4.5.3 函数模型的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.5.3　函数模型的应用 (教师独具内容) 课程标准：收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 教学重点：建立函数模型刻画实际问题． 教学难点：函数模型的建立． 核心素养：通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提升数学建模素养和数据分析素养． 知识点　　建立函数模型解决问题的基本过程 1．(拟合数据构建函数模型)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组对应数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案：D 2．(指数型函数模型的应用)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2023年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2023年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m 答案：A 3．(对数型函数模型的应用)某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y(单位：度)与昼夜温差x(单位：℃，5≤x≤35)近似满足函数模型y＝·ln (x－3)＋10.当温差为30 ℃时，成熟后甜瓜的甜度约为(参考数据：log23≈1.585)(　　) A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1 答案：C 题型一　指数型函数模型的应用 　某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示培养时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 [解析]　因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. [答案]　C 【感悟提升】指数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的函数，其特点为当a>0，b>1时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越快． (2)应用：指数型函数模型是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数型函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 【跟踪训练】 1．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间存在函数关系y＝c·(c，m为常数)． (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问：至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？ 解：(1)由题意可得 解得 故c，m的值分别为128，. (2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态． 题型二　对数型函数模型的应用 　有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，31.2≈3.74，31.4≈4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度约为多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少个单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ [解]　(1)由题意，x0＝2，x＝8100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故候鸟的飞行速度约为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)， 解得x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减可得1＝log3，解得＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 【感悟提升】对数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)的函数，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)应用：根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【跟踪训练】 2．(2024·江苏南京东山高级中学高一上质检)某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元．该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，需要有一名职工下岗)．据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利0.2万元，每台机器人购置费及日常维护费折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴．如果购进智能机器人的数量超过100台，则工厂的年利润y＝8202＋lg x(万元)(x为机器人台数，且x<320)． (1)写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数x的函数关系式； (2)为使工厂获得最大经济效益，应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少(参考数据：lg 2≈0.3010)? 解：(1)当购进智能机器人台数x≤100时，工厂的年利润y＝(320－x)(20＋0.2x)－4x－2x＝－0.2x2＋38x＋6400， 所以 y＝ (2)由(1)知，当0≤x≤100时，y＝－(x－95)2＋8205， 则当x＝95时，ymax＝8205， 当100<x<320时，y＝8202＋lg x为增函数， 所以8202＋lg x<8202＋lg 320＝8202＋1＋5lg 2≈8204.505<8205. 综上可知，购进95台智能机器人可使工厂获得最大经济效益，此时工厂的最大年利润是8205万元． 题型三　建立拟合函数模型解决实际问题 　18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表： 行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4(　　) 5(木星) 6(土星) 7(　　) 距离 0.7 1.0 1.6 5.2 10.0 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，并计算在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？ [解]　由数值对应表作散点图如图． 由图知采用指数型函数作模型， 设f(x)＝abx＋c. 代入(1，0.7)，(2，1.0)，(3，1.6) 得 (③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②， 得解得 ∴f(x)＝·2x＋. ∵f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6， ∴谷神星大约在离太阳2.8天文单位处，在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位． 【感悟提升】建立拟合函数与预测的基本步骤 【跟踪训练】 3．(2024·湖北武汉第三中学高一上月考)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%. (1)若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)； (2)若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 解：(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)， 当x＝100时，y＝9，代入解得k＝， 所以y＝lg x＋＋5. 当x∈[50，500]时，y＝lg x＋＋5是增函数，当x＝50时，y＝lg 50＋6＝lg 5＋7>7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求． (2)对于函数模型f(x)＝＝15－， a为正整数，函数在[50，500]上单调递增， f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344. 要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立， 则a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立， 所以a≥315. 综上所述，315≤a≤344， 所以满足条件的最小的正整数a的值为315. 1．在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则下列函数(其中a，b为待定系数)中，与x，y的函数关系最接近的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝bx C．y＝ax2＋b D．y＝ 答案：B 解析：散点图如图，由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D.故选B. 2．(2024·辽宁葫芦岛高一上月考)某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足M＝2.8－lg N．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋的成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为(≈1.259) (　　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 答案：D 解析：由题意知，2.9＝2.8－lg N，整理得lg N＝－0.1，解得N＝10－0.1，又10－0.1＝≈≈0.8，故N≈0.8.故选D. 3.(多选)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，开始在某水域投放一定面积的该生物，已知该生物覆盖面积y(单位：平方米)与时间t(单位：月)之间的函数关系式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的图象如图所示，下列命题中正确的是(　　) A．开始在水域中投放的该生物的面积是0.5平方米 B．第8个月该生物的覆盖面积超过60平方米 C．该生物每月增加的面积都相等 D．若该生物面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1＋t3 答案：ABD 解析：该生物覆盖面积y(单位：平方米)与时间t(单位：月)之间的函数关系式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，函数的图象经过(2，2)，所以2＝a2－1，解得a＝2.当t＝0时，y＝，故A正确；当第8个月时，y＝28－1＝27＝128>60，故B正确；当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月增加的面积不相等，故C错误；根据函数的解析式，得2t1－1＝10，解得t1＝log210＋1，同理t2＝log220＋1，t3＝log230＋1，所以2t2＝2log220＋2＝log2400＋2>t1＋t3＝log2300＋2，所以2t2>t1＋t3，故D正确．故选ABD. 4．工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件． 答案：1.75 解析：由题意知解得a＝－2，b＝2，所以y＝－2×0.5x＋2.将x＝3代入得y＝1.75. 5．(2024·云南楚雄期中质量监测)生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝alog2(a≠0)，其中a是残留系数，则大约经过________年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.(精确到0.1，参考数据：≈1.41) 答案：7.5 解析：当t＝2时，y＝alog2＝2a，由alog2＝a，得t＝6－1≈7.5. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 指数增长型函数模型的应用——求函数值 对数型函数模型的应用——物理学中的应用 拟合数据构建函数模型 指数衰减型函数模型的应用——求自变量的值 对数型函数模型的应用——航天问题 二次函数、指数增长型函数模型的应用 指数增长型函数模型的应用——民生问题 对数型函数模型的应用——生物学中的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 指数增长型函数模型的应用——求解析式及图象问题 指数衰减型函数模型的应用——污染治理问题 指数衰减型函数模型的应用——平面几何问题 对数型函数、二次函数模型的应用——安全距离问题 指数衰减型函数模型的应用——茶水冷却问题 对数型函数模型的应用——最值问题、不等式问题 建立拟合函数模型解决实际问题 1．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　) A．14400亩 B．172800亩 C．17280亩 D．20736亩 答案：C 解析：设第x年造林y亩，则y＝10000(1＋20%)x－1，所以当x＝4时，y＝10000×1.23＝17280(亩)． 2．(2024·山东济南章丘四中高一上第二次质量检测)2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝0.000126 m－1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强约是海平面大气压强的(0.000126×8848.86≈1.1)(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由ln p0－ln p＝kh可得＝e－kh，设珠穆朗玛峰峰顶的大气压强为p1，则＝e－0.000126×8848.86≈. 3．有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是(　　) A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2 答案：C 解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除D；图象不符合对数函数的图象特征，排除A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B.故选C. 4．(2024·安徽部分学校阶段性检测)某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r(r>0)、劳累程度T(0<T<1)有关，并建立了数学模型E＝10－10T·2－0.14r，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的(　　) A．2－2.8倍 B．21.4倍 C．22.8倍 D．25.6倍 答案：B 解析：设李老师现在的劳累程度是T1，工作10年时的劳累程度是T2，依题意，10－10T1·2－0.14×20＝10－10T2·2－0.14×10，所以＝21.4.故选B. 5．(2024·浙江绍兴高一上期末)仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十七号”载人飞船于北京时间2023年10月26日11时14分发射，约10分钟后，“神舟十七号”载人飞船与火箭成功分离．早在1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v(单位：km/s)满足公式：v＝v0ln ，其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8 km/s，则火箭发动机的喷气速度约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)(　　) A．10 km/s B．20 km/s C. km/s D．40 km/s 答案：B 解析：由所给信息，可得8＝v0ln ，m1＝2m2，则8＝v0ln ＝v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，故v0≈20.故选B. 6．(多选)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(单位：万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是(　　) A．甲工厂今年5月份的利润为86万元 B．乙工厂今年3月份的利润为18万元 C．今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润 D．从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润 答案：ACD 解析：依题意，由有解得a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.由有解得a2＝，b2＝5，∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.∴甲工厂今年5月份的利润为f(5)＝86万元，A正确；乙工厂今年3月份的利润为g(3)＝14万元，B错误；作函数图象如图，从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当1<x<5时，有f(x)>g(x)；当5<x≤12时，有f(x)<g(x)．∴今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润，C正确；从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润，D正确．故选ACD. 7．恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．联合国对消费水平的规定标准如表： 家庭类型 贫穷 温饱 小康 富裕 最富裕 n n>0.6 0.5<n≤0.6 0.4<n≤0.5 0.3<n≤0.4 n≤0.3 实施精准扶贫以来，根据对某山区贫困家庭消费支出情况(单位：万元)的抽样调查，2019年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元，预测2019年到2023年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山区的家庭2023年将处于________水平． 答案：富裕 解析：2019年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元，预测2019年到2023年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，故2023年每个家庭平均消费支出总额为2×1.34万元，食物消费支出为2万元，可得n＝≈0.35，0.3<n≤0.4，预测该山区的家庭2023年将处于富裕水平． 8．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处________米的位置，信息素浓度为. 答案：4 解析：由题意可知，t＝1，x＝2，y＝m，则ln m＝－4k＋a　①，当y＝，t＝4时，ln ＝－ln 4－x2＋a，即ln m－ln 2＝－ln 2－x2＋a，则ln m＝－x2＋a　②，联立①②，解得x＝4.故释放信息素4秒后，距释放处4米的位置，信息素浓度为. 9．某地区为响应上级号召，在2024年初，新建了一批200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房面积的年平均增长率只能达到5%. (1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域； (2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？ 解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后，廉价住房面积为200(1＋5%)2； …… 经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x， 所以y＝200(1＋5%)x＝200×1.05x(x∈N＋)． (2)作函数y＝f(x)＝200×1.05x(x∈N＋)的图象，如图所示． 作直线y＝300，与函数y＝200×1.05x的图象交于点A，则A(x0，300)，点A的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值． 因为8<x0<9，则取x0＝9， 即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米． 10．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物． (1)求常数k的值； (2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11) 解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝90%P0. 于是有90%P0＝P0e－5k， 解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022)． (2)由(1)，知P＝， 当P＝40%P0时，有0.4P0＝， 解得t＝≈＝≈42. 故污染物减少到40%至少需要42 h. 11．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是y＝107(e＝2.71828…)，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为(　　) A．ln 2 B．ln 3 C．ln D．ln 答案：D 解析：由题意，点P的初始速度107即为点Q的速度．当P在靠近A的三等分点时，×107＝107，解得x＝107 ln ，当P在中点时，×107＝107，解得x＝107ln 2，所以经过的时间为÷107＝ln .故选D. 12．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为s，驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1，刹车距离为s2，则s＝s1＋s2.而s1(单位：m)与反应时间t(单位：s)有关，s1＝10ln (t＋1)，s2(单位：m)与车速v(单位：km/h)有关，s2＝bv2.某人刹车反应时间为(－1) s，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则b＝________；若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为________ m(精确到1)． 答案：　61 解析：∵刹车反应时间为(－1) s，∴s1＝10ln (－1＋1)＝10ln ＝5.当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则s2＝b·602＝20，解得b＝.∴s2＝v2.若v＝100，则s2＝×1002≈56，则该汽车的安全距离s＝s1＋s2≈5＋56＝61(m)． 13．闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t分钟后茶水的温度θ(单位：℃)可由公式θ(t)＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是根据一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80 ℃，放在20 ℃的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是50 ℃. (1)求k的值； (2)经验表明，温度为80 ℃的该红茶水放在20 ℃的空气中自然冷却至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感？(结果精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) 解：(1)由题意可知， θ(10)＝20＋(80－20)e－10k＝50， 所以e－10k＝，10k＝ln 2，解得k＝. (2)设刚泡好的该红茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感， 由题意可知，θ1＝80，θ0＝20， 令θ(t)＝60， 所以60＝20＋(80－20)e－，e－＝，t＝ln 3－ln 2， 所以t＝≈≈5.7， 所以刚泡好的该红茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感． 14．某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位：时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)． (1)若a＝，求一天中哪个时刻该厂的污水污染指数最低； (2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？ 解：(1)若a＝，则f(x)＝＋2≥2. 当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0， 得x＋1＝25＝5，即x＝4， 所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低． (2)设t＝log25(x＋1)， 则当0≤x≤24时，0≤t≤1. 设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]， 则g(t)＝ 显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数， 则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}． 因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2， 所以解得a≤. 又a∈(0，1)，故调节参数a应控制在内． 15．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件； (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2. 试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求． 解：(1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是： 当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数； ②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立． (2)①对于函数模型f(x)＝＋2： 当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数， 且f(x)≥f(10)＝≥1，即f(x)≥1恒成立， 而若使函数f(x)＝＋2≤在[10，1000]上恒成立， 则29x≥300在[10，1000]上恒成立． 又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300， 所以f(x)≤在[10，1000]上不恒成立． 故该函数模型不符合公司的要求． ②对于函数模型f(x)＝4lg x－2： 当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数， 且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2>1， 所以f(x)≥1在[10，1000]上恒成立． 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝的图象，如图所示． 由图象可知当x∈[10，1000]时，4lg x－2≤恒成立．故该函数模型符合公司的要求． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$