4.5.2 用二分法求方程的近似解-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.5.2　用二分法求方程的近似解 (教师独具内容) 课程标准：1.探索用二分法求方程近似解的思路，并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性． 教学重点：掌握用二分法求方程近似解的一般步骤． 教学难点：利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 核心素养：通过本节内容的学习，掌握求方程近似解的方法，提升数据分析素养和数学运算素养． 知识点一　二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [点拨]　二分法的依据是函数零点存在定理，仅适用于函数的变号零点(函数图象通过零点时函数值的符号改变)． 知识点二　用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0． (2)求区间(a，b)的中点c． (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． [想一想]　为什么当|a－b|<ε时，可将a或b的值看成函数零点的近似值？ 提示：当|a－b|<ε时，因为函数零点的真实值x0∈(a，b)，所以|a－x0|<|a－b|<ε，所以a与函数零点的真实值x0的误差不超过精确度ε，故a可以作为函数零点的近似值．同理，b也可以作为函数零点的近似值． 1．(用二分法求函数零点近似值的条件)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　) 答案：A 2．(用二分法求方程近似解步骤终止的条件)用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　) A．|x1－x2|＞ε B．|x1－x2|＜ε C．x1＜ε＜x2 D．x2＜ε＜x1 答案：B 3．(用二分法确定零点所在的区间)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间(2，3)的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________． 答案：(2，2.5) 题型一　二分法的概念 　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　) A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 [解析]　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3. [答案]　C 【感悟提升】用二分法求函数零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 【跟踪训练】 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案：C 解析：由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数f(x)的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)． [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)f(1)＜0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点． 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0， 又f(1)＞0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) f(c) (0，1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5) ＜0 f(0.75) ＞0 f(0.625) ＜0 (0.625，0.75) 0.6875 f(0.625) ＜0 f(0.75) ＞0 f(0.6875) ＜0 (0.6875，0.75) |0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1 因为|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解． [条件探究]　若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？ 解：在例2的基础上，取区间(0.6875，0.75)的中点x＝0.71875，因为f(0.71875)<0，f(0.75)>0且|0.71875－0.75|＝0.03125<0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个正实数近似解． 【感悟提升】利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 【跟踪训练】 2．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－6零点的近似值(精确度为0.1)． 解：因为函数f(x)＝2x＋3x－6在R上单调递增，且f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在R上存在唯一的零点，设为x0，则x0∈(1，2)．利用二分法，可以得到下表： 区间(a，b) 中点值 f(a) f(b) f (1，2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)≈1．33>0 (1，1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)≈0．13>0 (1，1.25) 1.125 f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)≈－0.44<0 (1.125，1．25) 1.1875 f(1.125)<0 f(1.25)>0 f(1.1875)≈－0.16<0 (1.1875，1．25) |1.25－1.1875|＝0.0625<0.1 我们得到区间(1.1875，1.25)的长度为0.0625，它小于0.1，因此可选取这一区间的任意一个数作为函数f(x)零点的近似值，如可取x0＝1.2作为函数f(x)零点的一个近似值． 1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x 答案：C 解析：对于C，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值． 2．设函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中，有f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为(　　) A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 答案：B 解析：由f(1.25)f(1.5)＜0知方程的解所在的区间为(1.25，1.5)． 3．(2024·山东青岛二中高一上期末)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为(　　) A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.125) 答案：A 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)<0，f(0.5)>0知x0∈(0，0.5)．再计算(0，0.5)的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．故选A. 4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)． 答案：0.6875(答案不唯一) 解析：∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，∴方程的解在(0.6875，0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1，∴方程的一个近似解为0.6875. 5．(2024·江西抚州高一上学业质量监测)在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似解(精确度为0.001)时，若我们选取初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求，至少需要计算的次数是________． 答案：7 解析：设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于26＝64，27＝128，故要达到精确度要求，至少需要计算7次． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 对二分法定义的理解 用二分法求函数零点的近似值 用二分法求函数零点近似值的步骤——精确度问题 用二分法确定方程的解所在的区间——对数方程 用二分法确定函数零点所在的区间 用二分法求方程的近似解——三次方程 用二分法求函数零点近似值的条件 用二分法求方程的近似解的步骤——区间选择问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用二分法求方程的近似解——指数方程 用二分法确定方程的解所在的区间——三次方程 用二分法求两函数图象交点横坐标的近似值 用二分法求函数零点近似值的步骤——二分区间的次数问题 用二分法确定函数零点所在的区间及应用 二分法的应用——确定函数的零点 用二分法求方程的近似解——指数方程 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) 答案：D 解析：只有变号零点才能用二分法求解．故选D. 2．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4 答案：B 解析：因为f(0.72)＞0，f(0.68)<0，|0.72－0.68|＝0.04<0.1，所以零点在区间(0.68，0.72)内，故只有B符合要求． 3．(2024·山东日照一中高一上月考)用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　) A. B. C．ε D．2ε 答案：B 解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过. 4．用二分法求方程ln x－＝0在[1，2]上的解时，取中点c＝1.5，则下一个有解区间为(　　) A．(1，1.25) B．(1，1.5) C．(1，2) D．(1.5，2) 答案：D 解析：令f(x)＝ln x－，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e>ln 2－ln 4＝ln 2－ln 2＝0，f(1.5)＝ln －＝ln －＝<(ln 4－2)<0，所以下一个有解区间为(1.5，2)．故选D. 5．(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A．[1，4] B．[－2，－0.5] C．[－2，2.5] D．[－0.5，1] 答案：BD 解析：因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]．故选BD. 6．(多选)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260 f(1.4375) ≈0.162 f(1.40625)≈－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解(精确度为0.05)可以是(　　) A．1.4125 B．1.375 C．1.42 D．1.3925 答案：AC 解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625，1.4375)内，又|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.05，结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解(精确度为0.05)可以是1.4125，1.42.故选AC. 7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________． 答案：a2＝4b 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b. 8．(2024·广东珠海一中高一上期末)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________． 答案：1.5，1.75，1.875，1.8125 解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.8125)． 9．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]上的近似解(精确度为0.2)．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 x 1.625 1.75 1.875 2x 3.08 3.36 3.67 解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1，2) x1＝1.5 f(x1)≈0.33>0 (1，1.5) x2＝1.25 f(x2)≈－0.37<0 (1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)≈－0.035<0 ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2， ∴2x＋x＝4在[1，2]上的近似解可取为1.375. 10．已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内． 解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0， 所以f(0)f(2)<0，由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x1＝×(0＋2)＝1， 得f(1)＝>0， 由此可得f(1)f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x2＝×(1＋2)＝， 得f＝－<0， 所以f(1)f<0，下一个有解区间为. 再取x3＝×＝， 得f＝>0， 所以ff<0， 下一个有解区间为. 综上所述，得所求的实数解x0在区间内． 11．(2024·江苏泰兴中学高一上段考)函数y＝与y＝lg x的图象的交点的横坐标约是(精确度为0.3)(　　) A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 答案：D 解析：设f(x)＝lg x－，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－＝0在[1，2]上有解．f＝lg －<0，f＝lg －<0，所以方程lg x－＝0的解在区间内，故D符合要求． 12．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)内的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，又n∈N＋，所以n≥7，且n∈N＋，故所需二分区间的次数最少为7.故选C. 13．(2024·吉林长春东北师大附中高一上月考)若函数f(x)的零点与函数g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝log3(2－x) C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝2x－3 答案：A 解析：对于A，f(x)＝4x－1的零点为x＝；对于B，f(x)＝log3(2－x)的零点为x＝1；对于C，f(x)＝3x－1的零点为x＝0；对于D，f(x)＝2x－3的零点为x＝.g(0)＝40－2＝－1<0，g＝4＋2×－2＝1>0，g(0)g<0，故g(x)的零点在内，g＝4＋2×－2＝－<0，g·g<0，故g(x)的零点在内，由f(x)，g(x)的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有f(x)＝4x－1的零点符合．故选A. 14．(2024·山西朔州怀仁市大地学校高一上月考)已知定义在[a，b]上的增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为________． 答案： 解析：由f(x)在[a，b]上单调递增，得f(a)<0，f(b)>0，又a＋>a恒成立，∴解得∴函数f(x)的零点为＝. 15．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，用二分法求方程f(x)＝0的正解的近似值(精确度为0.01)． 解：由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增， 因此f(x)＝0的正解最多有一个． 因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0， 所以方程的正解在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0，1) 0.5 0.732 (0，0.5) 0.25 －0.084 (0.25，0.5) 0.375 0.328 (0.25，0.375) 0.3125 0.124 (0.25，0.3125) 0.28125 0.021 (0.25，0.28125) 0.265625 －0.032 (0.265625，0.28125) 0.2734375 －0.00543 (0.2734375，0.28125) — — 因为|0.2734375－0.28125|＝0.0078125<0.01，所以方程的正解的近似值为0.2734375，即f(x)＝0的正解约为0.2734375. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$