5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.6.1　匀速圆周运动的数学模型 5.6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数变化对函数图象的影响． 教学重点：1.能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 教学难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的综合变换． 核心素养：通过函数图象的变换，培养直观想象素养． 知识点一　参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 知识点二　由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． [提醒]　(1)两种变换中平移的长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的． (2)平移的长度是对于自变量“x”而言的． 1．(平移变换求解析式)将函数y＝cosx的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是(　　) A．y＝cos B．y＝cos C．y＝cosx－ D．y＝cosx＋ 答案：A 2．(伸缩变换的过程)为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需将函数y＝sin，x∈R的图象上的所有点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：A 3．(伸缩变换求解析式)将函数y＝cosx图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得图象的解析式为________． 答案：y＝cos4x 4．(平移变换求平移长度)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________． 答案： 题型一　三角函数图象的平移变换 　(1)将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sinx B．y＝－sinx C．y＝cosx D．y＝－cosx [解析]　将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到y＝sin(x－π)＝－sinx的图象．故选B. [答案]　B (2)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 [解析]　函数y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，所以只需将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝cos的图象．故选B. [答案]　B 【感悟提升】三角函数图象的平移变换 (1)左右平移 ①观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数； ②观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的方向和长度； ③方向遵循“左加右减”的规律，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． (2)上下平移 平移规律为“上加下减”，即：若将函数y＝sinx的图象沿y轴向上(下)平移k(k>0)个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sinx＋k(y＝sinx－k)． 【跟踪训练】 1．(1)要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：A 解析：因为y＝cos＝cos＝sin＝sin，所以要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos＝sin的图象向右平移个单位长度． (2)将函数y＝5＋sin2x的图象向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式的最大值为________，最小值为________． 答案：3　1 解析：将函数y＝5＋sin2x的图象向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝2＋sin2x，故最大值为3，最小值为1. 题型二　三角函数图象的伸缩变换 　(1)将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝3sin2x B．y＝2sin3x C．y＝3sinx D．y＝sinx [解析]　将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sinx的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sinx的图象．故选C. [答案]　C (2)将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，所得到的函数图象的解析式为________． [解析]　将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，所得到的函数图象的解析式为y＝sin2x. [答案]　y＝sin2x 【感悟提升】三角函数图象的伸缩变换 (1)横向伸缩 已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝sinωx. (2)纵向伸缩 已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝Asinx. 【跟踪训练】 2．(1)将函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝cos2x C．y＝sin D．y＝sin 答案：A 解析：将函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为y＝sin. (2)将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为________． 答案：y＝sinx 解析：将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，再沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sinx的图象． 题型三　三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 　将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标伸长到原来的2倍，再沿x轴向左平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)用“五点法”画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象． [解]　(1)将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y＝3sinx＋3的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝3sin＋3的图象，最后沿x轴向左平移个单位长度得到函数y＝3sin＋3的图象，即函数y＝f(x)的解析式为y＝f(x)＝3sin＋3. (2)列表： ＋ 0 π 2π x － y＝f(x) 3 6 3 0 3 描点，画出图象如图． 【感悟提升】 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表； ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑的曲线连接这些点，形成图象． 【跟踪训练】 3．作出函数y＝3sin在一个周期内的图象，并说明它与y＝sinx的图象之间的关系． 解：列表： 2x＋ 0 π 2π x － 3sin 0 3 0 －3 0 描点、画图，如图： 从图可以看出，y＝3sin的图象是用下面方法得到的． 解法一： y＝sinx的图象y＝sin的图象 y＝sin的图象y＝3sin的图象． 解法二： y＝sinx的图象y＝sin2x的图象y＝sin＝sin的图象y＝3sin的图象． 1．要得到函数y＝3sin的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：C 解析：由y＝3sin[2(x＋φ)]＝3sin，得2φ＝，φ＝.故向左平移个单位长度． 2．将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：C 解析：将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为y＝sin.故选C. 3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图1所示，则图2的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝f B.y＝f(2x＋1) C．y＝f D.y＝f 答案：B 解析：观察图象可知，题图2的图象是由题图1的图象向左平移1个单位长度后得y＝f(x＋1)的图象，再把y＝f(x＋1)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到的，所以题图2的图象对应的函数解析式为y＝f(2x＋1)．故选B. 4．将函数y＝sin图象上所有点的纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的__________倍，横坐标保持不变，得到函数y＝3sin的图象． 答案：伸长　3 解析：由三角函数图象的伸缩规律可知，将函数y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标保持不变，得到函数y＝3sin的图象． 5．利用“五点法”作函数y＝2sin的图象时，所取的五个点的坐标为________． 答案：，，，， 解析：令3x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是，，，，. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 由三角函数图象伸缩变换求参数值 三角函数图象的平移变换 由三角函数图象平移、伸缩变换判断函数图象 三角函数图象的平移、伸缩变换求函数值 三角函数图象的平移、伸缩变换求参数值 三角恒等变换与三角函数图象平移变换的综合 由三角函数图象的平移变换求函数解析式 三角函数图象平移变换求参数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 三角函数图象的平移、伸缩变换的途径 “五点法”作图与三角函数图象变换的综合 三角函数图象平移变换中的新定义问题 三角函数图象的平移变换与直线交点问题的综合 辅助角公式；三角函数图象的平移、伸缩变换的途径 由三角函数图象平移、伸缩变换求参数最值 “五点法”作图与三角函数图象变换的综合 1．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为(　　) A．2 B. C．4 D. 答案：B 解析：由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝. 2．要得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：A 解析：y＝cos＝sin＝sin＝sin，所以要得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度． 3．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　) 答案：A 解析：把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cosx＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象．故选A. 4．(2024·湖南岳阳高一上期末教学质量监测)将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f＝(　　) A. B．0 C. D．1 答案：B 解析：函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为y＝sin，再向右平移个单位长度得到图象的解析式为y＝sin＝sin2x，即f(x)＝sin2x，则f＝sinπ＝0.故选B. 5．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 答案：B 解析：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin的图象，即y＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－. 6．(多选)为了得到函数y＝2sin2x的图象，下列变换正确的是(　　) A．将函数y＝(sinx＋cosx)2的图象向右平移个单位长度 B．将函数y＝1－cos2x的图象向左平移个单位长度 C．将函数y＝2sin2的图象向右平移个单位长度 D．将函数y＝2sin2的图象向左平移个单位长度 答案：AC 解析：将函数y＝(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝1＋sin＝1＋sin＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故A正确；将函数y＝1－cos2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝1－cos＝1＋sin2x的图象，故B错误；将函数y＝2sin2＝1－cos的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝1－cos＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故C正确，D错误．故选AC. 7．将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________． 答案：y＝－cos2x－3 解析：将y＝cos的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos2x的图象，再向下平移3个单位长度得到y＝－cos2x－3的图象． 8．若将函数f(x)＝sin(0<ω<7)的图象向右平移个单位长度后恰与f(x)的图象重合，则ω的值是________． 答案：6 解析：函数f(x)＝sin(0<ω<7)的图象向右平移个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象恰与f(x)的图象重合，故＝2kπ(k∈Z)，解得ω＝6k(k∈Z)，由于0<ω<7，所以ω＝6. 9．将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin＋1的图象？ 解：解法一(先伸缩法)：①将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝2sin＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝2sin＋1的图象． 解法二(先平移法)：①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象；③将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝2sin＋1的图象． 10．已知f(x)＝sin，画出f(x)在区间上的图象． 解：∵x∈，∴2x－∈. 列表如下： 2x－ － －π － 0 x － － － f(x) 1 0 － 0 1 描点、连线，得f(x)在区间上的图象如图所示． 11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数： ①f(x)＝sinx；②f(x)＝sinx－cosx；③f(x)＝2cos；④f(x)＝sinx－2cos2. 其中是“互为生成”函数的是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 答案：D 解析：∵①f(x)＝sinx；②f(x)＝sinx－cosx＝sin；③f(x)＝2cos＝2sin＝2sin；④f(x)＝sinx－2cos2＝sinx－2×＝2sin－1，故把③中的函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得④中的函数f(x)＝2sin－1的图象，故③④为“互为生成”函数． 12．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos＝cos＝－sin2x的图象，所以f(x)＝－sin2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，作出y＝f(x)与直线y＝x－的部分图象如图，所以由图可知，y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3.故选C. 13．(多选)如果由函数y＝sinx＋cosx的图象变换得到函数y＝cos2x－sin2x的图象，那么下列变换正确的是(　　) A．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半 C．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变 D．将横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 答案：CD 解析：函数y＝sinx＋cosx＝2sin，函数y＝cos2x－sin2x＝2sin.将函数y＝2sin图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故A错误；将函数y＝2sin图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y＝2sin的图象，故B错误；将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到函数y＝2sin的图象，故C正确；将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到函数y＝2sin的图象，再向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin＝2sin的图象，故D正确．故选CD. 14．(2024·重庆南开中学高一上月考)把函数f(x)＝2cos的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)＝2sin的图象，则m的最小值是________． 答案： 解析：把函数f(x)＝2cos的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)＝2cos＝2cos的图象，又g(x)＝2sin＝2cos＝2cos＝2cos，所以2m－＝－＋2kπ，k∈Z，得m＝－＋kπ，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m最小，此时m＝π－＝. 15．已知函数f(x)＝3sin，x∈R. (1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图； (2)先把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式． 解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图． x－ 0 π 2π x f(x) 0 3 0 －3 0 (2)把f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sin＝3sinx的图象．把f1(x)＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sinx的图象．把f2(x)＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)得到g(x)＝sinx的图象．所以g(x)＝sinx. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$