5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 (教师独具内容) 课程标准：1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 教学重点：正弦函数、余弦函数图象的作法及应用． 教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线的应用． 核心素养：1.通过画正弦函数、余弦函数的图象，培养直观想象素养.2.借助正弦曲线、余弦曲线的应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　正弦函数的图象 1．正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图象； ②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． (2)“五点法” ①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 知识点二　余弦函数的图象 (1)余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线． (2)余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． [点拨]　(1)正弦函数、余弦函数的图象向左、向右是无限伸展的． (2)正弦曲线、余弦曲线两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 1．(正弦函数图象的应用)函数y＝sinx，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.5的交点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 2．(“五点法”作图)用“五点法”画函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，下列不是关键点的是(　　) A. B. C．(π，0) D．(2π，0) 答案：A 3．(正弦函数图象的对称变换)函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于直线x＝对称 答案：C 4．(余弦函数图象的应用)函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝0的交点有________个． 答案：2 题型一　用“五点法”作三角函数的图象 　用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝1－sinx(0≤x≤2π)； (2)y＝－1＋cosx(0≤x≤2π)． [解]　(1)①取值、列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 　　②描点、连线，如图所示． (2)①取值、列表如下： x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 ②描点、连线，如图所示． [条件探究]　将本例(1)中的函数改为y＝－2sinx(0≤x≤2π)，作出函数的简图． 解：①取值、列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 －2sinx 0 －2 0 2 0 ②描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示． 【感悟提升】用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤 (1)列表： x 0 π 2π sinx (或cosx) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1(或0) 0(或1) y b(或A＋b) A＋b(或b) b(或－A＋b) －A＋b(或b) b(或A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． 【跟踪训练】 1．用“五点法”画出函数y＝sinx＋2，x∈[0，2π]的简图． 解：(1)列表： x 0 π 2π sinx＋2 2 3 2 1 2 (2)描点：在平面直角坐标系中描出点(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)． (3)作图：将上述五点用光滑的曲线连接起来． 题型二　用图象变换法作函数图象 　作出函数y＝的图象． [解]　y＝＝|sinx|， 其图象如下图． 【感悟提升】用图象变换法作函数图象 对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图． (1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象． (2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象． 【跟踪训练】 2．作出函数y＝－sin|x|的图象． 解：y＝－sin|x|＝ 其图象如图所示． 题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用 角度 利用图象解方程或不等式 　求方程sinx＝的解集． [解]　在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx的图象和直线y＝，如图． 由图可知，在x∈[0，2π]上，由sinx＝可得x＝或x＝.故方程sinx＝的解集为∪. [条件探究]　将本例中的“sinx”改为“cosx”，应如何解答？ 解：在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝cosx的图象和直线y＝，如图． 由图可知，在x∈[－π，π]上， 由cosx＝可得x＝－或x＝. 故方程cosx＝的解集为∪. 【感悟提升】利用图象解方程或不等式的方法 (1)作出相应直线和三角函数的图象． (2)在x∈[0，2π](或x∈[－π，π])范围内确定满足条件的x值或范围． (3)根据终边相同角的同一三角函数值相等确定方程或不等式的解集． 【跟踪训练】 3．求不等式sinx≤的解集． 解：在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx的图象和直线y＝，如图． 由图可知，不等式sinx≤的解集为. 角度 利用图象判断方程解的个数 　在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝sinx和y＝lg x的图象，根据图象判断方程sinx＝lg x的解的个数． [解]　建立平面直角坐标系xOy，先用“五点法”画出函数y＝sinx，x∈R的图象． 描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示． 由图可知方程sinx＝lg x的解的个数为3. 【感悟提升】利用图象判断方程解的个数的策略 (1)作出相应的函数的图象． (2)函数图象交点的个数即为方程的解的个数． 【跟踪训练】 4．判断方程x2－cosx＝0的解的个数． 解：方程x2－cosx＝0的解的个数，即为函数y＝x2的图象与函数y＝cosx的图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2的图象和函数y＝cosx的图象，如图所示． 由图可知，方程x2－cosx＝0的解的个数为2. 1．用“五点法”画函数y＝1－2sinx的图象时，首先应描出的五点的横坐标是(　　) A．0，，，，π B．0，π，2π，3π，4π C．0，，π，，2π D．0，，，， 答案：C 解析：所描出的五点的横坐标与正弦函数y＝sinx的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π.故选C. 2．对于余弦函数y＝cosx的图象，下列说法错误的是(　　) A．与x轴有无数多个交点 B．与y轴只有1个交点 C．不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围 D．可由y＝sinx的图象向右平移个单位长度得到 答案：D 解析：如图所示为y＝cosx的图象，可知A，B，C描述均正确；y＝cosx的图象可由y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到，D错误．故选D. 3．(2024·湖北荆门龙泉中学高一上阶段测试)下列各组函数，图象相同的是(　　) A．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(π＋x) B．f(x)＝sin与g(x)＝sin C．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(－x) D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sinx 答案：D 解析：A，B，C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)． 4．函数y＝log2(2sinx＋1)的定义域为________． 答案： 解析：要使函数有意义，则必有2sinx＋1>0，即sinx>－.如图(1)(2)所示，结合正弦曲线或单位圆，得函数y＝log2(2sinx＋1)的定义域为. 5．定义在区间[0，2π]上的函数y＝2sinx的图象与y＝cosx的图象的交点个数为________． 答案：2 解析：画出函数y＝2sinx与y＝cosx在[0，2π]上的图象，如图所示．由图可知，在[0，2π]上，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在(π，2π]上有1个交点．所以函数y＝2sinx的图象与y＝cosx的图象在区间[0，2π]上共有2个交点． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 正弦型函数图象的判断 余弦函数图象的应用——判断方程解的个数 余弦函数图象的应用——解不等式 正弦函数图象的应用——求函数定义域 余弦函数图象的应用——求方程的解集 正、余弦函数图象的应用——解方程 余弦型函数图象的应用——求点的坐标 正弦函数图象的应用——结合方程解的个数求参数范围 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 “五点法”作函数图象 正、余弦函数图象的作法，利用图象解方程 含绝对值的余弦型函数图象的判断 余弦型函数图象的应用——与直线的交点个数问题 正弦函数图象的应用——判断方程解的个数 正弦型函数图象的应用——判断含绝对值的方程解的个数 正、余弦函数图象的作法；利用图象求函数的值域 1．函数y＝－sinx，x∈的简图是(　　) 答案：D 解析：当x＝0时，y＝－sin0＝0，故排除A，C；当x＝时，y＝－sin＝1，排除B.故选D. 2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)上(　　) A．没有解 B．有且仅有一个解 C．有且仅有两个解 D．有无穷多个解 答案：C 解析：求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)上解的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象在(－∞，＋∞)上的交点个数问题．函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象如图，显然有两个交点，即原方程有且仅有两个解． 3.(2024·河南洛阳一中高一上质检)已知f(x)是定义在(0，3)内的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cosx<0的解集是(　　) A．(0，1) B. C．(0，1)∪ D. 答案：C 解析：当0<x<1时，f(x)<0，而此时cosx>0，满足f(x)·cosx<0；当1<x<3时，f(x)>0，由cosx<0(x∈(1，3))，解得<x<3，故所求不等式的解集是(0，1)∪. 4．(2024·江苏南京一中高一上月考)在[0，2π]上，函数y＝的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意得2sinx－≥0，则sinx≥.作出y＝sinx在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示，由图象知，满足sinx≥的x的取值范围是. 5．方程2cos2x＋1＝0的解集是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案：D 解析：由2cos2x＋1＝0，得cos2x＝－.作出函数y＝cosx的图象和直线y＝－，如图所示．由图象，得2x＝2kπ－，k∈Z或2x＝2kπ＋，k∈Z.所以所求方程的解集是∪.故选D. 6．(多选)在(0，2π)内使sinx＝|cosx|的x的值可以是(　　) A. B. C. D. 答案：AB 解析：∵sinx＝|cosx|，∴sinx>0，又x∈(0，2π)，∴x∈(0，π)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝sinx，x∈(0，π)与函数y＝|cosx|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x＝或x＝.故选AB. 7．(2024·河北邢台一中高一上月考)函数y＝－cosx(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为________． 答案：(π，1) 解析：函数y＝－cosx(x≥0)的图象如图所示．则图象中与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)． 8．若方程sinx＝在x∈上有两个实数解，则a的取值范围为________． 答案：(－1，1－] 解析：首先作出函数y＝sinx，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果函数y＝sinx，x∈与y＝的图象有两个交点，那么方程sinx＝在x∈上就有两个实数解．由图象可知，当≤<1，即－1<a≤1－时，函数y＝sinx，x∈与y＝的图象有两个交点，即方程sinx＝在x∈上有两个实数解时，a的取值范围是(－1，1－]． 9．用“五点法”画出函数y＝1＋2sinx，x∈[0，2π]的图象． 解：列表： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1＋2sinx 1 3 1 －1 1 在平面直角坐标系中描出五点(0，1)，，(π，1)，，(2π，1)，然后用光滑的曲线连接起来，就得到函数y＝1＋2sinx，x∈[0，2π]的图象． 10．已知函数f(x)＝ (1)作出该函数的图象； (2)若f(x)＝，求x的值． 解：(1)作出函数f(x)＝的图象，如图①所示． (2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示，则 当－π≤x<0时，由图象知x＝－， 当0≤x≤π时，由图象知x＝或x＝. 综上，x的值为－或或. 11．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) 答案：D 解析：由题意，得y＝显然只有D合适． 12．(多选)(2024·安徽合肥一中质检)关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是(　　) A．当t<0或t≥2时，有0个交点 B．当t＝0或≤t≤2时，有1个交点 C．当0<t<时，有2个交点 D．当0<t<2时，有2个交点 答案：BC 解析：在同一个坐标系内作出f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t如图所示．根据图象，进行判断：对于A，当t＝2时，有1个交点，故A错误；对于B，当t＝0或≤t≤2时，有1个交点，故B正确；对于C，当0<t<时，有2个交点，故C正确；D显然错误．故选BC. 13．方程sinx＝的解的个数是________． 答案：7 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝和y＝sinx的图象如图所示，根据图象可知方程有7个解． 14．(2024·山东济南一中高一上期末)当x∈[0，3π]时，设关于x的方程sinx＋2|sinx|＝m(m∈R)解的个数为n，那么n的取值构成的集合为________．(用列举法表示) 答案：{0，2，4，5，6} 解析：方程解的个数等价于直线y＝m与函数y＝sinx＋2|sinx|图象的交点个数．由题意得y＝sinx＋2|sinx|＝函数y＝sinx＋2|sinx|的图象如图所示．可以看到交点的个数可能为0，2，4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}． 15．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，x∈[0，2π)，求函数f(x)的值域． 解：因为f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|＝所以函数f(x)的图象如图中实线所示，由图可知函数f(x)的值域为. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$