5.3 第2课时 诱导公式五、六-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　诱导公式五、六 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用． 核心素养：1.通过诱导公式求值，提升数学运算素养.2.借助诱导公式进行化简和证明，培养逻辑推理素养． 知识点　　诱导公式五、六 [点拨]　(1)诱导公式一～六中的角可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”． ①“变”与“不变”是指函数名． ②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的． ③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． (2)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sin＝－cosα，cos＝－sinα， sin＝－cosα，cos＝sinα. 1．(诱导公式二、五、六)下列各项与sinθ的值相等的是(　　) A．sin(π＋θ) B．sin C．cos D．cos 答案：C 2．(诱导公式六)已知sinθ＝，则cos＝________． 答案：－ 3．(诱导公式一、二、五)若cos(α＋π)＝－，则sin＝________． 答案： 4．(诱导公式六、同角三角函数基本关系)sin2113°＋sin223°＝________． 答案：1 题型一　利用诱导公式化简、求值 　(1)已知sin＝，则cos＝________． [解析]　cos＝cos ＝sin＝. [答案]　 (2)化简：sin＋cos(k∈Z)． [解]　当k为奇数时， 原式＝sin＋cos ＝sin－cos ＝sin－cos ＝cos－cos ＝0； 当k为偶数时， 原式＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－cos＋cos ＝0. 综上，原式＝0. [条件探究]　本例(1)中条件变为“已知sin＝”，求cos的值． 解：由sin＝， 得sin＝. ∵＋＝， ∴cos＝cos ＝－sin＝－. 【感悟提升】解决化简、求值问题的策略 (1)遵循诱导公式先行的原则，将三角函数式化简，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)将角看成整体，观察要求的角与已知角的和、差关系，是否具有互余、互补等特殊关系，再利用诱导公式转化求值．常见的互余的角：－α与＋α，－α与＋α等；常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α等． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·湖北宜昌一中高一上期末)化简：＝________． 答案：1 解析：原式＝＝＝＝1. (2)已知sin＋cos＝，求sin3－cos3的值． 解：∵sin＋cos ＝－sin－cos ＝sin＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝， ∴sinθcosθ＝[(sinθ＋cosθ)2－1] ＝×＝－. ∴sin3－cos3 ＝cos3θ＋cos3＝cos3θ＋sin3θ ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ) ＝×＝. 题型二　利用诱导公式证明恒等式 　求证： ＝1. [证明]　∵左边＝＝1＝右边， ∴原式成立． 【感悟提升】三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【跟踪训练】 2．求证：＋ ＝. 证明：∵左边＝＋ ＝＋＝＝ ＝＝右边， ∴原等式成立． 题型三　诱导公式在三角形中的应用 　在△ABC中，已知sin＝sin，试判断△ABC的形状． [解]　∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又sin＝sin， ∴sin＝sin， ∴sin＝sin， ∴cosC＝cosB， 又B，C为△ABC的内角，∴C＝B， ∴△ABC为等腰三角形． 【感悟提升】诱导公式在三角形中的应用 (1)解决此类题目时注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝. (2)在△ABC中，常用的结论有sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin. 【跟踪训练】 3．(多选)(2024·河南焦作第四中学高一下月考)在△ABC中，A＝，cosB＝，下列结论正确的是(　　) A．sin(π－C)＝ B．cos(π＋C)＝－ C．sin＝－ D．cos＝－ 答案：AB 解析：在△ABC中，A＝，cosB＝，故B＋C＝，则sinC＝sin＝cosB＝，cosC＝，而sin(π－C)＝sinC＝，故A正确；因为cos(π＋C)＝－cosC＝－，故B正确；因为sin＝cosC＝，故C错误；因为cos＝－sinC＝－，故D错误．故选AB. 题型四　诱导公式的综合应用 　(2024·广东湛江一中高一上期末)已知f(α)＝. (1)若α＝－，求f(α)的值； (2)若α为第二象限角，且cos＝，求f(α)的值． [解]　(1)∵f(α)＝ ＝＝cosα， ∴f＝cos＝cos＝. (2)∵cos＝，∴sinα＝. ∵α为第二象限角， ∴f(α)＝cosα＝－＝－. 【感悟提升】诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 【跟踪训练】 4．(2024·山东德州一中高一上期末)已知f(α)＝. (1)若α∈(0，2π)，且f(α)＝－，求α的值； (2)若f(α)－f＝，且α∈，求tanα的值． 解：(1)f(α)＝ ＝＝sinα. 因为α∈(0，2π)，f(α)＝sinα＝－， 所以α＝或α＝. (2)由(1)知，f(α)＝sinα， 所以f(α)－f＝sinα－sin ＝sinα＋cosα＝， 即sinα＋cosα＝，所以sinα＝－cosα， 所以＋cos2α＝1， 即(5cosα－4)(5cosα＋3)＝0， 可得cosα＝或cosα＝－. 因为α∈，则cosα＝－， 所以sinα＝－cosα＝－＝. 所以tanα＝＝×＝－. 1．若sin>0，且cos<0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：D 解析：因为sin＝cosθ>0，cos＝sinθ<0，所以θ是第四象限角．故选D. 2．已知sinθ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：B 解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－. 3．(2024·河北衡水中学高一上月考)化简：＝(　　) A．sinα B．cosα C．－sinα D．－cosα 答案：D 解析：原式＝＝－＝－＝－cosα.故选D. 4．已知cosα＝，且α为第四象限角，那么cos＝________． 答案： 解析：因为cosα＝，且α为第四象限角，所以sinα＝－＝－，所以cos＝－sinα＝. 5．(2024·福建福州一中高一上期末)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________． 答案：－ 解析：因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以cos＝sin＝，sin＝cos＝，则tan＝－tan＝－＝－＝－. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 给值求值——公式六 给值求值——公式四、六；同角三角函数的基本关系 变换角求值——公式一、三、五 给值求值——公式一、二、五、六 弦切互化求值——公式二、四、五、六 同角三角函数的基本关系；公式二、五的应用 三角函数式的化简——公式二、六 给值求值——公式四、五 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 化简求值——公式二、四、六；三角函数的概念 诱导公式的应用——证明三角恒等式 三角函数求值——同角三角函数的基本关系、公式五 三角函数式的化简——公式一、二、四、五 诱导公式的应用——在平面几何图形中的应用 给值求值——公式五、同角三角函数的基本关系 诱导公式的综合应用 1．(2024·江苏南京航空航天大学附属中学高一上月考)若cos＝，则sin＝(　　) A. B．－ C. D. 答案：A 解析：令θ＝α－，则α＝θ＋，且cosθ＝，所以sin＝sin＝cosθ＝.故选A. 2．若cos＝－，且α∈，则tan(π－α)＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：∵cos＝－sinα＝－，∴sinα＝，∵α∈，∴cosα＝－＝－，∴tan(π－α)＝－tanα＝－＝. 3．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　) A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 答案：C 解析：f(cosx)＝f＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.故选C. 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：B 解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－. 5．已知tanθ＝4，则＝(　　) A．－1 B. C．1 D. 答案：C 解析：∵tanθ＝4，∴＝＝＝＝1. 6．(多选)(2024·河南郑州一中高一上月考)已知sin＝，则角α的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．x轴的非正半轴上 答案：BCD 解析：原等式可化为－cosα＝，∴－cosα＝，即－cosα＝|cosα|，∴cosα≤0，∴角α的终边可能在第二或第三象限或x轴的非正半轴上．故选BCD. 7．化简sin(π＋α)cos＋sin·cos(π＋α)＝________． 答案：－1 解析：原式＝(－sinα)sinα＋cosα(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1. 8．已知cos＝，则cos＋cos2＝________． 答案： 解析：原式＝－cos＋1－sin2＝－＋1－cos2＝. 9.(2024·湖南岳阳一中高一上月考)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB. (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求2sinαcosβ的值． 解：(1)∵β＝＋α， ∴sinβ＝sin＝cosα，cosβ＝cos＝－sinα， ∴＝ ＝－＝－1. (2)∵点A的横坐标为， ∴cosα＝，sinα＝， cosβ＝－sinα＝－， ∴2sinαcosβ＝2××＝－. 10．求证： ＝. 证明：因为左边＝ ＝＝， 右边＝＝ ＝＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． 11．tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案：A 解析：原式＝· ＝· ＝·＝1. 12．(多选)(2024·江苏常州一中高一上质检)已知n∈Z，则下列三角函数中，与sin数值相同的是(　　) A．sin B．cos C．sin D．cos 答案：BC 解析：对于A，当n＝2k，k∈Z时，sin＝sin＝sin＝sin＝－sin，所以A错误；对于B，cos＝cos＝sin，所以B正确；对于C，sin＝sin，所以C正确；对于D，cos＝cos＝cos＝－cos＝－sin，所以D错误．故选BC. 13．(多选)已知A，B，C，D为圆内接四边形ABCD的四个内角，则下列结论一定正确的是(　　) A．cos(A＋C)＝cos(B＋D) B．cos(A＋B)＝cos(C＋D) C．sin＝cos D．sin＝sin 答案：ABC 解析：在圆内接四边形ABCD中，A＋B＋C＋D＝2π，A＋C＝B＋D＝π.对于A，显然成立；对于B，∵A＋B＝2π－(C＋D)，∴cos(A＋B)＝cos[2π－(C＋D)]＝cos(C＋D)，B正确；对于C，∵A＋C＝π，∴＝－，∴＋D＝－＋D＝－，∴sin＝sin＝cos，C正确；对于D，令A＝60°，B＝90°，C＝120°，D＝90°，则sin＝sin120°，sin＝sin150°，显然sin≠sin，D错误．故选ABC. 14．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为________． 答案：－ 解析：由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，则sin(60°＋α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－＝－. 15．已知函数 f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若f(α)f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值； (3)若f＝2f(α)，求f(α)f的值． 解：(1)f(α)＝＝－cosα. (2)f＝－cos＝sinα， 因为f(α)f＝－，所以cosαsinα＝， 所以＝(sinα－cosα)2＝， 又由≤α≤，得cosα≥sinα， 所以f(α)＋f＝sinα－cosα＝－. (3)由(2)得f＝2f(α)， 即sinα＝－2cosα，与sin2α＋cos2α＝1联立， 解得cos2α＝， 所以f(α)f＝－sinαcosα＝2cos2α＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$