5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.2.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题． 教学重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用． 教学难点：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质解决匀速圆周运动的实际问题． 核心素养：通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升数学抽象素养、直观想象素养、数学运算素养和数学建模素养． 知识点　　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数 当φ＝kπ＋，k∈Z时为偶函数 当φ≠，k∈Z时为非奇非偶函数 图象的对称轴 直线x＝＋－，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求 图象的对称中心 对称中心：－，0，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求 单调性 求法：令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 求法：令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 [点拨]　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)： (1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数的周期越小；ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． [提醒]　(1)两条相邻对称轴之间间隔为个周期； (2)函数在对称轴处取得最大值或最小值． 1．(由图象求三角函数解析式)若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 答案：C 2．(三角函数的单调性)(2024·湖南长沙一中高一上月考)函数y＝cosπx的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数(　　) A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 答案：B 3．(三角函数的最值)函数y＝2sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f(x)的最大值为________． 答案：2 4．(三角函数的奇偶性)若f(x)＝cos是奇函数，则φ＝________． 答案： 题型一　求三角函数的解析式 　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． [解]　解法一(逐一定参法)： 由图象知A＝3，T＝－＝π， ∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点在函数图象上， ∴0＝3sin， ∴－×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|＜，∴φ＝， ∴y＝3sin. 解法二(待定系数法)： 由图象知A＝3. 由图象过点和，且在处下降，在处上升， 可令解得 ∴y＝3sin. 解法三(图象变换法)： 由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象是由y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 【感悟提升】求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω. (3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 【跟踪训练】 1.如图所示为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 答案：C 解析：由图象知A＝2，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.∵图象过点，∴2＝2sin，∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<|φ|<，∴φ＝.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin. 题型二　三角函数图象与性质的综合应用 　已知函数f(x)＝1＋2sinxcosx－2sin2x，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的最小值和最大值． [解]　(1)f(x)＝1＋2sinxcosx－2sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin的图象， ∵x∈，∴2x－∈， ∴2sin∈[－2，1]． 故g(x)在区间上的最小值为－2，最大值为1. 【感悟提升】三角函数图象与性质综合问题的解题技巧 (1)单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间进而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． (2)奇偶性的求解技巧 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． (3)最值的求解技巧 当ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值或最小值． (4)对称性的求解技巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出，其对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出；同理y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出． 【跟踪训练】 2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数f(x)的最小正周期T及f(x)的解析式； (2)求函数f(x)图象的对称轴方程及单调递增区间； (3)将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝a－1在x∈上有两个解，求a的取值范围． 解：(1)由题意A＝1，＝＋＝⇒T＝π，则＝π⇒ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又因为图象过点，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)⇒φ＝＋2kπ(k∈Z)，而－<φ<，则φ＝，于是f(x)＝sin. (2)结合图象可知，函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z⇒－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，于是g(x)＝sin，其在x∈上的图象如图所示． 因为g(x)＝a－1在x∈上有两个解，所以≤a－1<1⇒a∈. 题型三　y＝Asin(ωx＋φ)在匀速圆周运动中的应用 　如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值． [解]　(1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设y＝40.5－40cosωt(t≥0)， 由周期为12分钟可知，T＝＝12， 解得ω＝， 所以y＝40.5－40cost(t≥0)． (2)令y＝40.5－40cost＝60.5， 得cost＝－， 所以t＝＋2kπ，k∈Z或t＝＋2kπ，k∈Z， 解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z， 又t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)． (3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰好相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米． 【感悟提升】匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系． 【跟踪训练】 3.某挂钟秒针的端点A到中心点O的距离为20 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，A与B两点距离地面的高度差h(cm)与t(s)存在函数关系式，则解析式h(t)＝________，其中t∈[0，60]，一圈内A与B两点距离地面的高度差不低于30 cm的时长为________ s. 答案：20－20cost　20 解析：经过t s，秒针转过的圆心角为－t，得h(t)＝20－20sin＝20－20cost.由20－20cost≥30，得cost≤－，又0≤t≤60，故0≤t≤2π，得≤t≤，解得20≤t≤40，故一圈内A与B两点距离地面的高度差h不低于30 cm的时长为20 s. 1．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 解析：y＝sin2x的图象y＝sin＝sin(2x－π)＝－sin(π－2x)＝－sin2x的图象．由于x∈R，－sin(－2x)＝sin2x，所以是奇函数． 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案：A 解析：根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，可得A＝2，T＝·＝－，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．又函数图象过点，∴2sin＝2，∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.∵|φ|＜π，∴φ＝－，∴函数的解析式为y＝2sin.故选A. 3．(2024·安徽亳州一中高一下月考)函数f(x)＝sin(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于点(π，0)对称，则φ＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题得g(x)＝sin＝sin，因为g(x)的图象关于点(π，0)对称，所以sin＝0，sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝－＋kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝.故选D. 4．(多选)如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)，则(　　) A．ω＝ B．ω＝ C．A＝3 D．A＝5 答案：AC 解析：由题目可知y的最大值为5，所以5＝A×1＋2⇒A＝3，T＝15，则ω＝. 5．(2024·浙江台州书生中学高一下开学考试)已知函数f(x)＝2cos，函数g(x)的图象由函数f(x)的图象向右平移个单位长度而得到，则当x∈时，g(x)的单调递增区间是________． 答案： 解析：由函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝2cos＝2cos的图象，令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即g(x)的单调递增区间为，k∈Z，则当x∈时，可得g(x)的单调递增区间为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 三角函数的值域、周期的综合应用 利用三角函数的图象求参数值 三角函数图象的平移、伸缩变换；三角函数图象的对称中心 利用三角函数的图象与性质求参数值 三角函数图象的平移变换；三角函数的周期性、单调区间 三角函数的零点、最值、周期性、对称性的综合 三角函数在匀速圆周中的应用 三角函数的平移变换；三角函数的奇偶性与值域 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用三角函数的周期与最值求解析式；“五点法”作图 利用三角函数的图象与性质求解析式；与三角函数有关的方程问题 三角函数图象的对称性、伸缩变换；由三角函数的单调性求参数 三角函数图象与性质的综合应用 由函数图象交点问题求三角函数值 利用函数的最值求参数范围 利用三角函数的图象与性质求解析式；由函数零点问题求参数范围 1．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D. 答案：B 解析：函数f(x)的周期T＝4.因为对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以|x1－x2|min＝＝2. 2．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝1，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 答案：A 解析：由图象得A＝2，＝－，则T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∴f＝2sin＝2，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，∴φ＝.故选A. 3．(2024·湖南岳阳高一上期末)将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)图象的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到图象的解析式为y＝sin，再向右平移个单位长度，得到图象的解析式为y＝sin＝sin2x.当x＝时，y＝sinπ＝0，所以是函数y＝sin2x图象的一个对称中心．故选B. 4．函数y＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意并结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和－1，可得CD＝1－(－1)＝2，故AB的长度为2CD＝4，又AB为函数的一个周期的长度，故可得4＝，解得ω＝.故选D. 5．已知函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列是函数g(x)的单调递增区间的为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：已知函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，所以函数f(x)的最小正周期为4.则＝4，解得ω＝，所以f(x)＝Asinx.将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝Asin的图象．令－＋2kπ≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得－＋4k≤x≤4k＋(k∈Z)．当k＝0时，函数g(x)的单调递增区间为. 6．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC. 7.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t(单位：s)的函数关系为________． 答案：y＝sin 解析：∵秒针是顺时针旋转，且每60秒转一周，∴ω＝－＝－ rad/s.由P0，得cosφ＝，sinφ＝，解得φ＝.故点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝sin. 8．(2024·山东青岛二中高一上月考)将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)为偶函数，则函数y＝f(x)在上的值域为________． 答案：[－1，2] 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)＝2sin的图象，若函数y＝g(x)为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝，故函数f(x)＝2sin.∵x∈，2x＋∈，∴sin∈，2sin∈[－1，2]，则函数y＝f(x)在上的值域为[－1，2]． 9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)． 解：(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又当x＝时，f(x)取得最大值2， 所以A＝2，2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 所以φ＝2kπ＋，k∈Z. 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈， 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象如下： 10．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ≤π)的图象如图所示． (1)求f(x)在上的解析式； (2)求方程f(x)＝的解． 解：(1)由题图知A＝1， T＝4＝2π，则ω＝＝1， 当x∈时，将代入f(x)得， f＝sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z. 因为0<φ≤π，所以φ＝， 所以当x∈时，f(x)＝sin. 由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称， 得当x∈时，f(x)＝－sinx. 综上，f(x)＝ (2)在区间内，由f(x)＝，可得x1＝－，x2＝. 因为函数f(x)的图象关于直线x＝－对称， 所以有x3＝－，x4＝－. 则方程f(x)＝的解为－，－，－，. 11．(2024·福建福州一中高一上第二学段考试)已知函数f(x)＝cos2(0<φ<π)图象的一个对称中心为，现将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在[0，π]上单调递减，则ω的取值可以为(　　) A. B. C．2 D．3 答案：D 解析：f(x)＝cos2＝cos(2x＋φ)＋，∵函数f(x)图象的一个对称中心为，∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝cos＋，将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝cos＋，当x∈[0，π]时，x＋∈，若函数g(x)在[0，π]上单调递减，则＋≤π，得ω≥.故选D. 12．(多选)(2024·河北正定中学高一上月考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　) A．该函数的解析式为y＝2sin B．该函数图象的对称中心为，k∈Z C．该函数的单调递增区间是，k∈Z D．将函数y＝2sin的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数的图象 答案：ACD 解析：由题图可知，A＝2，周期T＝＝4＝3π，所以ω＝，则y＝2sin.因为当x＝时，y＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，故φ＝，从而y＝2sin，故A正确；令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，故B错误；令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，故C正确；将函数y＝2sin的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到y＝2sin的图象，故D正确． 13．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 答案：－ 解析：设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sinx＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，则ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin＝sin(k∈Z)，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin，则f(π)＝sin＝－. 14．(2024·江西宜春高一期中)已知函数f(x)＝2sin在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值记为M，则M的取值范围为________． 答案：[－，2] 解析：函数的周期T＝＝4，而区间的长度为1，即，由正弦函数的单调性可知M的最大值为2，令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即4k＋≤x≤4k＋，k∈Z，如图所示，当函数f(x)在[t，t＋1]内的图象关于直线x＝4k＋，k∈Z对称时，最小值M＝f(t)＝f(2＋4k)＝2sin＝2sin＝－2sin＝－，所以M的取值范围为[－，2]． 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，且x＝是函数f(x)的零点，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，f＝2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个零点，求m的取值范围． 解：(1)因为直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，且f＝2，A>0， 所以A＝2. 又x＝是函数f(x)的零点， 所以T＝－(n∈N＋)， 即T＝(n∈N＋)， 所以ω＝＝＝4n－2(n∈N＋)， 因为0<ω<6， 所以0<4n－2<6， 所以<n<2， 又n∈N＋， 所以n＝1，所以ω＝2， 因此f(x)＝2sin(2x＋φ)， 因为f＝2， 所以2sin＝2，即sin＝1， 又|φ|<，所以φ＝， 故f(x)＝2sin. (2)依题意，知函数y＝f(x)的图象与直线y＝m在上有2个交点， 设t＝2x＋，由x∈，得t∈，结合图象可知，函数y＝2sint在上单调递减，在上单调递增， 且当t＝－时，y＝－， 当t＝－时，y＝－2， 当t＝时，y＝， 所以m的取值范围为(－2，－]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$