5.3 第1课时 诱导公式二、三、四-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　诱导公式二、三、四 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(π±α，－α的正弦、余弦、正切)． 教学重点：诱导公式的推导过程及应用． 教学难点：诱导公式的灵活应用． 核心素养：1.借助公式进行运算，培养数学运算素养.2.通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 知识点一　角的对称 (1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)； (2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)； (3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)． 知识点二　诱导公式 公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝ －cosα tan(π＋α)＝ tanα 公式三 sin(－α)＝ －sinα cos(－α)＝ cosα tan(－α)＝ －tanα 公式四 sin(π－α)＝ sinα cos(π－α)＝ －cosα tan(π－α)＝ －tanα [点拨]　(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下： ①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα. (2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式： sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα. 1．(给角求值)sin585°的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 2．(给值求值)已知tanα＝2，则tan(π－α)＝________． 答案：－2 3．(给式求值)(2024·四川仁寿第一中学高一下3月质检)已知α为锐角，且cos＝，则sin＝________． 答案：－ 4．(利用诱导公式化简三角函数式)化简：cos(5π＋α)＋cos(3π－α)＋cos(2π－α)＝________． 答案：－cosα 题型一　给角求值 　求下列三角函数值： (1)tan＋cos＋sin； (2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°. [解]　(1)原式＝tan＋cos＋sin＝－tan＋cos－sin＝－1＋cos－＝－＋cos＝－－cos＝－－. (2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝－2. 【感悟提升】利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 【跟踪训练】 1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos； (2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝＋＝＋＝＋＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0. 题型二　给式(值)求值 　(1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________，tan(π－α)＝________． [解析]　因为sin(π＋α)＝，所以sinα＝－.又α是第四象限角，所以cosα＝＝，tanα＝＝－，所以cos(α－2π)＝cosα＝，tan(π－α)＝－tanα＝. [答案]　　 (2)已知cos＝，求cos－sin2的值． [解]　因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2＝1－cos2＝， 所以cos－sin2＝－－＝－. [结论探究]　若本例(2)中条件不变，如何求sin2－cos的值？ 解：因为cos＝cos ＝－cos＝－， 所以sin2＝1－cos2 ＝1－＝. 又因为cos＝cos ＝cos＝， 所以sin2－cos＝－ ＝. 【感悟提升】解决条件求值问题的策略 (1)找差异：仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)会转化：将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【跟踪训练】 2．(1)若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________． 答案：－ 解析：由已知，得sinα＝，故所求式可化为＝＝＝－. (2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 解：∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角， ∴sin(α－75°)＝－ ＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝. 题型三　三角函数式的化简 　化简下列各式： (1)； (2)sincos(k∈Z)． [解]　(1)原式＝ ＝＝－＝－tanα. (2)当k为偶数时， 原式＝sincos＝sincos ＝－sincos＝－； 当k为奇数时， 原式＝sincos ＝sincos ＝sincos＝. 【感悟提升】三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan. (4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【跟踪训练】 3．化简下列各式： (1)； (2)(k∈Z)． 解：(1)原式＝＝＝tanα. (2)当k＝2n(n∈Z)时， 原式＝ ＝＝ ＝－1； 当k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝ ＝ ＝＝－1. 综上，原式＝－1. 1．cos600°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：C 解析：cos600°＝cos(360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.故选C. 2.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：C 解析：∵r＝1，∴cosθ＝－，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝. 3．(2024·黑龙江哈尔滨香坊区校级二模)当θ∈时，若cos＝－，则sin的值为(　　) A．－ B. C．± D. 答案：B 解析：∵θ∈，∴－θ∈，∵cos＝－，∴－θ∈，∴sin＝，∴sin＝sin＝sin＝.故选B. 4．(2024·江苏南京师范大学附属中学高一上期末)的值为________． 答案： 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝. 5.可化简为________． 答案：1－sinθ 解析：原式＝ ＝＝ ＝1－sinθ. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 给角求值——公式二、三 给值求值——公式四 利用公式二、三、四比较三角函数值的大小 利用公式一、二、三求关于sinα，cosα齐次式的值 利用公式一、三、四及同角三角函数的基本关系求三角函数式的值 公式一、二、三、四的综合应用 给角求值——公式一、三、四 利用公式一、二、三化简三角函数式并求值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用公式一、二、三、四及分类讨论思想化简三角函数式 利用公式一、二、三、四化简三角函数式；给值求值、给角求值 三角函数的定义及公式二的应用 利用公式一、二求三角函数式的值 新定义背景下公式一、二、四的应用 给值求值——公式一、二、三、四 诱导公式在三角形中的应用 1．sin210°＋cos(－60°)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案：A 解析：sin210°＋cos(－60°)＝－sin30°＋cos60°＝－＋＝0. 2．已知cos＝，则cos的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：C 解析：cos＝cos＝－cos＝－. 3．(2024·河南驻马店高一下3月阶段考试)已知a＝tan，b＝sin，c＝cos，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．a>c>b 答案：B 解析：因为a＝tan＝tan＝tan＝，b＝sin＝sin＝sin＝，c＝cos＝cos＝cos＝cos＝，所以a>b>c.故选B. 4．设tan(3π＋α)＝3，则的值为(　　) A．2 B．－2 C．－1 D．1 答案：A 解析：∵tan(3π＋α)＝tan[2π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tanα，∴tanα＝3，∴原式＝ ＝＝＝2.故选A. 5．若α∈，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为(　　) A．± B．－ C. D．－ 答案：B 解析：∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tanα＝－，α∈，且tanα＜0，∴α∈，∴sinα＞0，cosα＜0.又tanα＝＝－　①，sin2α＋cos2α＝1　②，由①②解得∴sinα＋cosα＝－＝－.故选B. 6．(多选)(2024·福建泉州中学高一上质检)在平面直角坐标系中，若角α与角β的始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin(α＋π)＝sinβ B．sin(α－π)＝－sinβ C．sin(－α)＝sinβ D．sin(2π－α)＝－sinβ 答案：BD 解析：不妨令α，β∈[0，2π)，由题意可知α＋β＝π或3π，所以sin(α＋π)＝sin(－β)＝－sinβ，故A错误；sin(α－π)＝sin(－β)＝－sinβ，故B正确；sin(－α)＝sin(β－π)＝－sinβ，故C错误；sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sinβ，故D正确．故选BD. 7．(2024·山东潍坊一中高一上月考)sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°tan(－1665°)＝________． 答案： 解析：sin(－1200°)tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)＝－sin(3×360°＋120°)·－cos(720°－135°)·tan(－5×360°＋135°)＝sin120°－cos135°tan135°＝. 8．(2024·福建宁德高一上期末)设f(θ)＝，则f＝________． 答案： 解析：f(θ)＝＝ ＝＝＝cosθ，所以f＝cos＝. 9．化简：(n∈Z)． 解：当n＝2k，k∈Z时， 原式＝＝＝； 当n＝2k＋1，k∈Z时， 原式＝ ＝＝ ＝－. 所以原式＝ 10．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝－cosα. (2)∵sin(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－. 又α是第三象限角， ∴cosα＝－，∴f(α)＝. (3)∵－＝－5×2π－， ∴f＝－cos ＝－cos＝－cos＝－. 11．(2024·山东青岛高一上期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1，点P从初始位置(0，1)开始，在圆C上按逆时针方向，以角速度 rad/s匀速旋转3 s后到达点P′，则点P′的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达点P′，点P′落在角β＝＋3×＝的终边上，cosβ＝cos＝－cos＝－，sinβ＝sin＝－sin＝－，故点P′的坐标为.故选D. 12．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(其中a，b，α，β为非零实数)，若f(2023)＝5，则f(2024)的值是(　　) A．5 B．3 C．8 D．不能确定 答案：B 解析：∵函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，∴f(2023)＝asin(2023π＋α)＋bcos(2023π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝5.∴asinα＋bcosβ＝－1.∴f(2024)＝asin(2024π＋α)＋bcos(2024π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝－1＋4＝3. 13．(多选)(2024·安徽芜湖一中高一上月考)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　) A．sinβ＝ B．cos(π＋β)＝ C．tanβ＝ D．cos(2π－β)＝－ 答案：ABD 解析：因为sin(π＋α)＝－sinα＝－，所以sinα＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.对于A，sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝，故A符合题意；对于B，cos(π＋β)＝cos(2π－α)＝cosα＝±，故B符合题意；对于C，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故C不符合题意；对于D，cos(2π－β)＝cos[2π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cosα＝±，故D符合题意．故选ABD. 14．已知＝3＋2，则[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值为________． 答案：2＋ 解析：由＝3＋2，得(4＋2)tanθ＝2＋2，所以tanθ＝＝.故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sinθcosθ＋2sin2θ)·＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋＋2×＝2＋. 15．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． 解：由已知条件，得sinA＝sinB，cosA＝cosB， 平方相加，得2cos2A＝1，所以cosA＝±. 又A∈(0，π)，所以A＝或. 当A＝时，cosB＝－<0， 所以B∈， 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去． 所以A＝，cosB＝， 所以B＝，所以C＝. 综上所述，A＝，B＝，C＝. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$