5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 (教师独具内容) 课程标准：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 教学重点：1.能通过三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行化简、求值． 教学难点：两角差的余弦公式的推导过程． 核心素养：1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养.2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 [点拨]　(1)可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式中的α，β不仅可以是任意一个角，也可以是几个角的组合． (3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)． (4)角变换后使用：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. 1．(公式的结构特点)sin12°cos18°＋sin78°cos72°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：B 2．(公式的正用)若sinαsinβ＝m，cosαcosβ＝n，则cos(α－β)＝________． 答案：n＋m 3．(公式的逆用)化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为________． 答案： 题型一　给角求值 　计算下列各式的值． (1)cos75°； (2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°； (3)cos＋sin. [解]　(1)原式＝cos(120°－45°) ＝cos120°cos45°＋sin120°sin45° ＝－×＋×＝. (2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33° ＝cos(63°－33°)＝cos30°＝. (3)原式＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. 【感悟提升】利用公式C(α－β)求值的常见类型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 【跟踪训练】 1．计算下列各式的值： (1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°； (2)coscos＋cossin； (3)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)． 解：(1)原式＝cos(56°－26°)＝cos30°＝. (2)原式＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. (3)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos60°＝. 题型二　给值求值 　(1)(2024·辽宁大连103中学高一上月考)已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　因为sinα－sinβ＝1－，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝　①.因为cosα－cosβ＝，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝　②.①②两式相加，得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋，所以－2cos(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.故选D. [答案]　D (2)已知sin＝，α∈，求cosα的值． [解]　∵α∈，∴＋α∈， ∴cos＝－ ＝－＝－. ∵α＝－， ∴cosα＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝－；③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【跟踪训练】 2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值． 解：因为α，β∈，所以α＋β∈. 所以cos(α＋β)＝＝. 又β－∈， 所以cos＝－＝－， cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝×＋× ＝－. 题型三　给值求角 　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小． [解]　∵sin(π－α)＝，∴sinα＝. ∵0<α<，∴cosα＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. ∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝. cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝. 由0<β<，知β＝. 【感悟提升】给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 【跟踪训练】 3．已知α，β∈，cosβ＝，cos(α＋β)＝－，求角α的大小． 解：∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)． ∴sinβ＝＝， sin(α＋β)＝＝. ∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ ＝－×＋×＝. 又α∈，∴α＝. 1．(2024·山东枣庄八中高一上阶段检测)cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：A 解析：原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20°＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝. 2．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：A 解析：原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝. 3．(多选)满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值可能是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 答案：BC 解析：∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，∴α－β＝＋2kπ或α－β＝－＋2kπ，其中k∈Z.结合选项，可知B，C中α，β的值符合条件．故选BC. 4．(2024·江苏连云港海头高级中学高一上期末)已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos(α－β)的值为________． 答案：－ 解析：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝.∵β为第三象限角，sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－. 5．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β＝________． 答案：－ 解析：因为α，β均为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.又sinα<sinβ，所以0<α<β<，所以－<α－β<0，所以α－β＝－. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ 对点 给值求值——两角差的余弦公式的正用 给值求角——两角差的余弦公式的逆用 给值求值——两角差的余弦公式的正用 给值求角——两角差的余弦公式的正用 两角差的余弦公式的逆用；求余弦型函数的单调区间 给角求值——两角差的余弦公式的正用、逆用 给角求值——两角差的余弦公式的正用 给值求值、凑角求值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 三角函数的概念；两角差的余弦公式 给值求值、凑角求值 几何图形中两角差的余弦公式的逆用 给式求值、求角——两角差的余弦公式的逆用；同角三角函数的基本关系 凑角求值——三角形中的应用 给值求值、凑角求值 给值求值、凑角求值 1．已知α∈，若sinα＝，则cos＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：A 解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝＝，cos＝＝cosα＋sinα＝＋＝. 2．若cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝0，则x的值可能是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝cos5xcos2x＋sin5xsin2x＝cos(5x－2x)＝cos3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以当k＝0时，x＝. 3．若sinαsinβ＝1，则cos(α－β)的值为(　　) A．0 B．1 C．±1 D．－1 答案：B 解析：由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1. 4．(2024·广东中山一中高一上月考)已知α，β∈，sinα＝，cosβ＝，则α－β＝(　　) A．－ B. C. D．－或 答案：A 解析：∵α，β∈，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.又sinα<sinβ，∴α<β，∴－<α－β<0，∴α－β＝－.故选A. 5．函数f(x)＝cos2xcos－sin2xsin的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：D 解析：f(x)＝cos2xcos－sin2xsin＝cos2xcos＋sin2xsin＝cos.由2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得该函数的单调递增区间为(k∈Z)． 6．(多选)(2024·山东烟台一中高一上月考)下列计算正确的是(　　) A.sin15°＋cos15°＝ B．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ C．sin＋cos＝ D．sin105°＝ 答案：ABC 解析：sin15°＋cos15°＝sin60°sin15°＋cos60°cos15°＝cos(60°－15°)＝，A正确；sin20°cos10°－cos160°·sin10°＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos(70°－10°)＝，B正确；∵cos＋sin＝coscos＋sin·sin＝cos＝cos＝，∴sin＋cos＝，C正确；sin105°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝，D错误．故选ABC. 7.的值是________． 答案： 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝. 8．已知sin＝，且θ∈，则cos＝________． 答案：＋ 解析：∵sin＝，且θ∈，则cos＝，∴cos＝cos＝cos·cos＋sinsin＝×＋×＝＋. 9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点． (1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值． 解：(1)由题意可得点A的坐标为，点B的坐标为，由任意角的三角函数的定义可得，cosα＝，sinβ＝. (2)由(1)还可得到sinα＝，cosβ＝－， 由两角差的余弦公式可得cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝－×＋×＝. 10．已知<α<，－<β<，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cosα的值． 解：因为<α<，－<β<， 所以0<α＋β<π. 又因为cos(α＋β)＝>0，所以0<α＋β<， 所以<2α＋β<π， 又因为cos(2α＋β)＝，所以<2α＋β<， 所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝， 所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝×＋×＝. 11.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中直角三角形的两个锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，则cos(α－β)的值为(　　) A. B. C. D．0 答案：A 解析：设大的正方形的边长为1，由小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为，则cosα－sinα＝　①，sinβ－cosβ＝　②，由题图可知，cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，由①×②可得＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝. 12．(多选)已知α，β，γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 答案：AC 解析：由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，cos(β－α)＝，故A正确，B错误；∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝，故C正确，D错误． 13．(2024·吉林长春外国语学校高一上期末)已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cosB＝－，则sinB＝________，cosA＝________． 答案：　 解析：在△ABC中，因为cosB＝－<0，所以B为钝角，则sinB＝，所以A＋B∈，由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－，所以cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝×＋×＝. 14．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝，则sin(α＋β)的值为________． 答案： 解析：∵<α<，∴－<－α<0，∴sin＝－＝－.又0<β<，∴<＋β<π，∴cos＝－＝－，sin(α＋β)＝－cos＝ －cos＝－cos·cos－sinsin＝－×－×＝. 15．(2024·江西景德镇第一中学高一上质检)若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，求cos的值． 解：∵cos＝－，∴cos＝. ∵0<α<，∴<α＋<， ∴sin＝. ∵－<β<0，∴<－<. 又cos＝， ∴sin＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$