5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) (教师独具内容) 课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式． 教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及进行三角恒等式的证明． 教学难点：三角恒等变换的特点、变换技巧． 核心素养：通过对公式的推导及简单应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　半角公式 [提醒]　公式中的正负号不能直接去掉，要根据所在范围选用符号． 知识点二　积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sincos. sinα－sinβ＝2cossin. cosα＋cosβ＝2coscos. cosα－cosβ＝－2sinsin. 1．(半角的正弦公式)已知180°<α<360°，则sin的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 2．(半角的余弦公式)设3π<α<4π，cos＝m，那么cos＝(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：B 3．(半角的正切公式)已知tan＝2，则cosθ＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 题型一　利用半角公式解决求值问题 　已知|cosθ|＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan的值． [解]　∵|cosθ|＝，<θ<3π， ∴cosθ＝－，<<. ∴sin＝－＝－， cos＝－＝－， ∴tan＝＝2. [条件探究]　若条件变为“θ为第二象限角，tanθ＝－，且sin<cos”，如何求解？ 解：∵θ为第二象限角，且sin<cos， ∴为第三象限角，故cos<0. ∵tanθ＝－，∴cosθ＝－. ∴sin＝－＝－， cos＝－＝－， tan＝2. 【感悟提升】利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 【跟踪训练】 1．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝. (1)求cos的值； (2)求tan的值． 解：(1)因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝， 所以cosα＝－，cosβ＝， 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝. 因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π， 即0<<， 所以cos＝＝ ＝. (2)解法一：由(1)可知，0<<， 所以sin＝＝， 所以tan＝＝. 解法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝， 得sin(α－β)＝＝， 所以tan＝＝＝. 题型二　积化和差、和差化积公式的应用 　求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值． [解]　解法一：sin220°＋cos250°＋sin20°cos50° ＝(1－cos40°)＋(1＋cos100°)＋[sin70°＋sin(－30°)] ＝＋(cos100°－cos40°＋sin70°) ＝＋(－2sin70°sin30°＋sin70°) ＝＋(－sin70°＋sin70°) ＝. 解法二：sin220°＋cos250°＋sin20°cos50° ＝(1－cos40°)＋cos50°(cos50°＋sin20°) ＝(1－cos40°)＋cos50°(sin40°＋sin20°) ＝(1－cos40°)＋cos50°·2sin30°cos10° ＝(1－cos40°)＋cos50°cos10° ＝(1－cos40°)＋(cos60°＋cos40°) ＝. 【感悟提升】利用积化和差及和差化积公式进行转化求值的注意点 (1)积化和差时，可以是同名函数的乘积，也可以是异名函数的乘积，而和差化积时，必须是同名函数的和差． (2)和差化积时，两函数值的系数绝对值相同，注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧． 【跟踪训练】 2．已知sinA＋sin3A＋sin5A＝a，cosA＋cos3A＋cos5A＝b.求证：(2cos2A＋1)2＝a2＋b2. 证明：由题意知(sinA＋sin5A)＋sin3A＝2sin3Acos2A＋sin3A＝a， (cosA＋cos5A)＋cos3A＝2cos3Acos2A＋cos3A＝b， ∴sin3A(2cos2A＋1)＝a，① cos3A(2cos2A＋1)＝b.② ①2＋②2，得(2cos2A＋1)2＝a2＋b2. 题型三　三角函数式的化简与证明问题 　已知π<α<，化简： ＋. [解]　原式＝＋ . ∵π<α<，∴<<， ∴cos<0，sin>0， ∴原式＝＋ ＝－＋ ＝－cos. 【感悟提升】化简与证明问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 【跟踪训练】 3．求证： ＝. 证明：左边＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 1．已知cosθ＝且θ∈(0，π)，则cos＝(　　) A. B．－ C．± D．－ 答案：A 解析：∵cosθ＝，且θ∈(0，π)，∴∈，∴cos>0，∴cos＝＝＝. 2．(2024·辽宁沈阳郊联体高一上期末)设π<θ<2π，cosθ＝－，则sin＝(　　) A. B．－ C. D．± 答案：A 解析：由π<θ<2π，得<<π，则sin>0，所以sin＝＝＝.故选A. 3．已知<θ<，且sin2θ＝－，则tanθ＝(　　) A．3 B．－ C．－3或－ D．－3 答案：D 解析：∵<θ<，∴π<2θ<，∴cos2θ＝－＝－，∴tanθ＝＝＝－3. 4．(2024·上海第十中学高一上期末)已知sinα＋cosα＝，0<α<π，则cos＝________． 答案： 解析：sinα＋cosα＝　①，两边平方得1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－<0，因为0<α<π，所以sinα>0，cosα<0，所以sinα－cosα＝＝＝　②，①②两式联立，得sinα＝，cosα＝－，所以cos＝＝. 5．(2024·山东青岛二中高一下月考)若α是第三象限角，且sin(α－β)cosβ＋sinβcos(α－β)＝－，则tan＝________． 答案：－5 解析：由sin(α－β)cosβ＋sinβcos(α－β)＝－，可得sinα＝－，因为α是第三象限角，所以cosα＝－，所以tan＝＝－5. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 利用半角余弦公式化简三角函数式 半角正弦公式的应用 求三角函数值；半角正切公式的应用 利用半角余弦公式、两角差的余弦公式判断三角形形状 利用半角正弦公式、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性比较大小 利用二倍角公式、半角公式化简三角函数式 半角正弦公式、二倍角的余弦公式化简求值 积化和差公式的应用；余弦型函数求值域 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用和差化积公式化简三角函数式 三角恒等式的证明 诱导公式的应用；半角余弦公式的应用 诱导公式的应用；半角正切公式的应用；两角差的正切公式的应用 同角三角函数的基本关系的应用；两角差的余弦公式的应用；积化和差公式的应用 同角三角函数的基本关系的应用；两角和公式的应用；半角公式的应用 同角三角函数的基本关系；半角正弦及余弦公式的应用 1．若π<α<2π，则化简的结果是(　　) A．sin B．cos C．－cos D．－sin 答案：C 解析：∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，原式＝＝＝－cos.故选C. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝.故选D. 3．已知角α是第二象限角，且终边经过点(－3，4)，则tan＝(　　) A．3 B. C．2 D.或2 答案：C 解析：∵角α是第二象限角，且终边经过点(－3，4)，∴sinα＝，cosα＝－，∴tan＝＝＝＝＝2.故选C. 4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 答案：B 解析：∵sinAsinB＝(1＋cosC)，即2sinAsinB＝1＋cosC，∴2sinAsinB＝1－cosAcosB＋sinAsinB，故得cos(A－B)＝1，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形． 5．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 答案：C 解析：a＝cos6°－sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝2sin13°cos13°＝sin26°，c＝＝sin25°，又函数y＝sinx，x∈是增函数，所以a<c<b.故选C. 6．(多选)下列各式与tanα相等的是(　　) A. B. C.·(α∈(0，π)) D. 答案：CD 解析： ＝＝＝|tanα|，A不符合题意；＝＝tan，B不符合题意；因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tanα，C符合题意；＝＝tanα，D符合题意． 7．(2024·浙江杭州学军中学高一上月考)在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A＝________． 答案：－ 解析：sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－. 8．已知α，β为锐角，且α－β＝，那么sinαsinβ的取值范围是________． 答案： 解析：∵α－β＝，∴sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝－＝－.∵α，β为锐角，∴0<β<，∴<2β＋<，∴－<cos<，∴0<－<.故sinαsinβ的取值范围是. 9．化简：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝. 10．求证：tan－tan＝. 证明：证法一(由左推右)： tan－tan＝－ ＝ ＝＝ ＝ ＝. 所以原等式成立． 证法二(由右推左)： ＝ ＝ ＝－ ＝tan－tan. 所以原等式成立． 11．(2024·重庆八中高一上期末)若tan(π＋α)＝－，α是第二象限角，则＝(　　) A. B．3 C．5 D. 答案：C 解析：因为tan(π＋α)＝tanα＝－，α是第二象限角，所以cosα＝－，所以＝＝＝＝5.故选C. 12．(多选)设sin2x＝a，cos2x＝b，0<x<，下列各式等于tan的是(　　) A．－ B. C. D. 答案：ACD 解析：tan＝＝＝，A正确；tan＝＝＝＝，C正确；tanx＝＝，所以tan＝＝＝，D正确．故选ACD. 13．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos2α＝－，其中α，β为锐角，下列判断正确的是(　　) A．sin2α＝ B.cos(α－β)＝ C．cosαcosβ＝ D.tanαtanβ＝ 答案：AC 解析：因为cos(α＋β)＝－，cos2α＝－，其中α，β为锐角，所以sin(α＋β)＝，sin2α＝＝，故A正确；cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝，故B错误；cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×＝，故C正确；sinαsinβ＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×＝，所以tanαtanβ＝，故D错误．故选AC. 14．(2024·山东济宁育才中学高一上期末)已知α为第二象限角，且＝，则tan＝________，sin＝________． 答案：－3　 解析：∵α为第二象限角，且＝，∴tanα＝－＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝－，cos＝cosαcos－sinαsin＝－，∴tan＝＝＝－3.∵sin＝＝＝，cos＝＝＝，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×－×＝. 15．已知<α<π，且cosα＋sinα·＝. (1)求sinα－cosα的值； (2)求的值． 解：(1)cosα＋sinα ＝cosα＋ sinα ＝cosα＋sinα， 由<α<π， 得原式＝sinα－1＋1＋cosα＝sinα＋cosα＝， 平方，得1＋2sinαcosα＝， 即2sinαcosα＝－， ∵<α<π， ∴sinα－cosα＝＝. (2) ＝ ＝＝2sinαcosα(cosα－sinα) ＝－×＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$