5.2.2 同角三角函数的基本关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.2.2　同角三角函数的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 教学重点：同角三角函数关系式的推导及应用． 教学难点：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明． 核心素养：1.借助同角三角函数的基本关系式进行运算，培养数学运算素养.2.利用同角三角函数关系式证明恒等式，培养逻辑推理素养． 知识点　　同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [提醒]　(1)“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能将sin2α写成sinα2. [拓展]　公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tanα＝⇒. 1．(利用平方关系求值)已知α∈，sinα＝，则cosα＝(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：A 2．(利用平方关系、商数关系求值)若cosα＝，且α为第一象限角，则tanα＝________． 答案： 3．(利用商数关系化简)化简＝________． 答案：cosθ 4．(利用平方关系化简)化简的结果是________． 答案：cos 题型一　三角函数求值 角度 基本关系式的简单应用 　已知cosα＝－，求sinα和tanα. [解]　sin2α＝1－cos2α＝1－＝， 因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－； 当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝. 【感悟提升】求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 【跟踪训练】 1．已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________． 答案：－ 解析：由已知，得由①，得sinα＝2cosα，代入②，得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.又α∈，所以cosα<0，所以cosα＝－. 角度 弦切互化求值 　已知tanα＝3，求的值． [解]　解法一：原式＝＝＝. 解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα. ∴原式＝＝＝. 解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴sinα＝，cosα＝，或sinα＝－，cosα＝－， ∴原式＝. [结论探究]　在本例条件不变的情况下，求sin2α＋cos2α的值． 解：原式＝＝＝＝. 【感悟提升】关于sinα，cosα的齐次式的求值方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 【跟踪训练】 2．已知＝2，计算下列各式的值： (1)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1. 解：由＝2，化简，得sinα＝3cosα， 所以tanα＝3. (1)解法一(换元)：原式＝＝＝. 解法二(弦化切)：原式＝＝＝. (2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝. 题型二　sinα±cosα，sinαcosα的应用 　已知sinα＋cosα＝－，0<α<π. (1)求sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值． [解]　(1)由sinα＋cosα＝－， 得(sinα＋cosα)2＝， 即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝， 所以sinαcosα＝－. (2)因为0<α<π，sinα＋cosα<0， 所以sinα>0，cosα<0，所以sinα－cosα>0. 所以sinα－cosα＝ ＝＝. 【感悟提升】sinα±cosα，sinαcosα三者的关系 (1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”． (2)sinθ±cosθ的符号的判定方法 sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示． 【跟踪训练】 3．已知0<α<π，sinα－cosα＝，求tanα的值． 解：解法一：由题意，有 解得cosα＝， 故或 因为0<α<π，所以sinα>0， 所以第二组解舍去，于是tanα＝. 解法二：将sinα－cosα＝两边平方， 得1－2sinαcosα＝，2sinαcosα＝， 则1＋2sinαcosα＝＝(sinα＋cosα)2， 由2sinαcosα＝>0， 可知0<α<，则sinα＋cosα＝， 由解得 所以tanα＝. 题型三　利用同角三角函数关系式化简与证明 角度 化简三角函数式 　化简·(其中α是第三象限角)． [解]　原式＝· ＝· ＝· ＝·. 因为α是第三象限角，所以sinα<0. 所以原式＝·＝－1. 【感悟提升】化简三角函数式的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 【跟踪训练】 4．(1)化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________． 答案：1 解析：原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1. (2)化简，其中α是第二象限角． 解：因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0， 所以sinαcosα<0， 所以＝ ＝＝－sinαcosα. 角度 证明三角恒等式 　求证：＝. [证明]　证法一： 左边＝＝ ＝＝＝右边． 所以等式成立． 证法二：右边＝＝ ＝＝ ＝左边． 所以等式成立． 【感悟提升】证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 【跟踪训练】 5．(1)求证：1＋tan2α＝. 证明：1＋tan2α＝1＋＝＝. (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2. 所以＋1＝2， 通分可得＝， 即cos2β＝2cos2α， 所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 1．已知α是第二象限角，cosα＝－，则sinα＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：A 解析：由题意，知sinα＝＝＝. 2．已知sinα＝，<α<π，则tanα＝(　　) A．－2 B．2 C. D．－ 答案：D 解析：因为<α<π，所以cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－. 3．(2023·全国乙卷)若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________． 答案：－ 解析：因为θ∈，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝＝，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sinθ＝－(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－. 4．(2024·山东枣庄滕州高一上期末)已知tanx＝2，则的值为________． 答案： 解析： ＝ ＝＝＝＝. 5．(2024·上海中学高一上期末)化简： ＝________． 答案： 解析： ＝ ＝＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 利用商数关系、平方关系化简三角函数式 利用sinα，cosα的齐次式求正切值 利用平方关系求三角函数式的值 已知正切值，求隐形齐次式的值 利用平方关系、商数关系求三角函数值 一元二次方程根与系数的关系和sinα＋cosα，sinαcosα关系的综合应用 利用商数关系求sinα，cosα齐次式的值 利用平方关系求参数值；利用商数关系求正切值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 证明三角恒等式 sinα＋cosα，sinαcosα关系的应用；利用隐形的齐次式求正切值 利用商数关系、平方关系判断等式是否成立 同角三角函数关系的应用；sinα±cosα，sinαcosα关系的应用 利用商数关系、平方关系求三角函数式的值 sinα±cosα，sinαcosα关系在平面几何中的应用 一元二次方程根与系数的关系，商数关系，平方关系的综合应用及由三角函数值的符号确定角所在的象限 1．(2024·湖南湘潭一中高一上阶段检测)化简cos2x的结果是(　　) A．tanx B.sinx C．cosx D. 答案：D 解析：cos2x＝cos2x＝·cos2x＝.故选D. 2．已知＝5，则tanα的值为(　　) A．25 B．2 C．－2 D．－25 答案：B 解析：由＝＝5，得15－5tanα＝tanα＋3，解得tanα＝2. 3．若α为第三象限角，则＋的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：B 解析：∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3. 4．若tanα＝2，则2sinαcosα＝(　　) A．± B．－ C. D. 答案：D 解析：2sinαcosα＝＝＝. 5．(2024·广东茂名五校联盟第一次联考)已知A是△ABC的内角，且sinA＋2cosA＝－1，则tanA＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：A 解析：由解得或∵A是△ABC的内角， ∴则tanA＝－. 6．(多选)(2024·河北正定中学高一上质检)已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　) A．m2－2n－1＝0 B．mn>0 C．m＋n＋1>0 D．m2－4n<0 答案：AC 解析：由题意知，0<sinα<1，0<cosα<1，sinα＋cosα＝－m，sinαcosα＝n.对于A，m2－2n－1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα－1＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－2sinαcosα－1＝0，A正确；对于B，－m>0，m<0，n>0，∴mn<0，B错误；对于C，m＋n＋1＝－(sinα＋cosα)＋sinαcosα＋1＝sinα(cosα－1)－(cosα－1)＝(sinα－1)(cosα－1)>0，C正确；对于D，m2－4n＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝(sinα－cosα)2≥0，D错误．故选AC. 7．(2024·广东普宁第二中学高一上第二次月考)已知函数f(x)＝ax－3＋x(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则＝________． 答案： 解析：令x－3＝0⇒x＝3，则f(3)＝1＋3＝4，故A(3，4)，∵A在θ的终边上，∴tanθ＝，∴＝＝＝. 8．(2024·湖北荆州石首市第一中学高一上月考)已知sinx＝，cosx＝，且x∈，则tanx＝________． 答案：－ 解析：由sin2x＋cos2x＝1，即＋＝1，得m＝0或m＝8.又x∈，∴sinx<0，cosx>0，∴当m＝0时，sinx＝－，cosx＝，此时tanx＝－；当m＝8时，sinx＝，cosx＝－，不符合题意．综上知，tanx＝－. 9．求证：－＝. 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边． ∴原式成立． 10．已知sinθ＋cosθ＝－， 求：(1)＋的值； (2)tanθ的值． 解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－， 所以1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－， 所以＋＝＝. (2)由(1)，得＝－， 所以＝－， 即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tanθ＝－3或tanθ＝－. 11．(多选)(2024·重庆八中高一上期末)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是(　　) A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x 答案：CD 解析：∵tan2x－2tan2y－1＝0，∴－2·－1＝0，即sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2x·cos2y，∴(1－cos2x)(1－sin2y)－sin2y·cos2x＝(cos2y＋sin2y)·cos2x，即1－cos2x－sin2y＋sin2y·cos2x－sin2y·cos2x＝cos2x，∴sin2y＝1－2cos2x＝1－2(1－sin2x)＝2sin2x－1，故A，B错误，C，D正确．故选CD. 12．(多选)(2024·山东德州一中高一上期末)已知θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cosθ＝－ C．tanθ＝－ D.＝－ 答案：AD 解析：由θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝>1，得sinθ>0，cosθ<0，则θ∈，故A正确．由sinθ－cosθ＝，两边平方得，1－2sinθcosθ＝，则2sinθcosθ＝－.又sinθ＋cosθ＝±＝±＝±＝±，当sinθ＋cosθ＝时，联立解得sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－，＝＝－；当sinθ＋cosθ＝－时，联立解得sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－，＝＝－.故B，C错误，D正确．故选AD. 13．(2024·湖北武汉第十四中学高一上月考)已知α是第二象限角，则cosα＋sinα＝________． 答案：0 解析：∵α为第二象限角，则cosα<0，sinα>0，∴cosα·＋sinα＝cosα·＋sinα·＝cosα·＋sinα·＝－1＋1＝0. 14.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值为________． 答案：－ 解析：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长为cosθ，短直角边长为sinθ，小正方形的边长为cosθ－sinθ，∵小正方形的面积是，∴(cosθ－sinθ)2＝，又由图可知，cosθ>sinθ，∴cosθ－sinθ＝.又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，即(cosθ＋sinθ)2＝，∴cosθ＋sinθ＝，∴sin2θ－cos2θ＝(cosθ＋sinθ)·(sinθ－cosθ)＝×＝－. 15．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求： (1)＋的值； (2)m的值； (3)方程的两根及θ的值． 解：(1)由题意，得 所以＋ ＝＋ ＝＝sinθ＋cosθ＝. (2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝， 将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝， 所以sinθcosθ＝， 由(1)，知＝，所以m＝. (3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以或 又θ∈(0，2π)，所以θ＝或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$