5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　简单的三角恒等变换(二) (教师独具内容) 课程标准：1.能利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题和生活中的实际问题． 教学重点：辅助角公式的推导及应用． 教学难点：从实际问题中抽象出三角函数模型，并利用三角恒等变换进行解决． 核心素养：借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养和数学建模素养． 知识点　　辅助角公式 y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ). [点拨]　(1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)y＝asinx＋bcosx＝cos(x－θ)也是常用的化简形式． [想一想]　辅助角公式是怎么推导出来的？ 提示：推导过程：asinx＋bcosx ＝. 令cosφ＝，sinφ＝， 则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ) ＝sin(x＋φ)， 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定或由sinφ＝和cosφ＝共同确定． 1．(利用辅助角公式化简)cosα－sinα的化简结果是(　　) A.sin B.cos C.sin D.cos 答案：D 2．(利用辅助角公式求值)已知sin63°≈0.891，则(cos72°＋cos18°)的近似值为(　　) A．1.773 B．1.782 C．1.796 D．1.815 答案：B 3．(利用辅助角公式求三角函数的最值)函数f(x)＝5cosx＋12sinx的最小值为________． 答案：－13 题型一　辅助角公式的应用 　把下列各式化为Asin(ωx＋φ)(A>0)的形式： (1)(sinx－cosx)； (2)sin＋cos； (3)3sinx＋3cosx. [解]　(1)(sinx－cosx)＝·＝2＝2sin. (2)sin＋cos ＝ ＝sin＝sin. (3)3sinx＋3cosx ＝6 ＝6sin. 【感悟提升】将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的步骤 (1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开； (2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·北京交大附中高一上月考)函数y＝sinxcosx＋cos2x－的最小正周期是________． 答案：π 解析：y＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋＝sin，则T＝＝π. (2)(2024·云南大理高一上期末)已知α＋β＝，求sinα＋cosβ的最大值． 解：sinα＋cosβ＝sin＋cosβ＝sincosβ－cossinβ＋cosβ＝cosβ－sinβ＋cosβ＝cosβ－sinβ＝cos(β＋θ)，其中tanθ＝，故sinα＋cosβ的最大值为，此时tanβ＝tan(2kπ－θ)＝－tanθ＝－(k∈Z)． 题型二　三角恒等变换的实际应用 　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最大？ [解]　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l， 则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα， ∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα ＝R(sinα＋cosα)＋R＝Rsin＋R. ∵0<α<，∴<α＋<， ∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R， 此时，α＋＝，即α＝， 故当∠AOB＝时，△OAB的周长最大． 【感悟提升】利用三角恒等变换解实际问题的方法及注意点 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． (2)在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系；②注意实际问题中变量的范围；③重视三角函数有界性的影响． 【跟踪训练】 2.(2024·福建泉州五校联考高一上期末)如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，点A在上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式； (2)当θ为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． 解：(1)因为AB⊥OP，所以在Rt△ABO中，AB＝OAsinθ＝2sinθ，OB＝OAcosθ＝2cosθ， S△ABO＝OB·AB＝2sinθcosθ＝sin2θ. 因为AC⊥OQ，∠POQ＝， 所以∠AOC＝－θ， 同理，得S△ACO＝2sincos ＝sin. 从而得S关于θ的函数关系式为S＝S△ABO＋S△ACO＝sin2θ＋sin. (2)S＝sin2θ＋sin ＝sin2θ＋sincos2θ－cos·sin2θ ＝sin2θ＋cos2θ＝sin， 因为0<θ<，所以<2θ＋<. 故当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值，为. 题型三　三角恒等变换与三角函数性质的综合 　(2024·安徽芜湖第一中学高一上期末)已知函数f(x)＝coscos，g(x)＝sin2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的取值集合． [解]　(1)f(x)＝＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 令2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)． (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos， 当2x＋＝2mπ(m∈Z)时，h(x)有最大值，此时x的取值集合为. 【感悟提升】三角恒等变换与三角函数综合问题的求解策略 (1)充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，最终化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式． (2)将ωx＋φ视作一个整体，借助三角函数的性质，利用整体代换的思想求解． 【跟踪训练】 3．(2024·陕西咸阳实验中学高一上月考)已知函数f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω>0)． (1)当ω＝1时，求f的值； (2)若函数f为偶函数，求cosφ的值； (3)若f(x)的图象的两条对称轴间的最小距离小于3π，且函数f(x)在区间上单调递增，求ω的取值范围． 解：(1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1 ＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin. 当ω＝1时，f(x)＝2sin. ∴f＝2sin＝. (2)由(1)知f(x)＝2sin， ∴f＝2sin， ∵函数f为偶函数，∴φ－＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝kπ＋，k∈Z，∴cosφ＝±. (3)∵f(x)的图象的两条对称轴间的最小距离小于3π， ∴f(x)的最小正周期T<6π，即<6π， 又ω>0，∴ω>， 函数y＝2ωx－单调递增． ∴当－<x<时，－－<2ωx－<ωπ－. 又ω>，∴ωπ－>0，∴－－<0<ωπ－，故需使 解得ω≤.∴ω的取值范围为. 1．(2024·安徽合肥八中高一上月考)cosα＋sinα化简为(　　) A．2sin B．2sin C.sin D.sin 答案：B 解析：依题意，原式＝2＝2＝2sin＝2sin.故选B. 2．(2024·上海南洋模范中学高一下开学考试)已知5cosα－3sinα＝Acos(α＋φ)，则(　　) A．A＝4，tanφ＝－ B．A＝，tanφ＝－ C．A＝，tanφ＝ D．A＝4，tanφ＝ 答案：C 解析：5cosα－3sinα＝，所以cosφ＝，sinφ＝，A＝，tanφ＝.故选C. 3．(多选)以下函数在区间上单调递增的是(　　) A．y＝sinx＋cosx B．y＝sinx－cosx C．y＝sinxcosx D．y＝ 答案：BD 解析：对于A，y＝sinx＋cosx＝sin，当x∈时，x＋∈，所以函数在区间上不单调；对于B，y＝sinx－cosx＝sin，当x∈时，x－∈，所以函数在区间上单调递增；对于C，y＝sinxcosx＝sin2x，当x∈时，2x∈(0，π)，所以函数在区间上不单调；对于D，当x∈时，y＝＝tanx，所以函数在区间上单调递增． 4．函数y＝sin2x＋cos2x的最大值为________． 答案： 解析：∵y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴函数的最大值为. 5．(2024·重庆八中高一上月考)在如图所示的矩形ABCD中，点E，P分别在边AB，BC上，以PE为折痕将△PEB翻折为△PEB′，点B′恰好落在边AD上，若sin∠EPB＝，AB＝2，则折痕PE＝________． 答案： 解析：根据题意，设BE＝m，根据sin∠EPB＝，得到PE＝3m，同时可得cos∠PEB＝，从而得到cos∠B′EA＝－cos(2∠PEB)＝1－2cos2∠PEB＝，根据翻折的问题，可得B′E＝BE＝m，AE＝2－m，在Rt△AEB′中，有cos∠B′EA＝＝＝，解得m＝，所以折痕PE＝3m＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 利用辅助角公式化简三角函数式 利用两角差的余弦公式、辅助角公式求值 三角恒等变换与三角函数值域的综合 辅助角公式；由三角函数图象的对称轴求参数 利用辅助角公式，结合三角函数的值域判断三角形形状 辅助角公式；三角函数的性质 对辅助角公式的理解 辅助角公式；三角函数的最值；两角差的余弦公式 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 三角恒等变换与三角函数的奇偶性、值域的综合 三角恒等变换与单位圆的综合应用 利用三角恒等变换求值 三角恒等变换与不等式恒成立问题的综合 三角恒等变换与三角函数性质的综合 三角恒等变换在几何中的应用 三角恒等变换的实际应用 1．(2024·河北唐山高一上期末)若函数f(x)＝cosx－sinx，则f(x)可以化简为(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos 答案：C 解析：f(x)＝cosx－sinx＝2＝2cos，C正确；其他选项不满足要求．故选C. 2．已知sin＝，则cosx＋cos的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝sin＝.故选B. 3．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　) A．[－2，2] B．[－，] C．[－1，1] D. 答案：B 解析：f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]．故选B. 4．(2024·福建福州一中高一上第二学段考试)函数f(x)＝sinx－acosx(x∈R)图象的一条对称轴方程是x＝－，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．±1 答案：A 解析：函数f(x)＝sin(x＋φ)的最大值为，因为函数f(x)图象的一条对称轴方程是x＝－，所以＝＝，解得a＝1.故选A. 5．(2024·湖北黄冈外国语学校高一下期中)若角A为△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案：B 解析：∵角A为△ABC的一个内角，sinA＋cosA＝sin，∴当A∈时，A＋∈，sin∈[1，]；当A∈时，A＋∈，sin∈(－1，1)．∵sinA＋cosA＝，∴A是钝角，∴△ABC是钝角三角形．故选B. 6．(多选)关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，下列命题为真命题的是(　　) A．函数f(x)的最大值为1 B．函数f(x)的最小正周期为π C．f＝f D．函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z 答案：BCD 解析：∵f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，∴f(x)的最大值为，故A为假命题；函数f(x)的最小正周期为＝π，故B为真命题；f＝sin＝1，f＝sin＝1，即f＝f，故C为真命题；令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故D为真命题．故选BCD. 7．(2024·上海进才中学高一下3月月考)若3sinx－4cosx＝5sin(x＋θ)，则tanθ＝________． 答案：－ 解析：3sinx－4cosx＝5＝5(sinxcosθ＋cosxsinθ)，则cosθ＝，sinθ＝－，∴tanθ＝－. 8．(2024·吉林东北师大附中高一下阶段验收考试)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－3cosx取得最大值，则cos＝________． 答案：－ 解析：依题意，函数f(x)＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)max＝，因此θ＝φ＋＋2kπ，k∈Z，所以cos＝cos＝(cosφ－sinφ)＝＝－. 9．设函数f(x)＝sinx，x∈R. (1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y＝＋的值域． 解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数， 所以θ＝＋kπ，k∈Z. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝. (2)y＝＋ ＝sin2＋sin2 ＝＋ ＝1－ ＝1－cos. 因此所求函数的值域是. 10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈. (1)若sinα＝，求cos∠POQ； (2)求△OPQ面积的最大值． 解：(1)由题意知∠QOM＝， 因为sinα＝，且α∈， 所以cosα＝， 所以cos∠POQ＝cos＝coscosα＋sinsinα＝. (2)由三角函数的定义，得P(cosα，sinα)， 从而Q(cosα，cosα)， 所以S△OPQ＝|cosα||cosα－sinα| ＝|cos2α－sinαcosα| ＝ ＝ ≤＝＋. 因为α∈，所以当α＝－时，等号成立， 所以△OPQ面积的最大值为＋. 11．(2024·江苏新海高级中学高一下学情检测)若cos20°(tan50°－1)＝a，则a＝(　　) A. B．1 C. D．2 答案：B 解析：由cos20°(tan50°－1)＝cos20°·＝cos20°·＝＝＝1，故a＝1.故选B. 12．已知tan2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：A 解析：由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，所以α∈，tanα＝－3，sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－. 13．(多选)(2024·浙江金华十校高一上期末)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π，则(　　) A．ω＝2 B．函数f(x)在上为增函数 C.是f(x)图象的一个对称中心 D．函数f是偶函数 答案：BD 解析：f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin，又f(x)的最小正周期为π，故＝π，则ω＝1，故A错误；f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；f＝2sin＝－2≠0，故不是f(x)图象的一个对称中心，故C错误；f＝2sin＝2cos2x为偶函数，故D正确．故选BD. 14．(2024·北京第一六六中学高一下3月月考)设AB是单位圆的一条直径，△ABC的顶点C在该单位圆上，延长CB到D(B在线段CD)，使得CD＝CB，则CD＋CA的最大值为________． 答案：4 解析：∵AB是单位圆的一条直径，△ABC的顶点C在该单位圆上，∴CA⊥CB，∴CA2＋CB2＝4，∵CA∈(0，2)，CB∈(0，2)，故可设CA＝2sinα，CB＝2cosα，其中α∈，则CD＋CA＝CB＋CA＝2cosα＋2sinα＝4sin，∵α∈，∴α＋∈，∴sin∈，∴CD＋CA∈(2，4]，∴CD＋CA的最大值为4. 15.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数； (2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取≈1.414) 解：(1)由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD. 设OM与BC的交点为F， 则BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ， 所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ， 所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ) ＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ) ＝R2(sin2θ－1＋cos2θ) ＝R2sin－R2，θ∈. (2)因为θ∈，所以2θ＋∈， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，S取最大值． Smax＝(－1)R2＝(－1)×452≈0.414×2025＝838.35(m2)． 故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积约为838.35 m2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$