5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (教师独具内容) 课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，并能灵活运用公式解决问题． 教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导和运用． 教学难点：熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的常见变形，并能灵活应用． 核心素养：1.借助公式的推导过程，提升逻辑推理素养.2.通过公式的灵活运用，培养数学运算素养． 知识点　两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差 的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和 的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和 的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) [点拨]　(1)两角和与差的余弦公式记忆口诀：“余余正正，符号相异”． (2)两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． (3)两角和与差的正切公式符号变化口诀：“分子同，分母反”． [拓展]　正切公式的变形应用 tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)tan(α＋β)； tanα－tanβ＝(1＋tanαtanβ)tan(α－β)； 1－tanαtanβ＝； 1＋tanαtanβ＝. 1．(两角和的余弦公式)cos37°cos23°－sin37°·sin23°的值为(　　) A．0 B. C. D．cos54° 答案：B 2．(两角和的正切公式)已知tanα＋tanβ＝3，tan(α＋β)＝6，则tanαtanβ＝(　　) A．2 B．1 C. D．4 答案：C 3．(两角差的正弦公式)若cosα＝－，且α是第二象限的角，则sin＝________． 答案： 4．(两角和的正弦公式)sin14°cos16°＋sin76°·cos74°的值为________． 答案： 题型一　化简求值 　化简求值： (1)cos20°cos25°－sin20°sin25°； (2)； (3)tan67°－tan22°－tan67°tan22°. [解]　(1)原式＝cos(20°＋25°) ＝cos45°＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝2－. (3)∵tan67°－tan22° ＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°) ＝tan45°(1＋tan67°tan22°) ＝1＋tan67°tan22°， ∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1. 【感悟提升】化简求值问题的解题策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着“先整体后局部”的基本原则，如果整体符合公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 【跟踪训练】 1．(1)sincos＋sin2＝________． 答案：1 解析：因为＝－，所以原式＝sincos＋sinsin＝sincos＋cossin＝sin＝sin＝1. (2)化简求值： ①；②cos－cos. 解：①原式＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－. ②原式＝－＝－2sinsinφ＝－2×sinφ＝－sinφ. 题型二　给值求值 　已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝. (1)求sin(α＋β)的值； (2)求cos(α－β)的值； (3)求tanα的值． [解]　(1)因为<α<，所以<＋α<π， 所以sin＝＝. 因为0<β<，所以<＋β<π， 所以cos＝－ ＝－， 因此sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin ＝－ ＝－＝. (2)由(1)可知，sin＝，cos＝－， 所以sin ＝sincos－cos·sin ＝×－×＝－. 又sin ＝sin＝－cos(α－β)， 从而cos(α－β)＝. (3)由(1)可得tan＝ ＝－， 于是tanα＝tan ＝＝＝7. 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法如下： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 【跟踪训练】 2．(1)已知锐角α，β满足cosα＝，sin(α－β)＝－，则sinβ的值为________． 答案： 解析：因为α，β是锐角，即0<α<，0<β<，所以－<α－β<.因为sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.因为cosα＝，所以sinα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝＋1，则sin(α＋β)＝________． 答案：－ 解析：解法一：由题意，得tan(α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，则＝－2，与sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1联立，解得sin(α＋β)＝－. 解法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα＝＝，cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ)＝4cosαcosβ ＝ ＝ ＝＝－. 题型三　给值求角 　已知sin＝，sin＝，且α－∈，β－∈，求的值． [解]　∵α－∈，β－∈， ∴0<<π，cos＝，cos＝. ∴cos＝cos ＝coscos－sinsin＝×－×＝， ∴＝. 【感悟提升】给值求角问题的解题策略 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定：当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值；当所求角的范围是或时，选取求正弦值． 【跟踪训练】 3．(2024·重庆江津第五中学高一上月考)已知sinα＝－，cosβ＝，且α∈，β∈，求α＋β的值． 解：因为α∈，β∈， 且sinα＝－，cosβ＝， 所以cosα＝，sinβ＝， 因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－×＋×＝， 又因为α∈，β∈， 所以α＋β∈，故α＋β＝. 1．sin66°cos36°－sin24°cos54°＝(　　) A．cos12° B．sin12° C. D．－ 答案：C 解析：sin66°cos36°－sin24°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°·sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝. 2．(2024·辽宁大连理工大学附属中学高一上月考)已知θ∈，cosθ＝－，则tan＝(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案：A 解析：由θ为第三象限角，cosθ＝－，得sinθ＝－，tanθ＝2，tan＝＝.故选A. 3．(多选)已知不等式x2＋16x＋2<0的解集为(tanα，tanβ)，则(　　) A．tanα＋tanβ＝16 B．tanαtanβ＝2 C．tan(α＋β)＝16 D.＝－8 答案：BCD 解析：由题意，得故A错误，B正确；由于tan(α＋β)＝＝16，故C正确；又＝＝＝＝－8，故D正确．故选BCD. 4．若α是锐角，且满足sin＝，则sinα－cosα＝________，cosα＝________． 答案：　 解析：因为sin＝sinαcos－cosαsin＝(sinα－cosα)＝，所以sinα－cosα＝.又因为α是锐角，sin＝>0，所以α－为锐角，所以cos＝＝，所以cosα＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝. 5．已知α，β都是锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ＝________． 答案： 解析：∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．∵cos(α＋β)＝>0，sinα＝，∴sin(α＋β)＝ ＝，cosα＝＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 三角函数式的化简——两角和与差的正弦公式 给值求值——两角和的余弦公式 凑角求值——两角差的正切公式 给值求值——两角和与差的余弦公式 凑角求角——两角差的正弦公式 三角形中两角和的正切公式的正用和逆用 已知终边上的点求三角函数值；两角差的正弦公式；两角和的余弦公式 给值求值——两角差的正弦公式的逆用；两角和的正弦公式 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 凑角求值——两角差的余弦公式；两角和的正弦公式 一元二次方程与两角和与差公式的综合应用 利用诱导公式、两角和与差的正弦公式判断三角形形状 给式求角——两角差的正弦公式的逆用 凑角求值——两角和的余弦公式 逆用两角和的正切公式判断三角形形状 两角和的余弦公式；同角三角函数的基本关系；基本不等式；两角和的正切公式 1．化简sin＋sin＝(　　) A．－sinx B．sinx C．－cosx D．cosx 答案：B 解析：sin＋sin＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＝sinx. 2．(2024·江苏镇江中学高一上月考)已知点P(x，2)是角α终边上一点，且cosα＝－，则cos＝(　　) A．－ B. C. D. 答案：A 解析：由题意可得cosα＝＝－，解得x＝－1，所以点P在第二象限，所以sinα＝，所以cos＝coscosα－sinsinα＝－.故选A. 3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：tan＝tan＝＝＝. 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C. D．3m 答案：A 解析：因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，又tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.故选A. 5．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵0<β<α<，∴0<α－β<，由cosα＝，得sinα＝.由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，∴β＝. 6．(多选)已知在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则下列各式正确的是(　　) A．tanAtanB＝ B．tan(A＋B)＝－ C．tanA＝tanB D．cosB＝sinA 答案：ACD 解析：∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，故B错误；∵tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)＝，∴tanAtanB＝　①，故A正确；又tanA＋tanB＝　②，由①②联立解得tanA＝tanB＝，故C正确；由以上易知，A＝B＝30°，∴cosB＝sinA，故D正确．故选ACD. 7．(2024·辽宁朝阳建平实验中学高一上月考)若点P(－3，4)在角α的终边上，点Q(－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________． 答案：－　 解析：因为点P(－3，4)在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝－.又因为点Q(－1，－2)在角β的终边上，所以sinβ＝－，cosβ＝－，则sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝. 8．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝________． 答案：－ 解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－，又β是第三象限角，∴cosβ＝－＝－， ∴sin＝sinβcos＋cosβsin＝×＋×＝－. 9．(2024·山东德州第二中学高一下3月质量检测)已知sinα＝，sin(α＋β)＝，0<β<，<α<π. (1)求cos； (2)求sin(2α＋β)． 解：(1)因为sinα＝，<α<π， 则cosα＝－＝－， 所以cos＝cosαcos＋sinαsin ＝－×＋×＝. (2)因为0<β<，<α<π， 所以<α＋β<， 又sin(α＋β)＝， 所以cos(α＋β)＝－＝－， 所以sin(2α＋β) ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝×＋×＝－. 10．已知tanα，tanβ是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两根，α＋β∈(0，π)． (1)求α＋β； (2)若cos(θ－α－β)＝，θ∈，求sinθ. 解：(1)由根与系数的关系，得tanα＋tanβ＝－p，tanαtanβ＝p＋1， 所以tan(α＋β)＝＝＝1， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. (2)cos(θ－α－β)＝cos＝. 由θ∈， 得θ－∈，所以sin＝. sinθ＝sin＝sincos＋cossin＝×＝. 11．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)·sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°角的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 答案：D 解析：∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝cos(180°－A)＝－cosA，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sinB，由sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)·sin(A＋C)，得sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sin(A＋B)＝1，∴sinC＝1，∴C＝90°，即△ABC是直角三角形． 12．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 答案：C 解析：由tanα＝，得＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，sin(α－β)＝sin.又α∈，β∈，故α－β＝－α，即2α－β＝. 13．若cos(α－β)＝，α＋β＝，且－<α－β<0，则cos2α的值为________． 答案： 解析：因为cos(α－β)＝，－<α－β<0，所以sin(α－β)＝－＝ －＝－，所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos×－sin×＝－×－×＝. 14．已知在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，则△ABC是________三角形． 答案：等腰 解析：因为tanA＋tanB＝tanAtanB－1，所以(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，所以＝－，所以tan(A＋B)＝－.又0<A＋B<π，所以A＋B＝，所以C＝.因为tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，所以tanB＋＋tanB＝，所以tanB＝.所以B＝，A＝.所以△ABC是等腰三角形． 15．已知α，β都是锐角，且＝cos(α＋β)． (1)求证：tanβ＝； (2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值． 解：(1)证明：∵tanβ＝＝ ＝ ＝sinαcosα－sin2αtanβ， ∴(1＋sin2α)tanβ＝sinαcosα， ∴tanβ＝＝ ＝＝. (2)∵tanα>0，tanβ>0， ∴tanβ＝≤＝， 当且仅当＝2tanα，即tanα＝时，等号成立， ∴(tanβ)max＝， 此时tan(α＋β)＝＝×＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$