4.5.1 函数的零点与方程的解.-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.5.1　函数的零点与方程的解 (教师独具内容) 课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 教学重点：函数零点存在定理及应用． 教学难点：会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数． 核心素养：1.借助零点的求法，培养数学运算素养和逻辑推理素养.2.借助函数的零点与方程解的关系，培养直观想象素养． 知识点一　函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标． [点拨]　(1)函数的零点是实数而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)． (2)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点． (3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内． 知识点二　方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． [点拨]　(1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数． (2)当函数f(x)是单调函数，且在区间[a，b]上的图象连续时，若f(a)f(b)<0，则函数的零点是唯一的． [想一想]　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则一定有f(a)f(b)＜0吗？ 提示：不一定．例如f(x)＝x2在(－1，1)内有零点0，但f(－1)f(1)＝1>0. 1．(求函数的零点)函数f(x)＝lg x的零点是(　　) A．2 B．3 C．5 D．1 答案：D 2．(判断零点所在的区间)函数f(x)＝2x－(x>0)的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) B. C. D. 答案：B 3．(判断函数零点个数)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若ac＜0，则函数有________个零点． 答案：2 4．(根据零点个数求参数范围)(2024·江苏南京师大附中高一上期中)若函数f(x)＝x2－4x＋a在区间(1，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 答案：(3，4) 题型一　求函数的零点 　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝. [解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数f(x)的零点是－1，－6. (2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0， 得x＝－1， 所以函数f(x)的零点是－1. (3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26， 所以函数f(x)的零点是log26. (4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6， 所以函数f(x)的零点为－6. 【感悟提升】求函数零点的方法 (1)代数法：方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的零点． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数f(x)的零点． 【跟踪训练】 1．(1)求函数f(x)＝的零点． 解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 解：由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0， 所以b＝3a， 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－， 所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－. 题型二　判断零点所在的区间 　函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) [解析]　解法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)在(0，1)内有零点． 解法二：令ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在的区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间为(0，1)． [答案]　C 【感悟提升】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【跟踪训练】 2．(1)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　) x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x＋2 2 5 8 11 14 A.(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：C 解析：设f(x)＝ex－3x－2，由表格知f(0)＝1－2＜0，f(1)≈2.72－5＜0，f(2)≈7.39－8＜0，f(3)≈20.09－11＞0，f(4)≈54.60－14>0，所以f(2)f(3)＜0，f(x)在(2，3)内存在零点，所以方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(2，3)． (2)函数f(x)＝＋ln 的零点所在的区间是(　　) A．(1，2) B．(2，e) C．(e，3) D．(3，4) 答案：A 解析：由题意知f(1)＝1＋0＝1，f(2)＝＋ln ＝－ln 2＜0，所以f(1)f(2)＜0，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 题型三　函数零点个数问题 角度 判断函数零点个数 　判断函数f(x)的零点个数． (1)f(x)＝x2＋mx＋1(m∈R)； (2)f(x)＝x3－. [解]　(1)Δ＝m2－4×1×1＝m2－4， ①当Δ<0，即m2－4<0时，解得－2<m<2，此时方程f(x)＝0无解，函数f(x)无零点； ②当Δ＝0，即m2－4＝0时，解得m＝±2，此时方程f(x)＝0有两个相等的实数根，函数f(x)只有一个零点； ③当Δ>0，即m2－4>0时，解得m<－2，或m>2，此时方程f(x)＝0有两个不相等的实数根，所以函数f(x)有两个零点． 综上，当m∈(－2，2)时，函数f(x)无零点；当m＝±2时，函数f(x)有一个零点；当m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，函数f(x)有两个零点． (2)作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点． 角度 根据零点个数求参数范围 　(2024·重庆涪陵第二中学高一上第二次月考)已知函数f(x)＝a∈R，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B.(－∞，－1] C.[－1，0) D.(0，1] [解析]　由已知当x>0时，函数f(x)有一个零点，所以当x≤0时，f(x)＝2x－a有一个零点，也即方程a＝2x(x≤0)有唯一实根，由指数函数的单调性可知，0<a≤1.故选D. [答案]　D 【感悟提升】 1．判断函数零点个数的方法 (1)直接求出函数的零点进行判断，即转化为方程f(x)＝0解的个数． (2)结合函数图象进行判断，即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数． (3)借助函数的单调性进行判断． 2．已知函数零点个数求参数范围的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 【跟踪训练】 3．(1)函数f(x)＝ln (x＋1)－在定义域内的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：函数f(x)＝ln (x＋1)－在定义域{x|x＞－1，且x≠0}内的零点个数，即为f(x)＝0的解的个数，即求y＝ln (x＋1)和y＝的图象的交点个数，作出y＝ln (x＋1)和y＝的图象(如图)，可知有两个交点．故选C. (2)已知函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围为________． 答案：(0，2) 解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图中实线所示，则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．故实数b的取值范围是(0，2)． 1．(2024·新疆喀什地区高一上期末)下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 答案：C 解析：函数的零点为函数图象与x轴交点的横坐标，其中C项中函数图象与x轴没有交点，所以没有零点的是C.故选C. 2．(2024·江苏镇江中学高一上教学质量检测)函数f(x)＝log3(x＋2)＋x－1的零点所在的一个区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：A 解析：因为函数f(x)＝log3(x＋2)＋x－1，所以f(0)＝log32－1<0，f(1)＝log3(1＋2)＋1－1＝1>0，所以f(0)f(1)<0，根据零点存在定理，函数f(x)＝log3(x＋2)＋x－1的零点所在的一个区间是(0，1)．故选A. 3．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)＋x－3的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：令g(x)＝0，得f(x)＝－x＋3，画出函数f(x)和y＝－x＋3的图象，如图所示，函数g(x)的零点个数即f(x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B. 4．已知f(2x＋1)＝3x－2，若a是函数y＝f(x)－4的一个零点，则a的值为________． 答案：5 解析：若a是函数y＝f(x)－4的一个零点，则有f(a)－4＝0，即f(a)＝4.又f(2x＋1)＝3x－2，若3x－2＝4，则x＝2.在f(2x＋1)＝3x－2中，令x＝2可得f(5)＝3×2－2＝4.故a＝5. 5．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________． 答案：2 解析：令f(x)＝ln x＋x－4.∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，∴f(x)在(2，3)内有零点．∴k＝2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 判断函数零点个数——解方程法 利用函数零点存在定理判断零点所在的区间——单调函数 求分段函数的零点——解方程法 判断方程的解所在的区间 根据零点个数求参数范围——数形结合法 利用函数零点存在定理判断零点所在的区间——非单调函数 求函数的零点——解方程法 根据零点个数求参数范围——数形结合法 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 判断函数零点个数——数形结合法、判定定理法 二次函数零点的分布；根据零点个数求参数范围 与指数、对数有关的函数零点的分布问题——单调性法 分段函数零点的分布问题——数形结合法 判断函数零点个数——数形结合法 根据方程解的个数求参数范围——数形结合法 已知对数型复合函数的零点个数求参数范围 1．函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：要使函数有意义，则x2－4≥0，即x2≥4，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数f(x)的零点个数为2.故选B. 2．(2024·海南海口第一中学高一上质检)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为函数f(x)＝ex＋4x－3在R上连续且单调递增， 所以函数f(x)的零点在区间内．故选C. 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A.，0 B．－2，0 C. D．0 答案：D 解析：当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立．综上，函数f(x)的零点为0.故选D. 4．[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的解，则[x0]＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：设f(x)＝ln x＋3x－15，显然f(x)单调递增，故f(x)＝0只有一个解．又f(4)＝ln 4－3＜2(ln 2－1)＜0，f(5)＝ln 5＞0，x0是方程ln x＋3x－15＝0的解，故x0∈(4，5)，所以[x0]＝4.故选C. 5．(2024·湖南岳阳高一上期末教学质量监测)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案：C 解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实数解，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C. 6．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 y －6.136 15.552 －3.92 x 4 5 6 y 10.88 －52.488 －232.064 则在下列区间中，函数y＝f(x)一定存在零点的是(　　) A．(1，2) B.(2，3) C.(3，5) D.(5，6) 答案：ABC 解析：因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在(1，2)内一定存在零点，故A正确；f(2)f(3)<0，所以函数f(x)在(2，3)内一定存在零点，故B正确；f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在(3，4)，(4，5)内一定有零点，所以函数f(x)在区间(3，5)内一定有零点，故C正确；f(5)f(6)>0，所以函数f(x)在(5，6)内不一定有零点，故D不正确．故选ABC. 7．函数f(x)＝log2(x＋2)－1的零点是________． 答案：0 解析：由f(x)＝0，即log2(x＋2)－1＝0，解得x＝0.故函数f(x)＝log2(x＋2)－1的零点是0. 8．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)∪ 解析：若a＝0，则f(x)＝1，图象与x轴没有交点，不符合题意，所以a≠0.当a≠0时，函数f(x)＝3ax＋1－2a是一次函数，在区间(－1，1)上是单调函数，由零点存在定理，得f(1)f(－1)<0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，解得a<－1或a>.故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪. 9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数． 解：解法一(数形结合法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象的交点个数． 在同一直角坐标系中，作出两函数的图象(如图)． 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个解， 即函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点． 解法二(判定定理法)：因为f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)f(2)＜0，又函数f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1，2]上是连续不断的，所以函数f(x)在(1，2)内必有零点， 又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以零点只有一个． 10．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1. (1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？ (2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0<x2，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意，知 解得m<1且m≠－1， 即当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)时，函数f(x)有两个零点． (2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x1<0<x2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下． 所以有 或 解得－1<m<. 所以实数m的取值范围是. 11．(多选)(2024·湖南常德鼎城区第一中学高一上月考)已知函数f(x)＝－log2x，0<a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，实数d是函数f(x)的一个零点．下列四个判断中可能成立的是(　　) A．d<a B.d>b C.d>c D.d<c 答案：ABD 解析：由y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝－log2x在定义域(0，＋∞)上单调递减，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①当f(a)，f(b)，f(c)都为负值时，则a，b，c都大于d，②当f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0时，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．故选ABD. 12．(多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有四个零点分别为x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A．0≤m＜4 B．x1＋x2＝－4 C．x3·x4＝1 D．x3＋x4∈ 答案：BCD 解析：画出函数f(x)的图象，如图所示，要想函数g(x)＝f(x)－m有四个零点，则0<m<4，A错误；由于当x≤0时，f(x)＝－x2－4x图象的对称轴为直线x＝－2，所以x1＋x2＝－4，B正确；当x>0时，f(x)＝|ln x|，所以－ln x3＝ln x4，所以x3·x4＝1，C正确；因为0<m<4，所以0<ln x4<4，故1<x4<e4，由于x3·x4＝1，所以x3＋x4＝x4＋，由对勾函数知，y＝x4＋在(1，e4)上单调递增，故x3＋x4＝x4＋∈，D正确．故选BCD. 13．已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为________． 答案：2 解析：设g(x)＝2a－ax，h(x)＝(x－1)2，因为g(x)的图象过点(1，a)，画出它们的图象，如图，无论a>1还是0<a<1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个交点，所以f(x)的零点个数为2. 14．(2024·江苏镇江中学高一上教学质量检测)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1) 解析：画出f(x)的图象如下图所示，要使方程f(x)－a＝0有三个不同的实数解，则需f(x)的图象与直线y＝a有三个交点，由图可知，实数a的取值范围是(0，1)． 15．已知函数f(x)＝(log2x)2＋4log2x＋m，x∈，m为常数． (1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围； (2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值． 解：令log2x＝t，由x∈， 得t∈[－3，2]， 则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3，2])． (1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0，2]上存在实数根， 由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0，2]， 所以实数m的取值范围是[－12，0)． (2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3，2]上有两个互异的零点t1，t2，其中t1＝log2α，t2＝log2β， 又g(t)表示的二次函数的图象开口向上， 对称轴为直线t＝－2，－2∈[－3，2]， 所以解得3≤m<4， 所以实数m的取值范围是[3，4)． 根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4， 即log2α＋log2β＝－4， 所以log2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$