第五章 三角函数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第五章　单元质量测评 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 三角函数值符号的判断 扇形的面积公式 区域角的表示 三角函数的概念；诱导公式 二倍角公式；两角差的正切公式 利用正弦型函数的奇偶性、对称性、周期性求函数值 正切型函数的对称性、单调性 余弦型函数的单调性、零点问题 辅助角公式；三角函数图象的变换 三角函数式的化简 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 已知三角函数图象求函数值、性质等问题 三角恒等变换；同角三角函数的基本关系 余弦型函数的零点问题 三角函数的对称性、同角三角函数关系求值 三角函数的概念；诱导公式；三角恒等变换 三角恒等变换与三角函数的单调性、最值的综合 三角函数的实际应用 利用三角函数的图象求解析式；三角函数图象的应用 “五点法”作图；三角函数的单调性；与三角函数有关的方程问题 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知角α为第三象限角，则点P(tanα，sinα)在(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限 答案：D 解析：∵角α为第三象限角，∴tanα>0，sinα<0，∴点P(tanα，sinα)在第四象限．故选D. 2．已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由扇形面积公式S＝αr2，得＝α·22，∴α＝.故选A. 3.(2024·黑龙江绥化部分学校高一上期末)如图，终边落在阴影区域(含边界)的角的集合为(　　) A．{α|k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z} B．{α|k·180°≤α≤45°＋k·180°，k∈Z} C．{α|k·90°≤α≤45°＋k·90°，k∈Z} D．{α|90°＋k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z} 答案：C 解析：终边在第一、三象限内的阴影区域的角的集合为{α|2k·180°≤α≤45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°≤α≤45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|n·180°≤α≤45°＋n·180°，n∈Z}＝{α|2n·90°≤α≤45°＋2n·90°，n∈Z}．终边在第二、四象限内的阴影区域的角的集合为{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}＝{α|(2n＋1)·90°≤α≤45°＋(2n＋1)·90°，n∈Z}．所以终边在阴影区域的角的集合为{α|2n·90°≤α≤45°＋2n·90°，n∈Z}∪{α|(2n＋1)·90°≤α≤45°＋(2n＋1)·90°，n∈Z}＝{α|k·90°≤α≤45°＋k·90°，k∈Z}． 4．(2024·河南TOP二十名校高一下2月调研)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1，－2)，则sin－cos＋tan(π－α)＝(　　) A. B. C. D．－ 答案：B 解析：由题知，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－2，所以sin－cos＋tan(π－α)＝－cosα－sinα－tanα＝－＋＋2＝.故选B. 5．(2024·浙江宁波镇海中学高一上期末)已知tan＝，则cos2α＋sin2α＋2＝(　　) A. B. C. D．2 答案：C 解析：由tan＝，得＝，解得tanα＝3，因为cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，故cos2α＋sin2α＋2＝－＋＋2＝.故选C. 6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为，则f的值为(　　) A．－1 B．1 C. D. 答案：B 解析：f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，∵f(x)是偶函数，∴φ－＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z.∵0＜φ＜π，∴当k＝0时，φ＝，即f(x)＝2sin＝2sin＝2cosωx，∵y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为，∴＝，即T＝π，即＝π，得ω＝2，则f(x)＝2cos2x，则f＝2cos＝2cos＝2×＝1. 7．(2024·浙江丽水期末)已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)图象的一个对称中心是，所以2×＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝－2tan.令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋<x<＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.当k＝0时，得f(x)的一个单调递减区间为. 8．已知f(x)＝cos[2(x＋α)]在内有零点，且在内单调递减，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：f(x)＝cos(2x＋2α)，由f(x)＝0，得2x＋2α＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋－α(k∈Z)，因为f(x)在内有零点，所以－α∈，得α∈.令2kπ≤2x＋2α≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－α≤x≤kπ－α＋，k∈Z，又由f(x)在内单调递减，得－α≤－且－α＋≥，即α∈，所以α∈.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．函数f(x)＝2sin的图象可由函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象如何变换得到(　　) A．先将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B．先将g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先将g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 答案：AD 解析：将函数g(x)＝sin2x－cos2x＝2sin图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝2sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f(x)＝2sin的图象；或者先将g(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，再向左平移个单位长度，可得函数f(x)＝2sin的图象． 10．下列选项化简后值为1的是(　　) A. B. C.＋sin10°tan70°－2cos40° D.－(1＋)tan15° 答案：ABD 解析：对于A，＝＝＝1，A符合题意；对于B，＝ ＝＝1，B符合题意；对于C，＋sin10°tan70°－2cos40°＝＋－2cos40°＝＋－2cos40°＝－2cos40°＝＝＝2，C不符合题意；对于D，－(1＋)tan15°＝－(1＋)×＝－(1＋)×＝1，D符合题意．故选ABD. 11．(2024·安徽六安第一中学高一上期末)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(x)＝f C．f(x)在区间上单调递增 D．若f(a)＝f(b)＝1，则|a－b|的最小值为 答案：BCD 解析：由图象可知A＝2，＝－＝，故T＝π，ω＝＝2，将代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得2sin＝－2，则φ＝2kπ＋，k∈Z，则函数f(x)＝2sin，故f(0)＝2sin＝，故A错误；f＝2sin＝2sin＝2sin＝f(x)，故B正确；当x∈时，2x＋∈⊆，故C正确；令f(x)＝2sin＝1，则2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，则x＝－＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，故f(a)＝f(b)＝1时，|a－b|的最小值为－＝，故D正确．故选BCD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝，且β为第三象限角，则cos的值为________． 答案：± 解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sinβ＝－.∵β为第三象限角，∴cosβ＝－，∴cos＝±＝±＝±. 13．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案：[2，3) 解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个解，令t＝ωx，则cost＝1有3个解，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 14．已知函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，则x1＋x2＝________，sin(x1－x2)＝________． 答案：　－ 解析：∵0＜x＜π，∴2x－∈.∵函数f(x)＝sin，且方程f(x)＝的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，∴2x1－＋＝2×，则x1＋x2＝，∴x2＝－x1，∴sin(x1－x2)＝sin＝sin＝－cos.由0＜x1＜x2＜π，可得0＜x1＜，故2x1－∈.再根据sin＝，可得cos＝，故sin(x1－x2)＝－cos＝－. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知角α的终边过点P(x，－1)(x<0)，且cosα＝x. (1)求的值； (2)求的值． 解：由条件知cosα＝x＝， 又x<0，得x＝－2，故P(－2，－1)． 故sinα＝－，tanα＝＝. (1)原式＝＝＝ ＝－. (2)原式＝ ＝＝2sinαtanα＝－. 16．(2023·北京高考)(本小题满分15分)设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ. (1)若f(0)＝－，求φ的值； (2)已知f(x)在区间上单调递增，f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f＝； 条件②：f＝－1； 条件③：f(x)在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω>0， |φ|<， 所以f(0)＝sin(ω·0)cosφ＋cos(ω·0)sinφ＝sinφ＝－， 因为|φ|<，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω>0，|φ|<， 所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<， 所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f(x)存在． 若选条件②：因为f(x)在上单调递增， 且f＝1，f＝－1， 所以＝－＝π， 所以T＝2π，ω＝＝1， 所以f(x)＝sin(x＋φ)， 又因为f＝－1， 所以sin＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝－. 所以ω＝1，φ＝－. 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1， 即f＝－1. 以下与选条件②解法相同． 17.(本小题满分15分)如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝10米，记∠BHE＝θ. (1)试将污水净化管道的总长度L(即Rt△FHE的周长，单位：米)表示为θ的函数，并求出定义域； (2)问当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度． 解：(1)EH＝，FH＝， EF＝＝. 由于BE＝10tanθ≤10，AF＝≤10， 所以≤tanθ≤，故θ∈. 管道的总长度L＝＋＋，定义域为. (2)L＝＋＋ ＝10·. 设sinθ＋cosθ＝t，则sinθcosθ＝， 由于θ∈， 所以t＝sinθ＋cosθ ＝sin∈， 因为L＝在t∈内单调递减， 于是当t＝时，L取得最大值20(＋1). 故当θ＝或θ＝时，污水净化效果最好，此时管道的总长度为20(＋1)米． 18.(本小题满分17分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)已知点M，点N是该函数图象上一点，点P(x0，y0)是MN的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值． 解：(1)由题意可得－＝，解得T＝π， 又T＝，且ω＞0，所以ω＝2， 　 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)． 将点代入可得2sin＝－2， 所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又0≤φ≤，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)由点M，P(x0，y0)是MN的中点，y0＝， 得点N的坐标为， 又点N在f(x)＝2sin的图象上， 所以sin＝， 又x0∈，所以－＜4x0－＜， 从而得4x0－＝，解得x0＝. 19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝sin＋2cos(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y轴对称． (1)求ω的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数f(x)在一个周期内的图象； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)设关于x的方程mf＋g＋(m＋1)＝0在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝sin＋2cos ＝sinωxcos－cosωxsin＋2 ＝sinωx＋cosωx ＝sin. 所以f(x)＝sin，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象， 则g(x)＝sin ＝sin， 该函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数， 故＋＝＋kπ，k∈Z， 解得ω＝2＋6k，k∈Z. 因为0<ω<3，所以ω＝2. 所以函数f(x)＝sin， 列表： 2x＋ 0 π 2π x － sin 0 0 － 0 作图如下： (2)由函数f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)由(1)得到msin＋cos＋(m＋1)＝0， 化简得，msin＋1－2sin2＋m＋1＝0. 令t＝sin， 由x∈，得t∈. 关于t的方程－2t2＋mt＋m＋2＝0， 即(t＋1)(2t－m－2)＝0， 解得t1＝－1，t2＝. 当t＝－1时，由sin＝－1，x∈ 可得x＝－； 要使原方程在上有两个不相等的实数根， 则0<≤， 解得－2<m≤－1. 故实数m的取值范围为(－2，－1]． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$