5.2.1 三角函数的概念-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.2.1　三角函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 教学重点：1.三角函数的定义.2.三角函数在各象限内的符号． 教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程． 核心素养：1.通过三角函数的概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过公式一的应用，提升数学运算素养． 知识点一　三角函数的概念 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 (2)三角函数的定义域 三角函数 定义域 y＝sinx x∈R y＝cosx x∈R y＝tanx x∈ [拓展]　三角函数的等价定义 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． [点拨]　对三角函数的定义的理解 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应． (2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二　三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点三　公式一 名称 符号语言 文字语言 公式一 sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值相等 [点拨]　(1)公式一的实质：角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α. 1．(正切函数的定义)已知角α的终边过点P(4，－4)，则tanα的值为(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案：B 2．(公式一的应用)sin(－675°)的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：C 3．(三角函数值符号的判断)已知sinα>0，cosα<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 4．(正弦函数、余弦函数的定义)已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα＋cosα＝________． 答案：－ 题型一　三角函数的定义及应用 　(1)(2024·广东中山一中高一上月考)求的正弦、余弦和正切值． [解]　如图，在Rt△OMP中，∠MOP＝⇒|OM|＝|MP|＝⇒P⇒sin＝－，cos＝－，所以tan＝1. (2)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值． [解]　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)， 由r＝|OQ|＝＝，得 sinα＝＝－，cosα＝＝－， tanα＝＝2. (3)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ＋tanθ的值． [解]　因为r＝，cosθ＝，所以x＝.又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3>0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝；当θ为第二象限角时，sinθ＝，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝. 【感悟提升】利用三角函数的定义求值的策略 (1)若已知角，则只需确定出该角与单位圆的交点坐标，然后利用三角函数的定义即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sinα＝，cosα＝，tanα＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 【跟踪训练】 1．(1)如果角α的终边经过点P，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________． 答案：　－　－ 解析：由题意知r＝|OP|＝＝1，所以sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－. (2)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值． 解：r＝＝5|a|， 若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－， tanα＝＝＝－； 若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. 题型二　判断三角函数值的符号 　判断下列各式的符号： (1)sin2023°cos2024°tan2025°； (2)tan191°－cos191°； (3)sin2cos3tan4. [解]　(1)∵2023°＝5×360°＋223°，2024°＝5×360°＋224°，2025°＝5×360°＋225°， ∴它们都是第三象限角， ∴sin2023°<0，cos2024°<0，tan2025°>0， ∴sin2023°cos2024°tan2025°>0. (2)∵191°角是第三象限角， ∴tan191°>0，cos191°<0， ∴tan191°－cos191°>0. (3)∵<2<π，<3<π，π<4<， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2cos3tan4<0. 【感悟提升】 1．判断三角函数值符号的步骤 (1)定象限：根据题目给出条件，确定角所在的象限； (2)定符号：根据角所在象限，利用三角函数的定义，最终确定符号． 2．由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． 【跟踪训练】 2．(1)判断下列各式的符号： ①sin145°cos(－210°)； ②sin3cos4tan5. 解：①∵145°角是第二象限角，∴sin145°>0. ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°角是第二象限角， ∴cos(－210°)<0，∴sin145°cos(－210°)<0. ②∵<3<π，π<4<，<5<2π， ∴sin3>0，cos4<0，tan5<0， ∴sin3cos4tan5>0. (2)(2024·山东济南一中高一上月考)已知sin2θ<0，且|sinθ|＝－sinθ，判断点P(tanθ，cosθ)在第几象限． 解：∵sin2θ<0，∴π＋2kπ<2θ<2π＋2kπ(k∈Z)， ∴＋kπ<θ<π＋kπ，即θ为第二或第四象限角． 又|sinθ|＝－sinθ，sinθ≤0， ∴θ是第四象限角，tanθ<0，cosθ>0， ∴点P(tanθ，cosθ)在第二象限． 题型三　公式一的应用 　求下列各式的值： (1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2ab·cos(－1080°)； (2)sin＋costan4π. [解]　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2. (2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋costan0＝sin＋cos×0＝. 【感悟提升】公式一的应用策略 (1)公式一可以统一写成f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式． (2)利用它可以把任意角的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值，即可把负角的三角函数化为0到2π角的三角函数，亦可以把大于2π角的三角函数化为0到2π角的三角函数，即对角实现负化正、大化小的转化． 【跟踪训练】 3．求下列各式的值： (1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°； (2)sincos＋tancos. 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝＋＝. (2)原式＝sincos＋tancos＝sincos＋tancos＝×＋1×＝. 1．已知角α的终边经过点P(3，－1)，则2sinα＋cosα＝(　　) A. B．－ C. D. 答案：C 解析：因为角α的终边经过点P(3，－1)，r＝＝，所以2sinα＋cosα＝2×＋＝.故选C. 2．若点P(x，y)是330°角终边上异于原点的一点，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：330°角终边与单位圆的交点坐标为，则＝tan330°＝＝－. 3．(多选)下列函数值中符号为正的是(　　) A．tan485°·sin(－447°) B．sin·cos·tan C. D. 答案：ACD 解析：因为485°＝360°＋125°，即485°是第二象限角，所以tan485°<0.因为－447°＝－360°－87°，即－447°是第四象限角，所以sin(－447°)<0，所以tan485°·sin(－447°)>0，故A符合题意；因为是第三象限角，所以sin<0.因为是第二象限角，所以cos<0.因为是第四象限角，所以tan<0，所以sin·cos·tan<0，故B不符合题意；因为188°是第三象限角，所以tan188°>0.因为－55°是第四象限角，所以cos(－55°)>0，所以>0，故C符合题意；因为＝4π＋，即是第二象限角，所以cos<0.因为－＝－2π－，即－是第四象限角，所以tan<0.因为是第二象限角，所以sin>0，所以>0，故D符合题意．故选ACD. 4．已知sinθtanθ<0，那么角θ是第________象限角． 答案：二或第三 解析：因为sinθtanθ<0，所以sinθ<0，tanθ>0或sinθ>0，tanθ<0.若sinθ>0，tanθ<0，则θ在第二象限．若sinθ<0，tanθ>0，则θ在第三象限．所以角θ是第二或第三象限角． 5．计算：sin810°＋cos360°－tan1125°＝________． 答案：1 解析：sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 用公式一求三角函数值 正切函数的概念 已知三角函数值的符号，判断角所在的象限 正弦函数、余弦函数的概念 三角函数值的符号的应用 根据角终边上某点的坐标判断三角函数式的符号 利用三角函数的概念求值 利用正弦函数、正切函数的概念求值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用公式一求三角函数式的值 已知角的大小(所在象限)判断三角函数式的符号 与三角函数概念有关的新定义问题 已知角的终边所在的直线，求三角函数式的值 由三角函数值的符号求角的范围 扇形的弧长公式、三角函数的概念与公式一的综合 由三角函数值的符号求角的范围；确定角终边所在的象限；判断三角函数式的符号 1．sin(－1380°)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：sin(－1380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin60°＝. 2．(2024·湖北部分重点高中高一上期末)若点P在角α的终边上，则tanα的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：由三角函数的定义可知tanα＝＝－.故选B. 3．已知点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：由点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限可得sinθ<0，sinθcosθ>0，可得sinθ<0，cosθ<0，∴角θ的终边所在的象限是第三象限． 4．已知角α的终边经过点(－，m)(m≠0)，且sinα＝m，则cosα的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．± 答案：C 解析：∵角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sinα＝m＝，∴m2＝，∴cosα＝＝－. 5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案：B 解析：由α＝2kπ－(k∈Z)，得角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，所以y＝－1＋1－1＝－1. 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A. B．cosα－sinα C．sinαcosα D．sinα＋cosα 答案：AB 解析：由题意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0.对于A，＞0；对于B，cosα－sinα＞0；对于C，sinαcosα＜0；对于D，sinα＋cosα符号不确定． 7．已知角α的终边经过点P(5，a)，且tanα＝－，则sinα＋cosα＝________． 答案：－ 解析：∵tanα＝＝－，∴a＝－12，∴r＝＝13，∴sinα＝－，cosα＝.∴sinα＋cosα＝－. 8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sinαtanβ＝________． 答案：－ 解析：由任意角的正弦、正切函数的定义知，sinα＝，tanβ＝＝－，所以sinαtanβ＝×＝－. 9．计算： (1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°； (2)sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin. 解：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝＋＋3×1－(－1)＝5. (2)原式＝sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin＝sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－. 10．判断下列各式的符号： (1)sinαcosα(其中α是第三象限角)； (2)sin385°cos(－105°)tan225°； (3)sin1cos2tan. 解：(1)因为α是第三象限角， 所以sinα<0，cosα<0，所以sinαcosα>0. (2)因为385°是第一象限角，所以sin385°>0， 因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0， 因为225°是第三象限角， 所以tan225°>0， 所以sin385°cos(－105°)tan225°<0. (3)因为0＜1＜，＜2＜π， 所以sin1>0，cos2<0. 因为－＝－6π＋，所以tan>0， 所以sin1cos2tan<0. 11．平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作schα.若schα＝(0<α<π)，则tanα＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：由题意得schα＝＝＝(0<α<π)，所以25(y－x)2＝x2＋y2，且y>x，即12－25·＋12＝0，且y>x，解得＝，故tanα＝. 12．(多选)(2024·广东清远高一期末)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝－x上，则4cosα－sin2α的值可能是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：AC 解析：若终边与射线y＝－x(x≥0)重合，取终边上一点P(1，－)，则|OP|＝2，故cosα＝，sinα＝－，故4cosα－sin2α＝2－＝；若终边与射线y＝－x(x≤0)重合，取终边上一点Q(－1，)，则|OQ|＝2，故cosα＝－，sinα＝，故4cosα－sin2α＝－2－＝－.故选AC. 13．(2024·安徽合肥八中高一上月考)设0≤θ<2π，若sinθ<0且cos2θ<0，则θ的取值范围是________． 答案： 解析：因为0≤θ<2π且sinθ<0，所以π<θ<2π.又因为cos2θ<0，所以2kπ＋<2θ<2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z.因为π<θ<2π，所以k＝1，所以θ的取值范围是. 14．点P从点(1，0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________． 答案： 解析：点P从点(1，0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，所以点Q是角与单位圆的交点，所以点Q，又cos＝cos＝cos＝－，sin＝sin＝sin＝，所以点Q的坐标为. 15．已知sinθ<0，tanθ>0. (1)求角θ的集合； (2)求角的终边所在的象限； (3)试判断sincostan的符号． 解：(1)因为sinθ<0，所以角θ的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上，因为tanθ>0，所以θ的终边在第一、三象限，所以θ的终边在第三象限，所以角θ的集合为. (2)由(1)可得，kπ＋<<kπ＋，k∈Z. 当k是偶数时，角的终边在第二象限； 当k是奇数时，角的终边在第四象限． (3)由(2)可得， 当k是偶数时，sin>0，cos<0，tan<0， 所以sincostan>0； 当k是奇数时，sin<0，cos>0，tan<0， 所以sincostan>0. 综上，sincostan>0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$