. 4．(2024·河北石家庄期末)设n＝eq \f(1,log\s\do9(\f(1,2))\f(1,3))＋eq \f(1,log\s\do9(\f(1,5))\f(1,3))，那么n的值所在的区间为(　　) A．(－2，－1) B．(－3，－2) C．(1，2) D．(2，3) 解析：由题意可得n＝eq \f(1,log\s\do9(\f(1,2))\f(1,3))＋eq \f(1,log\s\do9(\f(1,5))\f(1,3))＝eq \f(1,log23)＋eq \f(1,log53)＝log32＋log35＝log310，且32＝9<10，33＝27>10，所以n＝log310∈(2，3)． 5．设log83＝p，log35＝q，则lg 5＝(　　) A．p2＋q2 B.eq \f(1,5)(3p＋2q) C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq 解析：因为log83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，所以lg 3＝3plg 2.因为log35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，所以lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，所以lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq).故选C. 解析：因为log2m＝log4n，所以m>0，n>0，log2m＝log22n＝eq \f(1,2)log2n＝log2neq \s\up6(\f(1,2))，所以m＝neq \s\up6(\f(1,2))，m2＝n，故A错误；因为log9n＝log32m2＝eq \f(2,2)log3m＝log3m，故B正确；因为ln n＝ln m2＝2ln m，故C正确；因为log8(mn)＝log23m3＝eq \f(3,3)log2m＝log2m，故D正确．故选BCD. 7．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B.eq \f(2,c)＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b) C.eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)－eq \f(1,a) D.eq \f(2,c)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b) 解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，对于A，由ab＋bc＝2ac可得eq \f(b,c)＋eq \f(b,a)＝2，因为eq \f(b,c)＋eq \f(b,a)＝eq \f(log6k,log9k)＋eq \f(log6k,log4k)＝eq \f(logk9,logk6)＋eq \f(logk4,logk6)＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确；对于B，因为eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,log4k)＋eq \f(1,log6k)＝2logk4＋logk6＝logk96，eq \f(2,c)＝eq \f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq \f(2,c)≠eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)，故B错误；对于C，因为eq \f(2,b)－eq \f(1,a)＝eq \f(2,log6k)－eq \f(1,log4k)＝2logk6－logk4＝logk9，eq \f(1,c)＝eq \f(1,log9k)＝logk9，故eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)－eq \f(1,a)，故C正确；对于D，因为eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,log4k)＋eq \f(2,log6k)＝logk4＋2logk6＝logk144，eq \f(2,c)＝eq \f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq \f(2,c)≠eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)，故D错误．故选AC. eq \f(15,4) 三、填空题 8．log3eq \f(\r(4,27),3)＋lg 25＋lg 4＋7log72＝_____． 解析：原式＝log3eq \f(3\s\up6(\f(3,4)),3)＋lg (25×4)＋2＝log33－eq \s\up7(\f(1,4))＋lg 102＋2＝－eq \f(1,4)＋2＋2＝eq \f(15,4). eq \f(5,4) 解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log23,log24)＋\f(log23,log28)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log23)＋\f(1,log232)))＝eq \f(5,6)log23×eq \f(3,2log23)＝eq \f(5,4). 10．(2024·全国甲卷)已知a>1，eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝_____． 解析：由eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝eq \f(3,log2a)－eq \f(1,2)log2a＝－eq \f(5,2)，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 四、解答题 11．计算：(1) ＋lg 4＋lg 25； (2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2eq \r(3))2＋lg eq \f(1,6)＋lg 0.06； (3)2log2eq \s\up7(\f(1,4))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9))) eq \s\up12(－\f(1,2))＋lg 20－lg 2－(log32)×(log23)＋(eq \r(2)－1)lg 1. 解：(1)原式＝＋2lg 2＋2lg 5 ＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3lg 2＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2 ＝1. (3)原式＝eq \f(1,4)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2))) eq \s\up12(－\f(1,2))＋lgeq \f(20,2)－eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＋1＝eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq \s\up12(－1)＋lg 10－1＋1＝2. 12．解下列方程： (1)eq \f(1,2)(lg x－lg 3)＝lg 5－eq \f(1,2)lg (x－10)； (2)lg x＋2log(10x)x＝2. 解：(1)由已知方程知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－10>0.))故x>10. 原方程可化为lgeq \r(\f(x,3))＝lg eq \f(5,\r(x－10))， 所以eq \r(\f(x,3))＝eq \f(5,\r(x－10))，即x2－10x－75＝0. 解得x＝15或x＝－5(舍去)， 经检验，x＝15是原方程的解． (2)由已知方程知10x>0且10x≠1，即x>0且x≠eq \f(1,10). 原方程可化为lg x＋eq \f(2lg x,1＋lg x)＝2， 即(lg x)2＋lg x－2＝0. 令t＝lg x，则t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2， 即lg x＝1或lg x＝－2，所以x＝10或x＝eq \f(1,100). 经检验，x＝10，x＝eq \f(1,100)都是原方程的解． 解析：由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,7.5)))eq \s\up12(λ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))eq \s\up12(λ)＝eq \f(60,15)＝4，两边取以10为底的对数，得λlg eq \f(10,3)＝2lg 2，所以λ＝eq \f(2lg 2,1－lg 3)≈eq \f(2×0.301,1－0.477)≈1.15.故选D. 解析：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝eq \f(\r(2),2)，则bi＝(i＝1，2，3，…，10)，所以log(a1a2…a10)(b1b2…b10)＝eq \f(lg （b1b2…b10）,lg （a1a2…a10）)＝＝eq \f(lg （a1a2…a10）\s\up6(\f(\r(2),2)),lg （a1a2…a10）)＝eq \f(\r(2),2). 14．(2024·山东菏泽期末)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝eq \f(\r(2),2)，则log(a1a2…a10)(b1b2·…·b10)＝_____． eq \f(\r(2),2) 15．设0<a<1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，当y＝eq \f(\r(2),4)时，logay取得最小值，求a的值． 解：由已知条件，得logax＋eq \f(3,logax)－eq \f(logay,logax)＝3， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logax－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4). 当logax＝eq \f(3,2)时，logay有最小值eq \f(3,4)， 此时y＝eq \f(\r(2),4)，所以有logaeq \f(\r(2),4)＝eq \f(3,4)， 故aeq \s\up6(\f(3,4))＝eq \f(\r(2),4)＝2－eq \s\up7(\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up6(\f(3,4)). 所以a＝eq \f(1,4). 16．(1)已知5x＝2y＝(eq \r(10))z，且x，y，z均不为0，求证：eq \f(z,x)＋eq \f(z,y)＝2； (2)设xa＝yb＝zc，x>0，y>0，z>0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，求证：z＝xy. 证明：(1)令5x＝2y＝(eq \r(10))z＝k(k＞0且k≠1)， 则x＝log5k，y＝log2k，eq \f(1,2)z＝lg k，z＝2lg k， 所以eq \f(z,x)＋eq \f(z,y)＝eq \f(2lg k,log5k)＋eq \f(2lg k,log2k) ＝2lg k(logk5＋logk2) ＝2lg k·logk10＝2. 所以eq \f(z,x)＋eq \f(z,y)＝2. (2)当x＝y＝z＝1时，满足z＝xy； 当x≠1，y≠1，z≠1时， 令xa＝yb＝zc＝t(t>0且t≠1)， 则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt. 因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，所以logtx＋logty＝logtz. 所以logt(xy)＝logtz. 所以z＝xy. $$