5.4.3 正切函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.4.3　正切函数的性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出正切函数的图象，掌握正切函数的周期性，会求函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数的性质(奇偶性、单调性).3.掌握正切函数的定义域． 教学重点：正切函数的图象和性质． 教学难点：能够利用正切函数的图象和性质解决有关问题． 核心素养：1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的图象 (1)正切函数的图象． (2)正切函数y＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． [点拨]　(1)画函数y＝tanx，x∈上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点，(0，0)，，再画两条平行的虚线x＝－，x＝，最后连线． (2)正切函数y＝tanx图象的对称中心为，k∈Z，没有对称轴． 知识点二　正切函数的性质 (1)正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增 (2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是． [提醒]　(1)虽然正切函数y＝tanx在(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增． (2)正切函数没有单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． (3)正切函数没有最大值和最小值． 1．(正切型函数的单调性、周期性、奇偶性)下列函数中同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为2π；③是奇函数的是(　　) A．y＝tanx B．y＝cosx C．y＝tan D．y＝－tanx 答案：C 2．(正切型函数的定义域)y＝的定义域为(　　) A．2kπ－<x<2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z) C．kπ－<x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z) 答案：D 3．(正切型函数的周期性)f(x)＝tan的最小正周期为________． 答案： 4．(正切型函数的值域)函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________． 答案：(－，1) 题型一　正切型函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)y＝tan； (2)y＝. [解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝tan的定义域为. (2)由－tanx≥0，得tanx≤. 结合y＝tanx的图象可知，在上，满足tanx≤的角x应满足－<x≤. 所以函数y＝的定义域为. 【感悟提升】求正切型函数定义域的方法 (1)求正切型函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 【跟踪训练】 1．(1)函数y＝3tan的定义域为________． 答案： 解析：要使函数有意义，应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，所以函数的定义域为. (2)函数y＝＋lg (1－tanx)的定义域为________． 答案： 解析：要使函数y＝＋lg (1－tanx)有意义，则即－1≤tanx<1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tanx的周期为π，所以函数的定义域为. 题型二　正切型函数的周期性、奇偶性 　(1)求f(x)＝tan的周期． [解]　解法一：∵tan＝tan，即tan＝tan， ∴f(x)＝tan的周期是. 解法二：T＝＝. (2)判断f(x)＝sinx＋tanx的奇偶性． [解]　∵函数f(x)的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数． 【感悟提升】正切型函数周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 【跟踪训练】 2．(1)(2024·北京海淀区高一下月考)函数y＝tanx＋是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：A 解析：函数的定义域是，定义域关于原点对称且tan(－x)＋＝－tanx－＝－，所以函数y＝tanx＋是奇函数．故选A. (2)(2024·山西吕梁高一上期末)已知函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a的值为________． 答案：±1 解析：因为函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，所以＝，即a＝±1. 题型三　正切型函数的单调性及值域 角度 正切型函数的单调性 　(1)求函数y＝tan的单调区间． [解]　∵y＝tan＝－tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得 2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， ∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，不存在单调递增区间． (2)比较tan与tan的大小． [解]　因为tan＝tan，tan＝tan， 又0<<<，y＝tanx在上单调递增， 所以tan<tan，即tan<tan. 【感悟提升】 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，求得x的取值范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的取值范围即可． 2．运用正切函数的单调性比较大小的方法 (1)运用正切函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间． (2)运用单调性比较大小关系． 【跟踪训练】 3．(1)(2024·江苏镇江中学高一上月考)求函数y＝tan的单调区间． 解：令kπ－<3x－<kπ＋(k∈Z)， 即－<x<＋(k∈Z)， 所以函数y＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，不存在单调递减区间． (2)比较tan1，tan2，tan3，tan4的大小． 解：因为y＝tanx在区间上单调递增，且tan1＝tan(π＋1)，又<2<3<4<π＋1<，所以tan2<tan3<tan4<tan1. 角度 正切型函数的值域 　(2024·陕西汉中高一下第二次月考)函数f(x)＝tan在上的值域为________． [解析]　由x∈，可得3x－∈，根据正切函数的性质，可得tan∈[－，＋∞)，即函数f(x)＝tan在上的值域为[－，＋∞)． [答案]　[－，＋∞) 【感悟提升】正切型函数值域的求法 (1)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tanx相关的二次函数，可以把tanx看成整体，利用配方法求值域． 【跟踪训练】 4．求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域． 解：令t＝tanx. ∵x∈，∴t＝tanx∈[－1，]． ∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6. ∵抛物线开口向下，对称轴为直线t＝1， ∴当t＝1时，ymax＝6. 当t＝－1时，ymin＝－(－1－1)2＋6＝2. ∴函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域为[2，6]． 题型四　正切型函数图象与性质的综合 　设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间及其图象的对称中心； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集． [解]　(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝， 即＝. 因为ω>0，所以ω＝2. 从而f(x)＝tan(2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝. 故f(x)＝tan. (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 则－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z， 即－＋＜x＜＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． 令2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z. (3)由(1)，知f(x)＝tan. 由－1≤tan≤，得 －＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z. 解得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 【感悟提升】求解正切型函数图象与性质综合问题的关注点 (1)遵循定义域优先的原则，将“ωx＋φ”视为一个整体求解． (2)正切曲线的对称中心比较特殊，不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，注意将图象和性质结合进行求解． (3)对于含有绝对值符号的函数，一方面可以去绝对值转化为分段函数，利用分类讨论的思想求解，另一方面可以结合图象的翻折变换求解． 【跟踪训练】 5．画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 解：y＝|tanx|＝ 可作出其图象(如图)，由图象知函数y＝|tanx|的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)，该函数是偶函数，周期为π. 1．函数y＝tanx的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0)∪(0，1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 答案：B 解析：根据函数的单调性可得值域为[－1，0)∪(0，1]． 2．(2024·河北唐山一中高一上月考)已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：将点代入到函数y＝tan(2x＋φ)，得tan＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝－＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－.故选A. 3．(多选)已知函数f(x)＝tan2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)的定义域是 C．f(x)在上单调递增 D．f(x)图象的对称中心是，k∈Z 答案：ACD 解析：f(x)的定义域为，B错误；f(－x)＝tan(－2x)＝－tan2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，A正确；令－＋kπ<2x<＋kπ，k∈Z，则－＋<x<＋，k∈Z，故f(x)在上单调递增，C正确；令2x＝，k∈Z，则x＝，k∈Z，故f(x)图象的对称中心是，k∈Z，D正确．故选ACD. 4．比较大小：tan________tan. 答案：< 解析：因为y＝tanx在内是增函数，且－<－<－<0，所以tan<tan. 5．(2024·福建泉州一中高一上阶段检测)直线y＝a(a为常数)与函数y＝tanωx(ω>0)的图象相邻两支的交点的距离为________． 答案： 解析：直线y＝a与函数y＝tanωx的图象相邻两支的交点的距离正好是一个周期． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 求正切型函数的值域 正切型复合函数奇偶性的判断 利用正切函数的单调性比较大小 正切型函数图象的识别 正、余弦型函数及正切型函数的周期及单调区间的判断 正切型函数性质的综合 与正切函数有关的函数定义域问题 求与正切函数有关的复合函数的最值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 正切型函数周期和单调区间的求法；利用正切函数的单调性比较大小 正切型函数的周期性、奇偶性和单调性的综合 与正切型函数有关的方程问题 正切型函数性质的综合应用 余弦函数与正切函数图象的应用 由正切型函数的单调性求参数值 正切型函数图象与性质的综合应用 1．函数y＝tan(cosx)的值域是(　　) A. B. C．[－tan1，tan1] D．[－1，1] 答案：C 解析：∵－1≤cosx≤1，且函数y＝tanx在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tanx≤tan1，即－tan1≤tanx≤tan1.故选C. 2．函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 答案：A 解析：由tan2x－1≠0，且x≠kπ＋，k∈Z，得，其定义域关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 3．下列各式中正确的是(　　) A．tan735°>tan800° B．tan1>－tan2 C．tan<tan D．tan<tan 答案：D 解析：对于A，tan735°＝tan15°，tan800°＝tan80°，tan15°<tan80°，所以tan735°<tan800°；对于B，－tan2＝tan(π－2)，而1<π－2<，所以tan1<－tan2；对于C，<<<π，tan<tan；对于D，tan＝tan<tan. 4．(2024·江苏兴化楚水实验中学高一期中)函数f(x)＝x·tanx(－1≤x≤1)的图象可能是(　　) 答案：B 解析：因为f(－x)＝(－x)·tan(－x)＝x·tanx＝f(x)，且x∈[－1，1]关于原点对称，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C；当0<x<1时，函数单调递增且f(x)>0，排除D.故选B. 5．(多选)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是(　　) A．y＝tan B．y＝tan C．y＝cos D．y＝sin 答案：AD 解析：对于A，函数y＝tan的周期为π，由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－<x<，所以在上单调递增，A符合题意；对于B，函数y＝tan的周期为，B不符合题意；对于C，函数y＝cos的周期为π，由2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝－1时，－≤x≤，所以在上不单调递增，C不符合题意；对于D，函数y＝sin的周期为π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，所以在上单调递增，D符合题意．故选AD. 6．(多选)(2024·福建宁德高一上期末检测)若函数f(x)＝tan，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．最小正周期是π B．图象关于点对称 C．在区间内单调递增 D．图象关于直线x＝对称 答案：BC 解析：因为函数f(x)＝tan，所以函数f(x)的最小正周期为，A错误；令2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，当k＝2时，x＝，所以函数f(x)的图象关于点对称，B正确；由kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝1时，x∈，所以函数f(x)在区间内单调递增，C正确；因为正切函数的图象不具有对称轴，所以D错误．故选BC. 7．函数y＝＋的定义域为________． 答案： 解析：由题意，得所以2kπ－<x≤2kπ，k∈Z，所以函数y＝＋的定义域为. 8．若x∈，则函数y＝＋2tanx＋1的最小值为________． 答案：1 解析：y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，∵x∈，∴tanx∈[－，1]．∴当tanx＝－1，即x＝－时，ymin＝1. 9．已知函数f(x)＝3tan. (1)求它的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小． 解：(1)因为f(x)＝3tan ＝－3tan， 所以T＝＝＝4π. 由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，得 4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)． 因为y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝3tan在(k∈Z)内单调递减． 故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)． (2)f(π)＝3tan ＝3tan＝－3tan， f＝3tan＝3tan ＝－3tan， 因为0<<<，且y＝tanx在内单调递增，所以tan<tan， 所以f(π)>f. 10．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间． 解：因为1<T<， 所以1<<， 即<k<π. 因为k∈N＋， 所以k＝3，则f(x)＝2tan， 由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称， 所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数． 由－＋kπ<3x－<＋kπ，k∈Z，得 －＋<x<＋，k∈Z. 所以f(x)＝2tan的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． 11．方程tan＝在区间[0，π)上的解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：∵tan＝，∴3x－＝＋kπ，k∈Z，x＝＋，k∈Z.由k＝0，k＝1，k＝2，求得方程在区间[0，π)上的解为，，，共3个． 12．(多选)(2024·四川泸州高一上期末)已知函数f(x)＝tan(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)的最小正周期是2π，则ω＝ B．当ω＝1时，f(x)图象的对称中心为(k∈Z) C．当ω＝2时，f<f D．若f(x)在区间内单调递增，则0<ω≤ 答案：AD 解析：对于A，若f(x)的最小正周期是2π，则＝2π，解得ω＝，故A正确；对于B，当ω＝1时，f(x)＝tan，令x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，故B错误；对于C，当ω＝2时，f(x)＝tan，则f＝tan＝tan，f＝tan，由于y＝tanx在内单调递增，所以f>f，故C错误；对于D，令－＋kπ<ωx－<＋kπ，k∈Z，解得－＋<x<＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，因为f(x)在区间内单调递增，所以解得－1＋3k≤ω≤＋k，k∈Z，又最小正周期T＝≥π－＝，即ω≤，所以＋k≤，k∈Z，即k≤，k∈Z，又因为ω>0，所以取k＝0，得0<ω≤，故D正确．故选AD. 13．已知函数f(x)＝2cosx(x∈[0，π])的图象与函数g(x)＝3tanx的图象交于A，B两点，则△OAB(O为坐标原点)的面积为________． 答案： 解析：函数y＝2cosx(x∈[0，π])和函数y＝3tanx的图象交于A，B两点，O为坐标原点，由2cosx＝3tanx可得2cos2x＝3sinx，即2sin2x＋3sinx－2＝0，求得sinx＝或sinx＝－2(舍去)，又x∈[0，π]，∴x＝或x＝. ∴A，B，画出图象如图所示．根据函数图象的对称性可得AB的中点C，∴△OAB的面积＝△OAC的面积＋△OCB的面积＝·OC·|yA|＋·OC·|yB|＝·OC·|yA－yB|＝··2＝. 14．若函数y＝tan(a∈Z)在x∈内单调递增，则a的值为________． 答案：－2 解析：设u＝－ax，∵y＝tanu在区间(k∈Z)内为增函数，∴a<0.又x∈，∴－ax∈，∴－ax∈，∴解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．由解得≤k≤1，又k∈Z，∴k＝1，此时－2≤a≤－2，∴a＝－2. 15．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)． (1)求f(x)的解析式； (2)求不等式f(x)≥的解集． 解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝， 得f(x)＝Atan. 因为它的图象过点， 所以tan＝0， 即tan＝0， 所以＋φ＝kπ(k∈Z)， 得φ＝kπ－，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 于是f(x)＝Atan， 又它的图象过点(0，－3)， 所以Atan＝－3，得A＝3. 所以f(x)＝3tan. (2)由3tan≥，得tan≥， 则kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以不等式f(x)≥的解集是(k∈Z)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$