4.2.1 对数运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 (教师独具内容) 课程标准：理解对数的概念． 教学重点：1.对数的概念.2.对数的性质． 教学难点：对数性质的灵活运用． 核心素养：1.通过学习对数的概念和对数的性质培养数学抽象素养.2.通过运用对数的性质解决问题培养数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，_________称为以___为底___ 的对数，记作__________ ，其中____称为对数的底数， ____ 称为对数的真数． 幂指数b b＝logaN a N a N 核心概念掌握 5 提示：①若a<0，则N为某些数值时，b不存在，如式子(－3)b＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在．因此规定a不能小于0. ②当a＝0且N≠0时，b不存在；当a＝0，N＝0时，b可以为任何实数，不能确定．因此规定a≠0. ③当a＝1且N≠1时，b不存在；而当a＝1，N＝1时，b可以为任何实数，不能确定．因此规定a≠1. ④当a＞0且a≠1时，由ab＝N(N＞0)，知当a与N确定之后，b唯一确定．因此规定a＞0且a≠1. 提示 [想一想]　在对数的概念中，为什么a＞0且a≠1? 核心概念掌握 6 知识点二　对数的性质 由对数的概念可得到如下性质： (1)负数和零__________． (2)以a(a>0且a≠1)为底1的对数为____，即loga1＝____ (a>0且a≠1)． (3)底的对数为____ ，即logaa＝____ (a>0且a≠1)． (4)alogaN＝____ (a>0且a≠1，N>0)． 因为由b＝logaN，得ab＝___，所以将b＝logaN代入上式，可得alogaN＝____． (5)logaab＝____ (a>0且a≠1)． 因为ab＝N⇔__________，所以logaab＝____ (a>0且a≠1)． 没有对数 0 0 1 1 N N N b logaN＝b b 核心概念掌握 7 知识点三　常用对数与自然对数 (1)常用对数 ①定义：________________称为常用对数． ②符号表示：常用对数log10N通常简写为______． (2)自然对数 ①定义：_______________称为自然对数． ②符号表示：自然对数logeN通常简写为______． 以10为底的对数 lg N 以e为底的对数 ln N 核心概念掌握 8 答案 核心概念掌握 9 2．(指数式与对数式的互化)若log3a＝2，则a＝___． 3．(常用对数与自然对数)lg 10＝___，ln e＝___． 4．(对数的性质)计算：2log23＋3log32＋lg 0.0001＝___． 9 1 1 答案 1 核心概念掌握 10 核心素养形成 在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5) C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4) 题型一　对数的概念 答案 解析 核心素养形成 12 【感悟提升】对数式有意义的条件 对数式有意义的两个前提：①底数大于0且不等于1；②对数的真数必须大于0. 核心素养形成 13 解 【跟踪训练】 1．在log(2x－1)(x＋2)中求x的取值范围． 核心素养形成 14 题型二　指数式与对数式的互化 解 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 【感悟提升】指数式与对数式互化的思路 指数式ab＝N可以写成对数式logaN＝b(a>0且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下： (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 核心素养形成 17 【跟踪训练】 2．(1)已知logx16＝2，则x＝(　　) A．±4 B．4 C．256 D．2 (2)若a＝log23，则2a＋2－a＝______． 答案 解析 解析：∵x2＝16且x>0，x≠1，∴x＝4.故选B. 核心素养形成 18 (3)将下列指数式与对数式互化： ①log216＝4；② ＝6；③43＝64. 解 核心素养形成 19 题型三　对数恒等式的应用 解 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 题型四　对数性质的应用 解 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 【感悟提升】对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0且a≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，由外到内逐层使用对数的性质． 核心素养形成 26 答案 解析 【跟踪训练】 4．(1)若log3(2x－1)＝1，则x＝_____． 解析：由已知可得2x－1＝3，∴x＝2. 2 核心素养形成 27 (2)已知log2[log3(log4x)]＝0，求x的值． 解：∵log2[log3(log4x)]＝0， ∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3， ∴x＝43＝64. 解 核心素养形成 28 (3)若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值． 解 核心素养形成 29 随堂水平达标 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数称为常用对数． 其中正确说法的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：①正确；对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，故②错误；对于③，以e为底的对数称为自然对数，故③错误．故选A. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 4．函数f(x)＝3x－2的零点为_______． 解析：：由f(x)＝3x－2＝0，得3x＝2，∴x＝log32.故函数f(x)的零点为log32. 答案 解析 log32 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 5 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 对数 的概念　 解对数方程　 对数式化为指数式 常用对数；指数式与对数式的互化 函数模型的应用 简单的对数运算；对数的性质 指数式与对数式的互化 解对数方 程；指数 幂的运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 对数 的性质 利用对数恒等式与对数的性质求值 对数式化为指数式进行计算 解对数方程；对数的性质 对数 的概念　 对数性 质的应用　 对数恒等 式；对数式化为指数式 利用二次函数的性质构造对数方程并求解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 一、单选题 1．若log(x－1)(x－1)＝1，则x的取值范围是(　　) A．x≠1 B．x>1 C．x≠2 D．x>1且x≠2 解析：若log(x－1)(x－1)＝1有意义，则x－1>0且x－1≠1，即x>1且x≠2.故选D. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 4．如果f(10x)＝x，则f(3)＝(　　) A．log310 B．lg 3 C．103 D．310 解析：解法一：令10x＝t，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t．∴f(3)＝lg 3.故选B. 解法二：令10x＝3，得x＝lg 3，∴f(3)＝lg 3.故选B. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 解 析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 二、多选题 6．下列结论正确的是(　　) A．log24＝2 B．2.10.5>2.1－1.8 C．3log32＝2 D．－ln e＝1 解析：对于A，log24＝2，故A正确；对于B，根据函数y＝2.1x是增函数可知2.10.5>2.1－1.8，故B正确；对于C，根据对数恒等式可知3log32＝2，故C正确；对于D，－ln e＝－1，故D不正确．故选ABC. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解析：A，B，D正确；log39＝2变成指数式应为32＝9，C不正确．故选ABD. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 答案 解析 1 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 答案 解析 －3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 13．“2a＝2b”是“ln a＝ln b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 15．(1)计算： ； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 16．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 　　　　　　　　　　　　　 R 1．(对数的概念)使对数式b＝loga(2－3a)有意义的实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) 解析　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))解得2<a<3或3<a<5. 解：因为真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(1,2)且x≠1. 即x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)且x≠1)))). (1,32) INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\杨楠\\杨楠\\课件\\541数学（必修第二册导学案（B版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)将下列指数式改写成对数式：2－5＝；34＝81；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n. 解　log2eq \f(1,32)＝－5；log381＝4；logeq \s\do9(\f(1,2))n＝m. (2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；logeq \s\do9(\f(1,2))16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3. 解　53＝125；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16；eb＝a；103＝1000. 解析：因为a＝log23，所以2a＝3，则2a＋2-a＝3＋3-1＝eq \f(10,3). eq \f(10,3) 解：①24＝16.②(eq \r(3))6＝27.③log464＝3. (1)5log54；(2)3log34-2；(3)24＋log25； (4)2eq \s\up7(\f(1,2))log25；(5)4log23. 解　(1)5log54＝4. (2)∵3log34＝4， ∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×eq \f(1,9)＝eq \f(4,9). (3)∵2log25＝5， ∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80. (4)∵2log25＝5，∴2eq \s\up7(\f(1,2))log25＝(2log25)eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(5). (5)∵2log23＝3， ∴4 log23＝22log23＝(2log23)2＝9. 【感悟提升】运用对数恒等式时的注意事项 (1)对于对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． (2)对指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 【跟踪训练】 3．求31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9))) eq \s\up12(log3)4的值． 解：原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg 3)3＋3－2×log34＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2＝18－48＋27＋eq \f(1,16)＝－eq \f(47,16). (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1； (3) eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x；(4)33＋log3x＝2. 解　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1， ∴x＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3， ∴x＝103＝1000. (3)∵eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x， ∴(eq \r(2)－1)x＝eq \f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq \f(1,\r(（\r(2)＋1）2)) ＝eq \f(1,\r(2)＋1)＝eq \r(2)－1， ∴x＝1. (4)33＋log3x＝33×3log3x＝27x＝2，∴x＝eq \f(2,27). 解：∵log(x－2)(x2－7x＋13)＝0， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋13＝1，,x－2>0且x－2≠1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋12＝0，,x>2且x≠3，))解得x＝4. 故x的值为4. 2．若log8x＝－eq \f(2,3)，则x的值为(　　) A.eq \f(1,4) B．4 C．2 D.eq \f(1,2) 解析：x＝8－eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(1,4).故选A. 3．(多选)下列各式计算正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．由log25x＝eq \f(1,2)，得x＝±5 解析：∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，A正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，B正确；若10＝lg x，则x＝1010，C错误；由log25x＝eq \f(1,2)，得x＝25eq \s\up6(\f(1,2))＝5，D错误．故选AB. 5．式子2log25＋logeq \s\do9(\f(3,2))1的值为_____． 解析：由对数的性质，知2log25＝5，logeq \s\do9(\f(3,2))1＝0，故原式＝5. 2．方程2log3x＝eq \f(1,4)的解是(　　) A．x＝eq \f(1,9) B．x＝eq \f(\r(3),3) C．x＝eq \r(3) D．x＝9 解析：∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝eq \f(1,9). 3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝(　　) A.eq \f(10,49) B.eq \f(7,10) C.eq \f(10,7) D.eq \f(49,10) 解析：∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝eq \f(3a,3b)＝eq \f(10,7). 5．(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝eq \f(S－1,ln N)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．Neq \o\al(2,2)＝Neq \o\al(3,1) D．Neq \o\al(3,2)＝Neq \o\al(2,1) 解析：由题意，得eq \f(S－1,ln N1)＝2.1，eq \f(S－1,ln N2)＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以Neq \o\al(3,2)＝Neq \o\al(2,1).故选D. 7．下列指数式与对数式的互化中，正确的是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．27－eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)与log27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3) C．log39＝2与9eq \s\up6(\f(1,2))＝3 D．log55＝1与51＝5 eq \f(1,2) 三、填空题 8．已知logeq \s\do9(\f(1,2))x＝3，则xeq \s\up6(\f(1,3))＝____． 解析：∵logeq \s\do9(\f(1,2))x＝3，∴x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)，∴xeq \s\up6(\f(1,3))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(3)))eq \s\up6(\f(1,3))＝eq \f(1,2). 9．若a>0，a2＝eq \f(4,9)，则logeq \s\do9(\f(2,3))a＝____，logaeq \f(4,9)＝____． 解析：由a>0，a2＝eq \f(4,9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)，可知a＝eq \f(2,3)，∴logeq \s\do9(\f(2,3))a＝logeq \s\do9(\f(2,3)) eq \f(2,3)＝1，logaeq \f(4,9)＝logeq \s\do9(\f(2,3)) eq \f(4,9)＝logeq \s\do9(\f(2,3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝2. 10．2log2eq \s\up7(\f(1,4))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))－eq \s\up7(\f(2,3))＋lg eq \f(1,100)＋(eq \r(2)－1)lg 1的值是______． 解析：原式＝eq \f(1,4)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3))) eq \s\up12(－\f(2,3))＋lg 10-2＋(eq \r(2)－1)0＝eq \f(1,4)－eq \f(9,4)－2＋1＝－3. 四、解答题 11．计算： (1)log84；(2) ； (3)log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))． 解：(1)设log84＝x，则8x＝4， 即23x＝22，3x＝2，x＝eq \f(2,3)，故log84＝eq \f(2,3). (2)设＝x，则(eq \r(4,3))x＝81， 即3eq \s\up6(\f(x,4))＝34，eq \f(x,4)＝4，x＝16， 故＝16. (3)设log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝x， 则(2＋eq \r(3))x＝2－eq \r(3)， (2＋eq \r(3))x＝eq \f(1,2＋\r(3))＝(2＋eq \r(3))－1，x＝－1， 故log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝－1. 12．求下列各式中x的值： (1)logx27＝eq \f(3,2)；(2)log2x＝－eq \f(2,3)； (3)lg (ln x)＝0；(4)logx(3＋2eq \r(2))＝－2； (5)log5(log2x)＝0；(6)ln (lg x)＝1. 解：(1)由logx27＝eq \f(3,2)，得xeq \s\up6(\f(3,2))＝27， ∴x＝27eq \s\up6(\f(2,3))＝32＝9. (2)由log2x＝－eq \f(2,3)，得x＝2－eq \s\up7(\f(2,3))， ∴x＝eq \f(1,\r(3,22))＝eq \f(\r(3,2),2). (3)∵lg (ln x)＝0，∴ln x＝1，∴x＝e. (4)由logx(3＋2eq \r(2))＝－2，得3＋2eq \r(2)＝x－2， 即x＝(3＋2eq \r(2))－eq \s\up7(\f(1,2))＝eq \r(2)－1. (5)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝2. (6)∵ln (lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. 解析： 2a＝2b⇔a＝b，ln a＝ln b⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,a>0，,b>0，))所以“2a＝2b”是“ln a＝ln b”的必要不充分条件．故选B. 14．已知a>b>c>1，且loga(logeq \s\do9(\f(1,a))x)＝logb(logeq \s\do9(\f(1,b))y)＝logc(logeq \s\do9(\f(1,c))z)＝0，则(　　) A．1<z<y<x B．0<z<y<x<1 C．0<x<y<z<1 D．1<x<y<z 解析：因为loga(logeq \s\do9(\f(1,a))x)＝logb(logeq \s\do9(\f(1,b))y)＝logc(logeq \s\do9(\f(1,c))z)＝0，所以logeq \s\do9(\f(1,a))x＝1，logeq \s\do9(\f(1,b))y＝1，logeq \s\do9(\f(1,c))z＝1，所以x＝eq \f(1,a)>0，y＝eq \f(1,b)>0，z＝eq \f(1,c)>0，因为a>b>c>1，所以0<eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<eq \f(1,c)<1，所以0<x<y<z<1. 解：(1) ＝×2log43＝×＝×(4log43)eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(1,3)×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3). (2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3， 则a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12. 数学　必修 第二册 RJB 解：原函数式可化为f(x)＝lg aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,lg a)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,lg a)＋4lg a. ∵f(x)有最大值3， ∴lg a<0，且－eq \f(1,lg a)＋4lg a＝3， 整理，得4(lg a)2－3lg a－1＝0， 解得lg a＝1或lg a＝－eq \f(1,4). 又lg a<0，∴lg a＝－eq \f(1,4).∴a＝10－eq \f(1,4). 1 $$