5.7 三角函数的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA (教师独具内容) 课程标准：1.了解y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义.2.会用三角函数模型解决简单的实际问题.3.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题． 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型． 核心素养：1.通过建立三角函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.2.通过对实际问题的求解和分析，培养数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 知识点二　三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 知识点三　建立函数模型的一般步骤 1．(三角函数中参数的物理意义)函数y＝3sin的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，， B．6π，3， C．3π，3，－ D．6π，， 答案：B 2．(三角函数在物理中的应用)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. B．50 C. D．100 答案：A 3．(三角函数模型描述周期现象)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：C 4．(三角函数在生活中的应用)某艺术展览馆在开馆时间段(9：00～16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f(t)＝Asin＋5(A>0，9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为(　　) A．1万 B．9千 C．8千 D．7千 答案：B 题型一　三角函数在物理中的应用 　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解]　列表如下： 2t＋ π 2π t 0 sin 1 0 －1 0 s 2 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示．再利用周期性，不断向右平移(每次移动π个单位长度)，得t∈[0，＋∞)上的图象． (1)将t＝0代入s＝4sin， 得s＝4sin＝2， 所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 【感悟提升】在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 【跟踪训练】 1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ 解：(1)列表如下： 2πt＋ π 2π t 0 s 3 6 0 －6 0 描点、连线，图象如图所示．再利用周期性将图象不断向右平移(每次移动1个单位长度)得t∈[0，＋∞)上的图象． (2)因为当t＝0时，s＝3， 所以此时离开平衡位置的距离是3 cm. 题型二　三角函数在生活中的应用 　如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． [解]　(1)设动物种群数量y关于t的函数表达式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则解得 又周期T＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝＝， ∴y＝100sin＋800. 又当t＝6时，y＝900， ∴900＝100sin＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1， ∴取φ＝－， ∴y＝100sin＋800(0≤t≤11，t∈N)． (2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750， 即当年3月1日动物种群数量约是750. 【感悟提升】解三角函数应用问题的基本步骤 【跟踪训练】 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件求f(x)的解析式． 解：由题意可知＝7－3＝4，所以T＝8， 所以ω＝，A＝＝2，B＝＝7， 即f(x)＝2sin＋7，　(*) 又图象过点(3，9)，代入(*)式得sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，得φ＝－， 则f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)． 题型三　数据拟合问题 　(2024·四川广安第二中学高一上月考)某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y(单位：千辆)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记为y＝f(t)，下表是某日桥上的车流量的数据： t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(千辆) 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b(其中A>0，ω>0，b>0，－π≤φ≤0)的图象． (1)根据以上数据，画出散点图，并求函数y＝f(t)的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ [解]　(1)画出散点图，如图： 依题意，A＝＝＝2，b＝＝＝3，T＝12＝， 解得ω＝，当t＝9时，y取最大值， 则9×＋φ＝2nπ＋，n∈Z， 而－π≤φ≤0，于是n＝0，φ＝－π， 所以函数y＝f(t)的近似解析式为f(t)＝2sin＋3. (2)若车流量超过4千辆时，即y＝2sin＋3>4，则sin>， 解得2kπ＋<t－π<2kπ＋，k∈Z，即12k＋7<t<12k＋11，k∈Z，而0≤t≤24， 因此7<t<11和19<t<23满足条件，(11－7)＋(23－19)＝8， 所以一天中有8小时不允许这种货车通行． 【感悟提升】处理数据拟合和预测问题的步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图． (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 【跟踪训练】 3．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行活动？ [解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝. 又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5； t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0， ∴振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)． (2)∵y>1时，才对冲浪爱好者开放， ∴y＝cost＋1>1，cost>0，2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)． 又8≤t≤20，∴9<t<15， ∴在规定时间内，只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动． 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A．2， B.， C.，π D．2，π 答案：B 解析：当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为. 2．(2024·浙南名校联盟高一下开学考试)在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝4sin(100πt)，y2＝4cos(100πt)，则这两个声波合成后即y＝y1＋y2的振幅为(　　) A．4 B．8 C．4 D．8 答案：A 解析：∵y＝y1＋y2＝4sin(100πt)＋4cos(100πt)＝4sin，∴利用函数的性质可得函数的振幅为4.故选A. 3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分．则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 答案：C 解析：当10≤t≤15时，有<5≤≤<，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故选C. 4．(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　) A．该质点的运动周期为0.8 s B．该质点的振幅为5 cm C．该简谐运动可用x＝5sin表示 D．该质点在1 s时位移约为3.5 cm 答案：ABD 解析：由题图可知，该质点的运动周期为0.8 s，振幅为5 cm，故A，B正确；设x＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则A＝5，ω＝＝，所以x＝5sin.因为图象经过点(0.3，0)且在附近下降，所以×0.3＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝5sin，故C错误；将t＝1代入，得x≈3.5，故D正确．故选ABD. 5．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，则 电压值重复出现一次的时间间隔为________s，当t＝________时，电压第一次取得最大值． 答案：0.02　 解析：T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s．当100πt＋＝，即t＝时，电压第一次取得最大值． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 三角函数在物理中的应用——单摆模型求周期 三角函数在生活中的应用——求最值 三角函数在物理中的应用——弹簧振子模型比较函数值的大小 三角函数在物理中的应用——电流模型求函数值 三角函数在物理中的应用——声波模型求解析式 三角函数在生活中的综合应用 数据拟合问题——求解析式 三角函数在生活中的应用——求函数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 三角函数在物理中的应用——匀速圆周运动模型求解析式、单调区间 三角函数在物理中的应用——弹簧振子模型求解析式、最值问题 三角函数在生活中的综合应用 三角函数在物理中的应用——示波器模型求解析式 三角函数在几何中的应用——求解析式、面积 三角函数在生活中的应用——求解析式、函数值、解不等式 三角函数在生活中的应用——求解析式、解不等式 1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　) A．2 s B．1 s C. s D. s 答案：C 解析：由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s. 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. 3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos2t确定，则当t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 答案：C 解析：当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，s2＝10cos＝10×＝－5，故s1＝s2. 4．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝时，电流强度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 答案：A 解析：由题图知A＝10，T＝2×＝＝，所以ω＝100π，则I＝10sin(100πt＋φ)．因为点(0，5)在图象上，所以10sinφ＝5，即sinφ＝，φ＝，所以I＝10sin.当t＝时，I＝10sin＝10sin＝－5. 5．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪音(如图)．已知噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线为(　　) A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝－sinx D．y＝－cosx 答案：D 解析：由噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，可得ω＝＝＝1，所以噪音的声波曲线为y＝sin＝cosx，所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线为y＝－cosx.故选D. 6.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　) A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14) D．这一天的函数关系式也适用于第二天 答案：AB 解析：由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点(14，30)，∴30＝10sin＋20，∴sin＝1，又0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin＋20(0≤x≤24)，B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，D错误． 7．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________． t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 t 0.5 0.6 0.7 0.8 y 2.8 0.0 －2.8 －4.0 答案：y＝－4cost 解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝＝＝.又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cost. 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A>0，x＝1，2，3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃. 答案：20.5 解析：依题意知则a＝＝23，A＝＝5，则y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5. 9．动点A(x，y)在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周．已知当t＝0时，点A的坐标是. (1)求当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数解析式； (2)求该函数的单调递增区间． 解：(1)因为T＝12，所以ω＝＝，从而可设y关于t的函数为y＝sin(t≥0)，又t＝0时，y＝， 所以φ＝，所以y＝sin，0≤t≤12. (2)当－＋2kπ≤t＋≤＋2kπ，k∈Z， 即－5＋12k≤t≤1＋12k，k∈Z时，函数单调递增， 因为0≤t≤12， 所以该函数的单调递增区间为[0，1]和[7，12]． 10.(2024·福建厦门第一中学高一上期末)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用的时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. (1)求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系； (2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围． 解：(1)首先根据题意得到A＝＝5，T＝2＝，ω＝π，从而得到h＝5sin，t≥0. (2)根据题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，从而得到＋49T≤t0<＋50T，再根据周期为2，即可得到98≤t0<100. 11．(多选)血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝116＋22sin，则(　　) A．函数p(t)的最小正周期为6 B．当天早晨7点时李华的血压为138 mmHg C．当天李华有高血压 D．当天李华的收缩压与舒张压之差为44 mmHg 答案：BCD 解析：因为ω＝，所以T＝＝12；当t＝1时，p(t)＝138，所以当天早晨7点时李华的血压为138 mmHg；因为p(t)的最大值为116＋22＝138，最小值为116－22＝94>90，所以李华的收缩压为138 mmHg，舒张压为94 mmHg，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为44 mmHg.故选BCD. 12．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2，4)和P(6，0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是________． 答案：y＝4sin 解析：由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．因为＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，所以y＝4sin.又曲线经过点M(2，4)，所以×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝4sin·. 13．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F. (1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积． 解：(1)由图象，可知A＝，ω＝＝＝， 将B代入y＝sin中， 得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， 即φ＝2kπ－(k∈Z)． 因为|φ|<，所以φ＝－， 故y＝sin. (2)在y＝sin中， 令x＝4，得D(4，4)， 从而得曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)， 则P， 所以矩形PMFE的面积为S＝×＝，即儿童乐园的面积为. 14．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)． (1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(≈1.73，精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T＝＝12， 故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8， 所以d＝3.8sin＋12.2， 又t＝4时，d＝16， 所以sin＝1， 所以取φ＝－， 所以d＝3.8sin＋12.2. (2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2 ＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)． (3)令3.8sin＋12.2<10.3， 有sin<－， 因此2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)， 所以12k＋8<t<12k＋12(k∈Z)． 令k＝0，得t∈(8，12)； 令k＝1，得t∈(20，24)． 故这一天该港口共有8 h水深低于10.3 m. 15．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)近似描述，求该函数的解析式； (2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？ 解：(1)由题意可得 解得A＝200，b＝300. 又＝2×(8－2)， 解得ω＝. ∴y＝200sin＋300. 又sin＝－1，0<|φ|<π， 解得φ＝－. ∴y＝200sin＋300. (2)由200sin＋300≥400， 得sin≥(x∈N＋，1≤x≤12)， 解得x＝6，7，8，9，10. 因此在6，7，8，9，10月份要准备不少于400人的用餐． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$