5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 (教师独具内容) 课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 教学重点：1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.2.判断简单三角函数的奇偶性． 教学难点：1.函数最小正周期的意义.2.函数周期性与奇偶性的意义． 核心素养：1.通过函数周期性的研究，培养逻辑推理素养.2.借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养． 知识点一　函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [提醒]　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中的每一个值都成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如f(x)＝C(C为常数，x∈R)是周期函数，但没有最小正周期． (4)自变量x本身加的常数才是函数的周期，如f(2x＋T)＝f(2x)中T不是函数的周期，才是函数的周期，因为f(2x＋T)＝f＝f(2x)． 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sinx y＝cosx 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 [拓展]　正弦函数、余弦函数的对称性 函数 y＝sinx y＝cosx 对称中心 点(kπ，0)(k∈Z) 点(k∈Z) 对称轴 直线x＝kπ＋(k∈Z) 直线x＝kπ(k∈Z) 1．(正、余弦函数的周期性)下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin2x C．y＝cos D．y＝cos4x 答案：D 2．(正、余弦函数的周期性与奇偶性)函数f(x)＝sin是(　　) A．T＝2π的奇函数 B．T＝2π的偶函数 C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数 答案：B 3．(周期函数的判断)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) 答案：D 4．(周期函数的应用)若函数y＝f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝3，则f(5)＝________． 答案：－3 题型一　函数周期性的判断 　求下列函数的周期： (1)y＝3sin； (2)y＝|cosx|； (3)y＝3cos； (4)y＝sin. [解]　(1)解法一：y＝3sin ＝3sin＝3sin， 令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)， ∴y＝3sin的周期为4. 解法二：ω＝，∴T＝＝＝4. (2)y＝|cosx|的图象如下图所示． ∴周期T＝π. (3)解法一：y＝3cos＝3cos. ∵3cos＝3cos ＝3cos， 令y＝f(x)，则f＝f(x)， ∴y＝3cos的周期为. 解法二：∵|ω|＝3，∴T＝＝. (4)解法一：y＝sin＝sin ＝sin， 令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)， ∴y＝sin的周期为π. 解法二：∵ω＝2，∴T＝＝＝π. 【感悟提升】求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝. (3)图象法：画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． 【跟踪训练】 1．求下列三角函数的周期： (1)y＝4sinx，x∈R； (2)y＝cos2x，x∈R； (3)y＝sin，x∈R. 解：(1)因为4sinx＝4sin(x＋2π)，由周期函数的定义知，y＝4sinx的周期为2π. (2)因为cos2x＝cos(2x＋2π)＝cos2(x＋π)，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π. (3)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. 题型二　函数奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝lg (1－sinx)－lg (1＋sinx)； (3)f(x)＝. [解]　(1)显然x∈R，f(x)＝cosx， ∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (2)由得－1<sinx<1， 解得函数f(x)的定义域为， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称． 又f(x)＝lg (1－sinx)－lg (1＋sinx)， ∴f(－x)＝lg [1－sin(－x)]－lg [1＋sin(－x)] ＝lg (1＋sinx)－lg (1－sinx)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数． 【感悟提升】判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面 ①函数的定义域是否关于原点对称； ②f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则． 【跟踪训练】 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xsin(π－x)； (2)f(x)＝cossin； (3)f(x)＝＋. 解：(1)f(x)＝xsin(π－x)＝xsinx的定义域为R.由于f(－x)＝－xsin(－x)＝－x·(－sinx)＝xsinx＝f(x)，故函数f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域为R， 由已知可得f(x)＝sinxcosx. 因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (3)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1. 从而x＝2kπ，k∈Z.此时f(x)＝0. 故函数f(x)既是奇函数又是偶函数． 题型三　三角函数周期性与奇偶性的综合 　(2024·黑龙江绥化市部分学校高一上期末)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f＝(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　f＝f＝f＝f＝sin＝. [答案]　D 【感悟提升】三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求解析式的问题． 【跟踪训练】 3．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx.求当x∈时，f(x)的解析式． 解：当x∈时，3π－x∈， 因为x∈时，f(x)＝1－sinx， 所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数， 所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， 所以当x∈时，f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx. 1．函数y＝sin的最小正周期是(　　) A．2π B．π C. D. 答案：C 解析：所求函数的最小正周期T＝＝＝. 2．定义在R上的周期函数f(x)的周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 答案：B 解析：由已知，得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f＝f＝f＝－f＝－1. 3．(多选)(2024·河北邢台第一中学高一上第四次月考)已知函数f(x)＝sin，则以下结论恒成立的是(　　) A．f(－x)＝－f(x) B.f(－x)＝f(x) C．f(2π－x)＝f(x) D.f(π＋x)＝f(π－x) 答案：ACD 解析：对于A，B，f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，所以A正确，B错误；对于C，f(2π－x)＝sin＝sin＝sin＝f(x)，所以C正确；对于D，因为f(π＋x)＝sin＝sin＝cos，f(π－x)＝sin＝sin＝cos，所以f(π＋x)＝f(π－x)，所以D正确．故选ACD. 4．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f(x)是偶函数； ③存在φ，使f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中说法错误的是________(填序号)． 答案：①④ 解析：当φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数；当φ＝时，f(x)＝cosx，是偶函数． 5．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是，则ω的值为________，f(π)＝________． 答案：6　 解析：由＝，得ω＝6.所以f(π)＝cos＝cos＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 正、余弦型函数周期性与奇偶性的判断 由正弦函数的奇偶性识别函数图象 正、余弦型函数的最小正周期和对称轴的求法 正弦型函数周期性的应用——求参数值 正、余弦函数周期性的应用——求分段函数值 正弦型函数最小正周期、对称轴及对称中心的求法、奇偶性的判断 含绝对值的正弦型函数最小正周期的求法 正弦型函数周期性的应用——求参数值及三角函数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 含绝对值的正弦型函数图象的画法及其周期性判断 与正、余弦函数有关的复合函数奇偶性的判断 余弦型复合函数奇偶性的判断 正弦型函数周期性、奇偶性、对称性的综合 正弦型函数奇偶性的应用——求参数值 抽象函数周期的求法及应用 余弦型函数周期性的应用——求参数值 1．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是(　　) A．y＝|cos2x| B．y＝sin2x C．y＝sin D．y＝cosx 答案：C 解析：对于A，画出图象可知，最小正周期为，故A不符合题意；对于B，y＝sin2x为奇函数，故B不符合题意；对于C，y＝sin＝cos2x为偶函数，最小正周期为π，故C符合题意；对于D，y＝cosx的最小正周期为4π，故D不符合题意．故选C. 2．函数y＝xsinx的部分图象是(　　) 答案：A 解析：由f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，得f(x)＝xsinx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x＝时，f＝·sin＝>0，排除C.故选A. 3．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 答案：B 解析：f(x)＝sin，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sin的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；f(x)＝cos，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝cos的图象关于直线x＝2对称，故B符合题意；函数f(x)＝sin和f(x)＝cos的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.故选B. 4．(2024·北京高考)设函数f(x)＝sinωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2.故选B. 5．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值为(　　) A．1 B. C．0 D．－ 答案：B 解析：f＝f＝f＝sin＝. 6．(多选)(2024·河南郑州一中高一上月考)已知函数f(x)＝－sinx(x∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称 答案：BD 解析：函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；因为f＝－sin＝1，故B正确；函数f(x)＝－sinx满足f(－x)＝－sin(－x)＝－(－sinx)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，C错误；因为f(2π)＝－sin2π＝0，故D正确．故选BD. 7．函数y＝的最小正周期是________． 答案：2π 解析：∵y＝sin的最小正周期为T＝4π，而y＝的图象是把y＝sin的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝的最小正周期为T＝2π. 8．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈R，且以为最小正周期．若f＝，则ω＝________，sinα＝________． 答案：4　± 解析：因为f(x)的最小正周期为，ω>0，所以ω＝＝4，所以f(x)＝3sin.因为f＝3sin＝3cosα＝，所以cosα＝.所以sinα＝±＝±. 9．已知函数y＝sinx＋|sinx|. (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期． 解：(1)y＝sinx＋|sinx| ＝图象如下． (2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π. 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xcos(π＋x)； (2)f(x)＝lg (sinx＋)． 解：(1)∵x∈R且f(x)＝－xcosx， ∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)∵x∈R且f(－x)＋f(x)＝lg [sin(－x)＋]＋lg (sinx＋)＝lg (sin2x＋1－sin2x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 11．函数y＝1＋在定义域内是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 答案：B 解析：由lg cosx≥0得cosx≥1，又cosx≤1，所以cosx＝1，即x＝2kπ，k∈Z，从而函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，此时y＝1＋＝1，所以该函数是偶函数． 12．(多选)(2024·江苏淮安一中高一上月考)下列关于函数f(x)＝4sin(x∈R)的命题正确的是(　　) A．y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos B．y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 C．函数y＝f是奇函数 D．y＝f的图象关于y轴对称 答案：ACD 解析：f(x)＝4sin＝4cos＝4cos＝4cos，A正确；函数f(x)的最小正周期为＝π，B错误；f＝4sin＝4sin2x，是奇函数，C正确；f＝4sin＝4sin＝4cos2x，图象关于y轴对称，D正确．故选ACD. 13．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________． 答案：2 解析：因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cosx为偶函数，定义域为R，所以f＝f，即－a＋cos＝＋a＋cos，则πa＝－＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. 14．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为________． 答案： 解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝. 15．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对于任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值． 解：由5cos＝， 得cos＝. ∴为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且小于4个周期长度． 即2×≤3且4×>3， 解得≤k<. ∵k∈N，故k的值为2或3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$