5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 (教师独具内容) 课程标准：1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明.3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用． 教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及应用． 教学难点：1.二倍角公式的常见变形.2.三角函数公式的综合应用． 核心素养：1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养和数学运算素养.2.借助三角函数公式的综合应用，提升数学运算素养． 知识点一　二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ [点拨]　(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (2)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z. 知识点二　二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α． (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2． [拓展]　用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 1．(二倍角的正弦、余弦公式)下列各式中，值为的是(　　) A．sin215°＋cos215° B．cos215°－sin215° C．2cos215° D．2sin15°cos15° 答案：D 2．(二倍角的余弦公式)已知sinx＝，则cos2x的值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 3．(二倍角的正切公式)若tanθ＝3，则tan2θ＝________． 答案：－ 题型一　给角求值 　求下列各式的值： (1)1－2sin275°；(2)cos415°－sin415°； (3)；(4)coscoscos. [解]　(1)1－2sin275°＝cos150°＝－cos30° ＝－. (2)cos415°－sin415° ＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°) ＝cos215°－sin215°＝cos30°＝. (3)＝2×＝2× ＝－2. (4)∵cos＝－cos，cos＝－cos， ∴coscoscos＝coscoscos ＝ ＝＝ ＝＝－. 【感悟提升】解决给角求值问题的方法 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余(补)关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 【跟踪训练】 1．求下列各式的值： (1)sincoscos； (2)2cos2－1； (3). 解：(1)原式＝cos ＝sincos＝ ＝sin＝. (2)原式＝cos＝cos＝cos＝. (3)原式＝＝tan30°＝. 题型二　给值求值(角) 　(1)已知cos＝，≤α<，求cos的值． [解]　∵≤α<，∴≤α＋<. ∵cos>0，∴<α＋<. ∴sin＝－ ＝－＝－. ∴cos2α＝sin ＝2sincos ＝2××＝－， sin2α＝－cos＝1－2cos2 ＝1－2×＝. ∴cos＝cos2α－sin2α ＝×＝－. (2)已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值． [解]　∵tanα＝<1，且α为锐角， ∴0<α<. 又sinβ＝<，且β为锐角，∴0<β<， ∴0<α＋2β<. 由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝， ∴tanβ＝， ∴tan2β＝＝＝， ∴tan(α＋2β)＝＝＝1， 故α＋2β＝. 【感悟提升】解决给值求值问题的方法 给值求值问题要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 【跟踪训练】 2．(2024·湖南岳阳高一上期末教学质量监测)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求tan2α的值； (2)求cos2α的值； (3)求α－β的值． 解：(1)tan2α＝＝. (2)因为α为锐角，且tanα＝， 所以sinα＝，cosα＝， 所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝. (3)由(2)知，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝， 因为α，β为锐角，cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， sin(α－β)＝sin[2α－(α＋β)] ＝sin2αcos(α＋β)－cos2αsin(α＋β) ＝×－×＝－， 又α，β为锐角，所以α－β∈，故α－β＝－. 题型三　化简与证明问题 　(1)化简：－. [解]　原式＝ ＝＝tan2θ. (2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B. [证明]　左边＝－ ＝ ＝(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B) ＝cos2Acos2B＝右边， 所以等式成立． 【感悟提升】 1．化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降低次． 2．证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 【跟踪训练】 3．(1)化简：. 解： ＝ ＝＝＝1. (2)设α≠kπ＋(k∈Z)，求证：tan＝. 证明：因为tan＝ ＝ ＝ ＝＝， 所以tan＝. 题型四　倍角公式的综合运用 　(1)在△ABC中，sinA＝，点D是AC边上一点，且满足AD＝BD，∠DBC＝，求sinC. [解]　因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠A， 所以A为锐角， 由sinA＝， 得cosA＝＝＝， 所以sin2A＝2sinAcosA＝2××＝， cos2A＝1－2sin2A＝1－2×＝－. 在△ABC中， 因为∠BDC＝A＋∠ABD＝2A， 所以C＝π－(∠BDC＋∠DBC) ＝π－， 所以sinC＝sin＝sin＝sin2Acos＋cos2Asin＝×－×＝. (2)设f(x)＝－.若锐角θ满足tan2θ＝，问：θ是否为方程f(x)＝1的解？ [解]　tan2θ＝＝， 即12tan2θ＋7tanθ－12＝0， 解得tanθ＝或－， ∵θ是锐角， 可得tanθ＝，即＝， 那么sinθ＝，cosθ＝. ∴f(θ)＝－＝1， 故锐角θ满足tan2θ＝时，θ是方程f(x)＝1的解． 【感悟提升】 (1)倍角公式与三角函数的综合应用，要注意公式的灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断． (2)三角形中的三角函数，注意题目中角的范围限制，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正． 【跟踪训练】 4．(1)已知tanα，是关于x的方程x2－2kx＋k2－3＝0的两个实根，且π<α<，求sin2α的值． 解：由题意，得 因为k2－3＝1且π<α<， 所以解得k＝2，所以tanα＋＝4， 则＋＝＝4，即sin2α＝. (2)在△ABC中，A为最小角，C为最大角，且cos(2A＋C)＝－，sinB＝，求cos[2(B＋C)]的值． 解：在△ABC中，cos(2A＋C)＝cos[A＋(π－B)]＝－cos(A－B)＝－，所以cos(A－B)＝，又A为最小角，C为最大角，所以－<A－B<0， 所以sin(A－B)＝－. 又sinB＝，B为锐角，所以cosB＝＝， 所以cosA＝cos[(A－B)＋B] ＝cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB ＝×－×＝， 所以cos[2(B＋C)]＝cos[2(π－A)]＝cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝. 1．(2024·河北邢台高一上期末)已知sin＝，则cosα＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：由题意得，cosα＝1－2sin2＝.故选D. 2．计算：＝(　　) A．－ B. C．－1 D．1 答案：B 解析：因为＝tan45°＝1，所以＝.故选B. 3．计算：－＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：C 解析：因为－＝＝＝＝4.故选C. 4．若＝4，则cosθ＝________． 答案：1 解析：因为＝4，所以9－(2cos2θ－1)＝4(cosθ＋1)，整理，得cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝1(cosθ＝－3舍去)． 5．(2024·福建同安第一中学高一上第二次月考)已知钝角α满足tan(π－2α)＝，则cos2α＋sin2α－1＝________． 答案：－1 解析：因为tan(π－2α)＝－tan2α＝，所以tan2α＝－，所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－，因为α为钝角，所以tanα＝－，所以cos2α＋sin2α－1＝cos2α＋2sinαcosα－sin2α－cos2α＝2sinαcosα－sin2α＝＝＝＝－1. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 求三角函数值；二倍角的正弦公式的应用 利用二倍角的正弦和余弦公式确定角的象限 利用二倍角的正、余弦公式求正切值 利用二倍角的正、余弦公式求余弦值 两角和与差的正弦公式的应用；二倍角的余弦公式的应用 两角和的正弦、正切公式的应用；二倍角的正、余弦公式的逆用 凑角求值——二倍角的余弦公式的应用 二倍角正弦及正切公式的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用二倍角公式证明三角恒等式 给值求值、求角——二倍角的正、余弦公式；两角差的正切公式 实际问题中二倍角的余弦公式的应用 二倍角的正切公式、两角和的正切公式在数学文化中的应用 二倍角的正、余弦公式；同角三角函数的基本关系 利用诱导公式、两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式判断三角形形状 二倍角的余弦公式的应用 1．角α的终边落在射线3x＋4y＝0(x>0)上，则sin2α＝(　　) A．－3 B．－ C．－ D．－ 答案：C 解析：在射线3x＋4y＝0(x>0)上任意取一点P(4，－3)，则有x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝5，sinα＝＝－，cosα＝＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.故选C. 2．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：∵sinα＝2sincos＝2××<0，cosα＝cos2－sin2＝－<0，∴α是第三象限角． 3．(2024·湖北襄阳六中高一上质检)若α∈，tan2α＝，则tanα＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：∵tan2α＝，∴tan2α＝＝＝，又α∈，∴sinα≠0，∴＝，解得cosα＝－，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝－.故选D. 4．已知θ∈(0，π)，2sin2θ＝cos2θ－1，则cosθ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：D 解析：∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，2sin2θ＝cos2θ－1，∴4sinθcosθ＝1－2sin2θ－1，∴2sinθcosθ＝－sin2θ，∴sinθ＝－2cosθ，∴cosθ<0，∴sin2θ＋cos2θ＝4cos2θ＋cos2θ＝5cos2θ＝1，∴cos2θ＝，∴cosθ＝－. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cosαsinβ＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：B 解析：因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，而cosαsinβ＝，因此sinαcosβ＝，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，所以cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 6．(多选)(2024·安徽A10联盟高一下开学考试)下列计算中正确的是(　　) A．sin105°cos75°＝ B．sin20°cos40°＋cos160°sin220°＝ C．1－2cos2＝－ D．tan＝2＋ 答案：BC 解析：sin105°cos75°＝sin75°cos75°＝×2sin75°cos75°＝sin150°＝，故A错误；sin20°cos40°＋cos160°sin220°＝sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin60°＝，故B正确；1－2cos2＝－cos＝－，故C正确；tan＝tan＝＝－2－，故D错误．故选BC. 7．已知sin＝－，则cos的值为________． 答案：－ 解析：由cos＝－cos＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－. 8．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________． 答案： 解析：因为sin2α＝－sinα，所以2sinαcosα＝－sinα，由α∈知sinα≠0，所以cosα＝－，所以α＝，所以sinα＝，tanα＝－，所以tan2α＝＝＝. 9．求证：(1)＝tan4A； (2)＝sin2α. 证明：(1)因为左边＝ ＝＝ ＝(tan2A)2＝tan4A ＝右边， 所以原式成立． (2)证法一：因为左边＝ ＝＝ ＝＝sincoscosα ＝sinαcosα＝sin2α＝右边， 所以原式成立． 证法二：因为左边＝ ＝cos2α·＝cos2αtanα ＝cosαsinα＝sin2α＝右边， 所以原式成立． 10．已知cosα＝，α∈. (1)求sin2α的值； (2)设角β的终边与单位圆的交点为P，β∈(0，π)，求2α－β的大小． 解：(1)因为α∈，cosα＝， 所以sinα＝＝. 所以sin2α＝2sinαcosα＝. (2)因为角β的终边与单位圆的交点为P， 所以cosβ＝. 因为β∈(0，π)，所以sinβ＝＝. 由(1)知sin2α＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝， 所以tan2α＝，tanβ＝. 则tan(2α－β)＝＝1， 由cosβ＝，得β∈. 由α∈，得2α∈(0，π)． 所以2α－β∈. 所以2α－β＝. 11.如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：由题意，知θ＝×＝，所以(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝sin2θ－cos2θ＝－cos2θ＝－cos＝－.故选B. 12.(多选)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为：今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，则下列结论正确的是(　　) A．水深为12尺 B．芦苇长为15尺 C．tan＝ D．tan＝－ 答案：ACD 解析：设BC＝x，则AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，即水深为12尺，故芦苇长为13尺，∴tanθ＝，由tanθ＝，解得tan＝(负值已舍去)．∵tanθ＝，∴tan＝＝－.故选ACD. 13．(2024·福建龙岩第一中学高一上第三次月考)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比：t＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝________． 答案： 解析：把t＝2sin18°代入，得原式＝＝＝＝. 14．(2024·江苏连云港杨集高级中学高一下3月月考)在△ABC中，若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则△ABC的形状为________． 答案：等腰三角形或直角三角形 解析：因为sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，由sinC＋sin(B－A)＝sin2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即sinAcosB＋cosAsinB＋sinBcosA－cosBsinA＝2sinAcosA，所以sinBcosA＝sinAcosA，所以cosA(sinA－sinB)＝0，所以cosA＝0或sinA＝sinB，因为0<A<π，0<B<π，所以A＝或A＝B，所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 15．已知x＋y＝3－cos4θ，x－y＝4sin2θ，求证：x＋y＝2. 证明：x＋y＝3－cos4θ，① x－y＝4sin2θ.② ①＋②，得2x＝3＋4sin2θ－cos4θ＝3＋4sin2θ－1＋2sin22θ＝2(1＋sin2θ)2， ∴x＝(1＋sin2θ)2. ①－②，得2y＝3－cos4θ－4sin2θ＝3－1＋2sin22θ－4sin2θ＝2(1－sin2θ)2， ∴y＝(1－sin2θ)2. ∴x＋y＝＋＝1＋sin2θ＋1－sin2θ＝2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$