第五章 三角函数 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．任意角和弧度制 在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确． 2．三角函数的概念 任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝≠sin×α. 3．同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定． 4．三角函数的诱导公式 诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角； (2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0，2π)内的角； (3)±α，π±α，±α，2π±α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质 (1)“五点法”作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，是f(2x)的周期． 解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域． 6．三角恒等变换 使用公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝常用来升幂或降幂． 7．函数y＝Asin(ωx＋φ) 主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型； (4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟． 在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑． 一、任意角三角函数的定义 利用定义求三角函数值的两种方法：(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值；(2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)． (1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值； (2)若cosα≤0，且sinα>0，求实数m的取值范围． [解]　(1)若m＝2，则P(－3，4)， 所以x＝－3，y＝4，r＝5， 所以sinα＝，tanα＝－. 故5sinα＋3tanα＝5×＋3×＝4－4＝0. (2)由题意知，cosα＝≤0，sinα＝>0， 即x≤0，y>0，所以 所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3]． [素养训练1]　(1)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为(　　) A．0 B．－2 C．2 D．－2或2 答案：A 解析：若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则或分别代入＋，可得其值为0. (2)若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案：C 解析：∵角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，∴角α终边上一点的坐标为(1，－)，故sinα＝＝－. 二、同角三角函数基本关系式的运用 1．公式变形：(1)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±，cosα＝±；(2)sinα＝cosαtanα，cosα＝. 2．已知正切求余弦的公式：将sinα＝cosα·tanα代入sin2α＋cos2α＝1得cos2αtan2α＋cos2α＝1，因此cos2α＝. 3．“同角”的含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等． 已知＝，求下列各式的值． (1)； (2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ. [解]　∵＝， ∴＝，解得tanθ＝2. (1)原式＝＝＝1. (2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ ＝ ＝＝－. [素养训练2]　已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝. (1)求tanα的值； (2)把用tanα表示出来，并求其值． 解：(1)由sinα＋cosα＝，得1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－. 因为α是三角形的内角， 所以sinα>0，cosα<0， 所以sinα－cosα＝ ＝ ＝＝， 故sinα＝，cosα＝－，tanα＝－. (2)＝＝， 又tanα＝－，所以＝＝－. 三、诱导公式的应用 对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α(k∈Z)，π±α，±α，±α的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． 解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，消除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用． 在①tan(π＋α)＝2；②sin(π－α)－sin＝cos(－α)；③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 已知________， (1)求的值； (2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cossin的值． [解]　若选①tan(π＋α)＝2，则tanα＝2. 若选②sin(π－α)－sin＝cos(－α)， 则sinα－cosα＝cosα， 即sinα＝2cosα，则tanα＝2. 若选③2sin＝cos， 则2cosα＝sinα， 即tanα＝2. (1)＝. 将tanα＝2代入，得原式＝＝8. (2)当α为第三象限角时，cosα＝－，sinα＝－. sin(－α)－cos(π＋α)－cossin＝－sinα＋cosα＋sinαcosα ＝－－＋× ＝. [素养训练3]　已知α是第三象限角，且f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos＝，求f(α)． 解：(1)f(α)＝ ＝＝－cosα. (2)因为cos＝， 所以sinα＝－.又α是第三象限角， 所以cosα＝－＝－， 所以f(α)＝－cosα＝. 四、三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． (2024·广东佛山一中高一上期末) (1)化简：＋； (2)求证：tan2x＋＝. [解]　(1)原式＝ ＋ ＝＋ ＝＋＝＝. (2)证法一：左边＝＋＝ ＝ ＝＝＝ ＝＝ ＝右边． 故原等式得证． 证法二：右边＝ ＝＝ ＝ ＝＝tan2x＋＝左边． 故原等式得证． [素养训练4]　(1)化简：·； (2)求证： ＝tanx. 解：(1)原式 ＝ ＝· ＝·＝. (2)证法一：左边 ＝ ＝＝ ＝＝tanx＝右边． 故原等式成立． 证法二：左边 ＝ ＝ ＝＝ ＝＝tanx＝右边． 故原等式成立． 五、三角函数求值 1．“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数． 2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，一般用已知角表示所求角． 3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范围，确定角． 已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． [解]　(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝， 即1＋sin2α＝， ∴sin2α＝，又易知2α∈， ∴cos2α＝＝， ∴tan2α＝＝. (2)∵β∈，β－∈，sin＝， ∴cos＝， ∴sin＝2sincos＝. 又sin＝－cos2β，∴cos2β＝－. 又易知2β∈，∴sin2β＝. 又cos2α＝＝， ∴cosα＝，∴sinα＝， ∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－. [素养训练5]　(1)求值： ①； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． 解：①原式＝ ＝ ＝＝sin30°＝. ②设α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα ＝＋－cosα ＝0. (2)已知tanα＝－，tanβ＝－，且<α<π，－π<β<0，求2α＋β的值． 解：因为<α<π，tanα＝－，所以<α<π.因为－π<β<0，tanβ＝－，所以－<β<0.于是<2α＋β<2π.又tan2α＝＝＝－，tan(2α＋β)＝＝＝－1，所以2α＋β＝. 六、三角函数的图象 1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 (1)列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 (2)在同一坐标系中描出各点． (3)用光滑的曲线连接这些点，进而形成图象． 2．由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数 (1)A：由最大值、最小值来确定A. (2)ω：通过求周期T来确定ω. (3)φ：利用已知点列方程求出． 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x －1 5 Asin(ωx＋φ) 0 2 －2 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将f(x)的图象向右平移3个单位长度，然后把曲线上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到g(x)的图象．若关于x的方程g(x)＝a2－a在x∈上有解，求实数a的取值范围． [解]　(1) ωx＋φ 0 π 2π x －4 －1 2 5 8 Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 f(x)＝2sin. (2)由题意可得g(x)＝2sin， ∵x∈， ∴x＋∈[0，π]， ∴sin∈[0，1]， ∴0≤g(x)≤2，即0≤a2－a≤2， 解得－1≤a≤0或1≤a≤2， 即实数a的取值范围为[－1，0]∪[1，2]． [素养训练6]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象． (1)求此函数的解析式； (2)分析一下该函数的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？ 解：(1)由图象知， A＝＝， k＝＝－1， T＝2×＝π， ∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝， ∴φ＝. ∴所求函数的解析式为y＝sin－1. (2)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，然后把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象，再把横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin的图象，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位长度，得到y＝sin－1的图象． 七、三角函数的性质 1．三角函数的周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为. 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sinx，cosx的有界性． (2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． (2024·河北衡水第十四中学高一上期末)已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． [解]　(1)f(x)＝2sin＋a， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)当x∈时，2x－∈， 所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值， 即2sin＋a＝－2， 故a＝－1. [素养训练7]　已知函数f(x)＝logacos(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)判断函数f(x)的奇偶性； (4)判断函数f(x)的周期性，如果是周期函数，求出它的周期． 解：(1)由题意知cos>0， ∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－<x<kπ＋(k∈Z)． 故函数f(x)的定义域为(k∈Z)． (2)在定义域范围内求cos的单调区间． 函数u＝cos在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减， ∴当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)； 当0<a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)． (3)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)是周期函数， ∵f(x＋π)＝logacos ＝logacos＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为T＝π. 八、三角恒等变换的综合应用 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：利用三角恒等变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． (2024·江苏苏州吴江中学高一下3月月考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求f(x)的最值； (3)当x∈时，关于x的不等式af－f≥4有解，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意，得函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x ＝2＝2sin， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)当x∈时，2x＋∈， 所以sin∈， 则f(x)∈， 当2x＋＝－，即x＝－时，函数f(x)取得最小值，为－； 当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，为2. (3)由题意得x∈时，af－f＝2asinx－2cos2x≥4有解， 而此时sinx>0，即a≥有解，只需要a≥即可， ＝＝－2sinx，x∈，令t＝sinx，t∈，则y＝－2t在上单调递减，所以当t＝1时，ymin＝1，即＝1，所以a≥1. [素养训练8]　已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知，f(x)＝sin＋1. 当x∈时，2x＋∈， 由正弦函数y＝sinx在上的图象知， 当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最大值＋1； 当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最小值0. 综上，f(x)在区间上的最大值为＋1，最小值为0. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$