4.4.3 不同函数增长的差异-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.4.3　不同函数增长的差异 (教师独具内容) 课程标准：1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异.2.理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的现实含义． 教学重点：函数模型增长差异的比较． 教学难点：选择合适的函数模型解决实际问题． 核心素养：借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算素养和数学建模素养． 知识点　　三种函数的性质及增长速度比较 一次函数 指数函数 对数函数 解析式 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 图象(随x的增大) 直线逐渐上升 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 增长速度(随x的增大) y的增长速度不变 y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 增长关系 存在一个x0，当x＞x0时，ax＞kx＞logax [拓展]　指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0) 的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax. 1．(增长差异的比较)下列函数中y随x的增大而增大且增大的速度越来越快的是(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝100x D．y＝e－x 答案：A 2.(函数模型的图象特征)如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　) A．一次函数 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 答案：C 3．(函数模型的选择)下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是(　　) A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x1.5 C．y＝30＋lg (x－1) D．y＝50 答案：A 题型一　函数模型增长差异的比较 　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面； ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲． 其中正确结论的序号为________． [解析]　在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得①错误，因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以当x＝2时，乙在甲的前面；②错误，因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以当x＝5时，甲在乙的前面；③正确，当0<x<1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面；④正确，当0<x<1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱；⑤正确，当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲． [答案]　③④⑤ 【感悟提升】常见的函数模型及增长特点 (1)一次函数模型 一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·湖北咸宁崇阳第二高级中学高一上摸底)下列函数中，增长速度越来越快的是(　　) A．y＝2025x B．y＝2025 C．y＝log2025x D．y＝2025x 答案：A 解析：指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，故选A. (2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 答案：C 解析：观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知，函数f(x)在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数g(x)在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)递减速度不变．故选C. 题型二　不同增长的函数模型的图象特征 　函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数的图象，判断f与g，f(2024)与g(2024)的大小关系． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)， 从图象上可以看出，当1<x<2时，f(x)<g(x)， ∴f＜g； 当x>2时，f(x)>g(x)，∴f(2024)>g(2024)． 【感悟提升】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 【跟踪训练】 2．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)． 解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1. 由题图知， 当0<x<1时，f(x)>h(x)>g(x)； 当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)； 当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)； 当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)； 当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)； 当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)； 当x>d时，f(x)＞h(x)>g(x)． 题型三　函数模型的选择 　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ [解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)． 观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 【感悟提升】几类不同增长的函数模型选择的方法 (1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型． (2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越大，此时的函数模型是指数函数模型． (3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型． 【跟踪训练】 3．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．下列几个模拟函数： ①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)． 用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由． 解：用①来描述更合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数在定义域内是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来描述更合适． 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x2 D．y＝6x 答案：B 解析：A中函数的增长速度越来越快，C中的函数先减后增，D中一次函数的增长速度不变，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 2．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是(　　) x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 答案：D 解析：∵随着自变量x的增加，函数值也在增加，但是增加的幅度越来越小，∴它最可能的函数模型为对数函数模型．故选D. 3.(多选)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．下列四种说法正确的是(　　) A．前三年产量增长的速度越来越快 B．前三年产量增长的速度越来越慢 C．第三年后这种产品停止生产 D．第三年后产量保持不变 答案：BC 解析：由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了总产量C随时间t的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产．故选BC. 4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案：甲 解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好． 5．(2024·湖北武汉中学高一上月考)某人投资x元，获利y元，有以下三种方案：甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1000元、1500元时，应分别选择________方案． 答案：乙、甲、丙 解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 函数模型的选择——指数函数模型 函数模型的选择——对数函数模型 函数模型的图象特征 不同函数增长差异的比较 不同增长的函数模型的图象特征——指数函数、对数函数、幂函数 指数函数、对数函数的增长特征 不同函数增长差异的比较 函数模型的选择——容器模型 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 不同增长的函数模型的图象特征——幂函数、二次函数 不同增长的函数模型的图象特征及增长差异的比较 函数模型的选择——指数函数、对数函数、幂函数模型 不同增长的函数模型的图象特征——幂函数、对数函数 不同增长的函数模型的图象特征的应用——求点的坐标 不同增长的函数模型的图象特征的应用——解决不等式恒成立问题 实际问题中不同函数增长差异的比较；函数模型的选择 1．根据表中的数据选择恰当的函数模型，则这个函数的解析式可能是(　　) x 1 2 3 4 5 y－1 2 4 8 16 32 A.y＝2x＋1 B．y＝log2x C．y＝x2＋1 D．y＝2x＋1 答案：D 解析：由题意，有y－1＝2x，即y＝2x＋1.故选D. 2．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 答案：D 解析：对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意． 3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案：D 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象． 4．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 答案：D 解析：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D. 5．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　) A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x 答案：B 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x的图象，如图所示．由图可得，在区间(2，4)上从上往下依次是y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2＞2x＞log2x.故选B. 6．(多选)当a>1时，下列结论正确的是(　　) A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 答案：AD 解析：结合指数函数及对数函数的图象可知A，D正确．故选AD. 7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案：y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长得快． 8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，容器内水面的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象：A对应________；B对应________；C对应________；D对应________． 答案：(4)　(1)　(3)　(2) 解析：A容器下粗上细，水面高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水面高度的变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水面高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水面高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应． 9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2(x≥0)的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小． 解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示． 根据图象可得， 当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)； 当x＝4时，f(x)＝g(x)； 当x＞4时，f(x)＜g(x)． 10.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解：(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x＝x1时，g(x)＝f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x＝x2时，g(x)＝f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)． g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的， f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢． 11．(2024·江苏苏州高一上期末学业质量阳光指标调研考试)若三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈函数模型：y＝mlogax＋n，y＝pax＋q，y＝kxa＋t变化的变量依次是(　　) A．y1，y2，y3 B.y3，y2，y1 C．y1，y3，y2 D.y3，y1，y2 答案：B 解析：由表可知，y2随着x的增大而迅速增大，是指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型变化．故选B. 12．若已知16<x<20，利用图象可判断出x和log2x的大小关系为________． 答案：x>log2x 解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示，由图象可知，在(16，20)内，x>log2x. 13.(2024·河南洛阳一高高一上月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行于y轴，则点A的坐标是________． 答案：(log32，2) 解析：由题意设A(n，3n)，B(m，3m)，由9n＝32n＝3m得m＝2n，解得n＝，则C，A.又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx(k>0)，则解得m＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为(log32，2)． 14．若x2＜logmx在x∈内恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案： 解析：设y1＝x2，y2＝logmx，作出符合题意的两函数的大致图象(如图)，可知0＜m＜1.当x＝时，y1＝，若两函数图象在x＝处相交，则y2＝.由＝logm得m＝，又x2＜logmx在x∈内恒成立，因此实数m的取值范围为. 15．2009年某市某地段商业用地价格为每亩48万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩96万元．现给出两种地价增长方式，其中P1：f(t)＝at＋b(a，b∈R)是按直线上升的地价，P2：g(t)＝clog2(d＋t)(c，d∈R)是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数，2009年对应的t值为0. (1)求f(t)，g(t)的解析式； (2)2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．(参考数据：log210≈3.32) 解：(1)由题知f(0)＝48，f(12)＝96， 代入解析式，得 解得 所以f(t)＝4t＋48，t≥0； 又g(0)＝48，g(12)＝96， 代入解析式，得 解得 所以g(t)＝24log2(4＋t)，t≥0. (2)若按照模型P1：f(t)＝4t＋48，到2025年时，t＝16，f(16)＝112，直线上升的增长率为≈16.7%>10%，不符合要求； 若按照模型P2：g(t)＝24log2(4＋t)，到2025年时，t＝16， g(16)＝24log220＝24(log210＋1)≈24×(3.32＋1)＝103.68， 对数增长的增长率约为＝8%<10%，符合要求． 综上分析，应该选择模型P2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$