专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读） 【清单01】 锐角的三角比定义 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即； 余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即； 正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即； 余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即； 【清单02】 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 【清单03】特殊角的三角比 1 1 【清单04】锐角的三角比 【考点题型一】锐角三角比的意义 【例1】在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】.在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知是锐角，化简： ． 【变式1-5】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【变式1-5】.若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 【变式1-6】.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，． （1）求AB的长； （2）求点C到直线AB的距离． 【考点题型二】求角的三角比 【例2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-1（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ． 【变式2-3】（21-22九年级下·上海·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为    【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【变式2-5】（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ． 【变式2-6】（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 【变式2-7】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 【变式2-8】（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【变式2-9】（2024九年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求与的值； (2)过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【变式2-10】（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【变式2-11】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 【考点题型三】已知三角比求边长 【例3】（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【变式3-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为 ． 【变式3-3】（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 【变式3-4】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【变式3-5】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分，分别交、于点、，设，．    (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)过点作，垂足为点，当时，求线段的长． 【考点题型四】特殊角三角比混合运算 【例4】（22-23九年级上·上海青浦·期中）计算： 【变式4-1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【变式4-2】（2024九年级下·上海·专题练习）计算：． 【变式4-3】（21-22九年级上·上海青浦·期中）计算：． 【变式4-4】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【变式4-5】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【考点题型五】根据特殊角三角比求角度 【例5】．（2024九年级上·上海·专题练习）已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 【变式5-3】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 【变式5-4】（22-23九年级·上海·假期作业）求满足下列条件的锐角： (1)； (2)． 【变式5-5】（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，问：的大小确定吗？ 若确定，求其度数；若不确定，请说明理由    【考点题型六】根据特殊角三角比求角度 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【变式6-1】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米． 【变式6-2】（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【变式6-3】（21-22九年级上·上海长宁·期末）如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米． 求：（1）点 到地面的距离； （2） 的长度．（精确到 米） （参考数据: ） 【变式6-4】（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【变式6-5】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 【变式6-6】（21-22九年级上·上海嘉定·期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． (1)如图1，如果点与点重合，求的余切值； (2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； (3)如果，求的面积． 【变式6-7】（22-23九年级上·上海·期中）已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直． (1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长； (2)如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值； (3)如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM． 【变式6-8】（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 锐角的三角比（考点清单，知识导图+4个考点清单+6种题型解读） 【清单01】 锐角的三角比定义 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即； 余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即； 正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即； 余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即； 【清单02】 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 【清单03】特殊角的三角比 1 1 【清单04】锐角的三角比 【考点题型一】锐角三角比的意义 【例1】在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，将代入即可求得． 【详解】如图所示：在中，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键． 【变式1-1】在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，   ， 在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【变式1-2】.在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键． 【详解】解：如图:∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-3】如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项． 【详解】解：，， 故A选项正确，不符合题意； CD、CE分别是斜边AB上的高和中线， ， 故B选项不正确，符合题意； ，即， 故C选项正确，不符合题意； ，即, 又 故D选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键． 【变式1-4】已知是锐角，化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式1-5】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1-5】.若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 【变式1-6】.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，． （1）求AB的长； （2）求点C到直线AB的距离． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 过点A作AH⊥BD，垂足为点H．根据等腰三角形的性质求出DH,再根据,求出AH,利用勾股定理即可求出AB； (2) 过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H． ∵AB=AD， ∴BH=HD=BD=2 ．     ∵点D是BC的中点， ∴BD=CD． ∵BD=4， ∴CD=4． ∴HC=HD+ CD=6．    ∵，∴，∴．    ∵， ∴． （2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．      ∵，     ∴．      ∴． ∴点C到直线AB的距离为 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键． 【考点题型二】求角的三角比 【例2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式2-1（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴的正切为， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，难度适中．通过作高构造包含顶角的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D，于E．    ∵， ∴． 在直角三角形中， ∵， ∴． ∵， ∴ 在直角三角形中， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（21-22九年级下·上海·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为    【答案】 【分析】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键． 如图：作于点D，由网格可得，利用勾股定理求得，再由余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于点D，    则， ∴， ∴． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 【详解】解：设，， ∴， ∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-5】（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，，则，，代入比例式求出，则，然后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点G，    由折叠的性质可知，，． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-6】（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键． 【详解】解：设，则 ∵，与相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-7】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 【变式2-8】（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题． （2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， 又， ． 又， ， ． ，， ． （2）过点作的垂线，垂足为，     ， ， ． 在中，， ． 【变式2-9】（2024九年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求与的值； (2)过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正弦的定义，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出值，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出点坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可． 【详解】（1）解：∵点在直线图象上， ， 解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ． ． （2）解：在函数中，当时，， ， ， ．    【变式2-10】（2024·上海长宁·三模）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积； （2）连接，过点作于点，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可．． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 则， ， ， ， ，即， 解得：， 由勾股定理得：， ． 【变式2-11】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义是关键． （1）过点C作轴于H，根据平行线分线段成比例定理可得出的长，即可得C的坐标； （2）连接，过点O作，在中，根据正切函数的定义即可求解； （3）设，进而求出，求出x的值即可得D的坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵B，A分别是与x轴，y轴的交点． 当时，；当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点O作 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，； （3）解：如图，过点D作轴于E， 设， ∴， 解得或6． ∴或， 综上所述：D的坐标为或． 【考点题型三】已知三角比求边长 【例3】（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切的定义，正切等于对边比邻边，先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 则，即， 解得， 故选：A． 【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为 ． 【答案】或10/10或 【分析】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的应用，分当点B在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况，分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可；清晰的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①如图：当点B在y轴的正半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：；   ②如图：当点B在y轴的负半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为或10． 【变式3-3】（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得，过点A作于点H，过点作于点G，得由菱形的性质得，可得，设则由勾股定理得由折叠得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解决问题 【详解】解：过点A作于点H，过点作于点G，点D与点F重合，如图， 由折叠得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴ 设则， 由折叠得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得，， ∴ 故答案为： 【变式3-4】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 【变式3-5】（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分，分别交、于点、，设，．    (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)过点作，垂足为点，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的长为2或 【分析】（1）由已知可得，从而得到，再由可得，从而得到； （2）根据及已知条件 可得，再根据 及比例的性质可以得到解答； （3）分在上和在上两种情况讨论． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，． 又 ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 整理得：． （3）①如图，在线段上时，      在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． ②在线段上时，    在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 解得：或， ∵， ∴． 综上，的长为2或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，列函数关系式，余弦的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，相似的判定与性质、垂直平分线的性质是解题关键 ． 【考点题型四】特殊角三角比混合运算 【例4】（22-23九年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整指数幂，二次根式的混合运算，求解即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【变式4-2】（2024九年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算．分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4-3】（21-22九年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； 【详解】解： ． 【变式4-4】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，根据分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式4-5】（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，将特殊角三角函数值代入求解即可． 【详解】解： 【考点题型五】根据特殊角三角比求角度 【例5】．（2024九年级上·上海·专题练习）已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵已知α为锐角，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-1】（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度． 【答案】 【分析】先根据特殊角的三角函数值得出锐角、的值，再根据三角形的内角和定理即可得出答案 【详解】解：∵，，与是锐角， ∴，， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了由特殊角的函数值求角度，以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：因为锐角的正切值为，即， 所以锐角为度， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式5-3】（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 【答案】45 【分析】先利用，求出，再根据三角函数值求对应的角度即可． 【详解】解：， ， 为锐角， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 【变式5-4】（22-23九年级·上海·假期作业）求满足下列条件的锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）解：由得，则；； （2）解：由得，则． 【点睛】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 【变式5-5】（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，问：的大小确定吗？ 若确定，求其度数；若不确定，请说明理由    【答案】 【分析】利用两直角三角形的顶点四点共圆的特性可证，同样利用这两个三角形的相似可得出其面积比等于相似比的平方，从而求得与之比，最后求解直角即可求得的度数，也就求得邻补角的度数． 【详解】的大小确定．理由如下： 如图，取边的中点O，连接，    ∵分别是直角与直角的中线， ∴ ∴四点共圆． ∴(同弧对的圆周角相等)， ∴， ∴(相似三角形面积之比等于相似比的平方)， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆、相似三角形的判定和性质、三角函数的计算、邻补角等知识点，解题的关键是善于运用四点共圆与相似三角形的性质． 【考点题型六】根据特殊角三角比求角度 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 【变式6-1】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了 米． 【答案】2 【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可． 【详解】解：标字母C、D、E如图 ∵AB= 10米， ∴EB=ABsin=10×=6， ∵CD=10米，， ∴DE=CD， 在Rt△CDE中，CE=， ∴BC=CE-BE=8-6=2， ∴梯子顶端上升了2米． 故答案为2． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键． 【变式6-2】（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 【变式6-3】（21-22九年级上·上海长宁·期末）如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米． 求：（1）点 到地面的距离； （2） 的长度．（精确到 米） （参考数据: ） 【答案】（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米 【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得； （2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米． 【详解】解：（1）过点A作交于点F， 则， 在中，（米）， 即点A到地面的距离为2.8米； （2）过点A作交于点H， 在四边形AFCH中，， ∴四边形AFCH是矩形， ∴，， 设BC=x，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴ ， ∴（米）， ∵， ∴（米）． 【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 【变式6-4】（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 【变式6-5】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长． 【答案】(1)8； (2)． 【分析】（1）根据，得出∠E=∠C，∠EDA=∠B，可证△DEA∽△BCA，得出，可求，根据，得出，求BC即可； （2）根据，得出△DEA∽△BCA，得出，根据，得出，，在中，，代入数据得出，即可求出DF 【详解】（1）解：∵， ∴∠E=∠C，∠EDA=∠B， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴△DEA∽△BCA， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为点， ∴． 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数是解题关键． 【变式6-6】（21-22九年级上·上海嘉定·期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． (1)如图1，如果点与点重合，求的余切值； (2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； (3)如果，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）设AB=3k，AC=4k，利用平行四边形的性质，构造直角三角形，用余切的定义计算即可； （2）利用平行四边形的性质，得到∠EDC=∠DAF，∠CED=∠CDF=∠DFA，从而证明△∽△，用性质证明即可； （3）分点F在AB上和在AB的延长线上，两种情形计算即可． 【详解】（1）∵， ∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC==2k，CD∥AB， ∵AC⊥CD， ∴AC⊥AB， ∴BC==5k， ∵四边形ABCD的周长为16， ∴5k+5k +3k +3k=16， 解得k=1， ∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2， ∴cot∠AFD=； （2）∵∥， ∴,， ∵， ∴， ∴△∽△， ∴， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， 定义域是：. （3）解：点在射线上都能得到：△∽△ ∴， ①当点在边上， ∵，∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当点在的延长线上 ∵，， ∴， 由题意， 得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，△的面积是或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用三角形的相似是解题的关键． 【变式6-7】（22-23九年级上·上海·期中）已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直． (1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长； (2)如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值； (3)如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM． 【答案】(1)； (2)的比值随点的运动没有变化，比值为； (3)． 【分析】（1）由正方形的性质及可求出，，由勾股定理可求出，再由即可求出结论； （2）证明，得，即可得，故可得出结论； （3）延长交的延长线于点，通过证明求得，进而得，通过证明得，进而证明，利用三角函数得定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 在中，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴    ∴ ∴ （2）解： 的比值随点的运动没有变化 理由如下：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴   ∵ ∴ ∴， ∴ ∵，      ∴ ∴的比值随点的运动没有变化，比值为； （3）解：延长交的延长线于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质及勾股定理，正方形的性质以及三角函数，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式6-8】（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①延长，交于点G，根据，点D在的平分线上，得到，结合，平分，得到，，得到，判定，从而得到． ②如图时间到了,申请延时,无人回复,请老师审核时,单独联系吧谢谢 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，证明，由此得到，，根据已知，求得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）①延长，交于点G， 因为，点D在的平分线上， 所以， 因为，平分， 所以，， 所以， 所以， 所以． ②如图 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F， 因为，点D在的平分线上， 所以， 所以， 所以，， 因为，， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得（舍去）， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 解得（舍去）， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$