5.1.2 弧度制-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 5.1.2　弧度制 (教师独具内容) 课程标准：1.了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.体会引入弧度制的必要性． 教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：角度与弧度的互化及扇形面积公式的运用． 核心素养：1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象素养.2.借助弧度制与角度制的互化，提升数学运算素养． 知识点一　度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1__rad． [提醒]　(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以省略不写． (3)角度制和弧度制表示角时不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． (4)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 知识点二　弧度数的计算及弧度与角度互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． [提醒]　在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”． 1．(弧度化角度)化为角度是________． 答案：252° 2．(角度化弧度)75°化为弧度是________． 答案： 3．(扇形面积公式的应用)半径为3，圆心角为60°的扇形的面积为________． 答案： 4．(弧长公式的应用)若圆的半径为r，则该圆上长为2r的弧所对的圆心角为________． 答案：2 题型一　角度与弧度的互化 　(1)将下列角度与弧度进行互化： ①20°＝________；②－15°＝________； ③＝________；④－＝________． [解析]　①20°＝20×＝.②－15°＝－15×＝－.③＝×°＝105°.④－＝－×°＝－396°. [答案]　①　②－　③105°　④－396° (2)把－157°30′化成弧度为________． [解析]　－157°30′＝－157.5°＝－×＝－. [答案]　－ 【感悟提升】弧度与角度互化的策略 (1)牢记π rad＝180°. (2)度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数． (3)将角度转化为弧度时，要先把带有分、秒的部分化为度，再化成弧度． (4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数． 【跟踪训练】 1．(2024·湖南长沙一中高一上月考)将下列各角度与弧度互化： (1)67.5°；(2)112°30′；(3)；(4)3. 解：(1)67.5°＝67.5×＝. (2)112°30′＝112.5°＝112.5×＝. (3)＝×°＝405°. (4)3＝3×°≈3×57.30°＝171.90°. 题型二　利用弧度制表示角 　(1)在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________(用弧度表示)． [解析]　因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z), 当k＝0时，θ＝72°＝；当k＝1时，θ＝432°＝，所以在[0，4π]中与72°角终边相同的角有，. [答案]　， (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)． [解]　①以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)． ∴终边落在阴影部分内的角的集合为. ②以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不妨设终边落在右边阴影部分内的角的集合为M1，终边落在左边阴影部分内的角的集合为M2， 则M1＝， M2＝. ∴终边落在阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝. 【感悟提升】用弧度制表示角的关注点 (1)在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． (2)用弧度制表示区域角时，可以先写出一周的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z. 【跟踪训练】 2．(1)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π]内与角的终边相同的角是________． 答案：，，， 解析：∵θ＝＋2kπ，k∈Z，∴＝＋，k∈Z.由∈[0，2π]，得k＝0，1，2，3，即＝，，，. (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 解：由题意可知，30°＝，210°＝，则终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z.又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为. 题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 　已知扇形的周长为8 cm. (1)若该扇形的圆心角为0.5 rad，求该扇形的面积； (2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角． [解]　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形的面积为S. (1)由题意，得2r＋l＝8，l＝0.5r， 解得r＝3.2 cm，l＝1.6 cm， 所以S＝lr＝2.56(cm2)． (2)由2r＋l＝8，得l＝8－2r，r∈(0，4)， 则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2 cm时，Smax＝4 cm2，此时l＝4 cm，圆心角α＝＝2. [条件探究]　在本例的条件中，若“周长为8 cm”改为“面积为8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长． 解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， 则由S＝αr2，得8＝××r2. 所以r＝4 cm. 所以l＝αr＝×4＝2(cm)． 【感悟提升】扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧长公式l＝αr，面积公式S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：在研究与扇形弧长、面积有关的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题． 【跟踪训练】 3．已知扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)因为α＝75°＝，所以l＝αR＝12×＝5π(cm)，S＝lR＝30π(cm2)． (2)由已知，得l＋2R＝20， 则l＝20－2R，0<R<10. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25. 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 1．将弧度化为角度的结果为(　　) A.° B．120° C.° D．270° 答案：A 解析：∵1 rad＝°，∴ rad＝×°＝°. 2．已知α＝－3 rad，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：∵α＝－3 rad≈－3×57.30°＝－171.9°，∴角α的终边在第三象限．故选C. 3.(2024·江苏南京航空航天大学附属中学高一上月考)工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式．某同学想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为20 cm，内圆半径为10 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为(　　) A. cm2 B.100π cm2 C．400π cm2 D. cm2 答案：B 解析：扇形的圆心角为120°＝，大扇形的面积为××202＝，小扇形的面积为××102＝，所以制作这样一面扇面需要的布料为－＝100π cm2.故选B. 4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，则α＝________． 答案： 解析：因为－570°＝－＝－4π＋，所以α＝. 5．(2024·湖南湘潭一中高一上月考)若弧长为1，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S，则＝________，扇形的周长为________． 答案：2　2 解析：设扇形的半径为R，弧长为l.因为扇形的半径R＝＝，所以扇形的面积S＝lR＝×1×＝.所以＝＝＝2，扇形的周长为l＋2R＝1＋2×＝2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 角度化为弧度 弧度制下终边相同的角的表示 弧度制中区域角的表示 弧度制下确定n分角的终边的位置 角的度量制；扇形的弧长公式 扇形的弧长、周长、面积公式的应用 特殊位置角的弧度表示；用弧度制表示区域角 弧度与角度的互化；角的大小比较 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 角度化为弧度；弧度制下求与已知角终边相同的角 扇形的圆心角、弧长、面积公式的应用 弧长的求法 数学文化中扇形面积的计算 角度、弧度的转化；扇形的弧长、面积公式 扇形的弧长与面积公式在实际中的应用 实际问题中与扇形的圆心角、 弧长、面积有关的最值问题 1．600°化为弧度为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：600°＝600×＝.故选A. 2．在[0，2π)范围内，与角－终边相同的角是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1可得与角－终边相同的角是.故选D. 3．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C. 4．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 答案：D 解析：∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上．故选D. 5．(2024·陕西咸阳实验中学高一上月考)角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于周角的，即2π弧度＝360°＝6000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0－03，123密位写成1－23.设圆的半径为1，那么10－00密位的圆心角所对的弧长为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意知，10－00密位的圆心角为×2π＝，所以弧长为×1＝.故选C. 6．(多选)小夏同学在学习了“任意角和弧度制”后，对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝，OB＝OA＝2，则(　　) A．∠AOB＝30° B.的长度为 C．扇形OAB的周长为＋4 D．扇形OAB的面积为 答案：BC 解析：因为∠AOB＝＝60°，所以A错误；的长度为l＝αr＝×2＝，所以B正确；扇形OAB的周长为＋4，所以C正确；扇形OAB的面积为S＝lr＝××2＝，所以D错误．故选BC. 7．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________． 答案： 解析：因为y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为. 8．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为________． 答案：α＜β＜γ＜θ＝φ 解析：解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ＝φ. 解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ＝φ. 9．已知α＝1690°， (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋(k∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π(k∈Z)， 解得－<k<(k∈Z)， ∴k＝－2，－1，0，1. ∴θ是－，－，，. 10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，弦AB所对的圆心角为α. (1)求α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形． ∴α＝∠AOB＝60°＝ rad. (2)由(1)可知α＝ rad，r＝10， ∴弧长l＝αr＝×10＝， ∴S扇形＝lr＝××10＝， 而S△AOB＝AB·AB＝×10×5＝25， ∴S＝S扇形－S△AOB＝25. 11.(2024·广西河池八校高一上第二次联考)如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为(　　) A. B. C. D．π 答案：A 解析：如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝，又∠BCD＝＝，所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝－＝，所以＝×3＝.故选A. 12．(2024·山西运城高一上期末)《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)，书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5(单位：弧度)，则该“环田”的面积为(　　) A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 答案：C 解析：设中周的半径是R1，外周的半径是R2，圆心角为α＝5，解得 则该“环田”的面积为S＝αR－αR＝×5×(252－192)＝660平方步．故选C. 13.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A．1 s时，∠BOA的弧度数为＋3 B. s时，扇形AOB的弧长为 C. s时，扇形AOB的面积为 D. s时，A，B在单位圆上第一次相遇 答案：AB 解析：经过1 s后，A运动的角度为1，B运动的角度为－2，∴∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；当经过 s时，扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；当经过 s时，∠BOA＝×1＋×2＋＝，∴扇形AOB的面积为××12＝，故C错误；设A，B第一次相遇时所用的时间是t，则3t＋＝2π，∴t＝(s)，即第一次相遇的时间为 s，故D错误．故选AB. 14．如图所示，已知一长为，宽为1的长方形木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程为________，走过的弧所对应的扇形的总面积为________． 答案：　 解析：所在的圆的半径是2，所对的圆心角为，所在的圆的半径是1，所对的圆心角为，所在的圆的半径是，所对的圆心角是.点A走过的路程是3段弧长之和，即2×＋1×＋×＝. 3段弧所对应的扇形的总面积为×2×π＋×1×＋××＝. 15.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y取得最大值？ 解：(1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)， ∴θ＝(0<x<10)． (2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)． 装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x， ∴花坛的面积与装饰总费用的比 y＝， 令t＝17＋x(17<t<27)， 则y＝－≤－＝， 当且仅当t＝，即t＝18时，y取得最大值，此时x＝1，θ＝. 故当x＝1时，y取得最大值. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$