4.4.2 第2课时 对数函数性质的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　对数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性.2.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 核心素养：借助对数函数性质的综合应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 知识点二　指数函数与对数函数的关系 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 图象 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 单调性 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 函数值的变化情况 当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1 当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0.当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0 1．(对数函数的反函数)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，9)，则a＝(　　) A. B．2 C. D．3 答案：D 2．(指数函数的反函数)函数y＝的反函数为________． 答案：y＝logx 3．(对数不等式的应用)已知loga3＞loga2，则a的取值范围为________． 答案：(1，＋∞) 题型一　反函数的应用 　(1)(2024·四川绵阳南山中学高一下入学考试)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，e)，则函数f(x)的反函数g(x)＝________． [解析]　由题可得，a＝e，故f(x)＝ex，其定义域为R，值域为(0，＋∞)，故f(x)的反函数为g(x)＝ln x. [答案]　ln x (2)(2024·山西太原高一上期末)已知函数f(x)＝log3x与y＝g(x)互为反函数，则g(2)＝________． [解析]　由对数函数的反函数为相应的指数函数可得g(x)＝3x，故g(2)＝32＝9. [答案]　9 【感悟提升】互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (4)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·河南郑州一中高一上月考)函数f(x)与函数g(x)互为反函数，若f(x)＝且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．R C．(0，1) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：∵当x∈(0，＋∞)时，∈(0，1)，∴函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的值域为(0，1)，又f(x)与g(x)互为反函数，故函数g(x)的定义域为(0，1)．故选C. (2)(2024·河北石家庄精英中学高一上三调)函数y＝log4x的反函数为________，它们的图象关于直线________对称． 答案：y＝4x　y＝x 解析：函数y＝log4x和函数y＝4x互为反函数，y＝log4x和y＝4x的图象关于直线y＝x对称． 题型二　解对数不等式 　已知2loga(x－4)>loga(x－2)，求x的取值范围． [解]　原不等式可变为loga(x－4)2>loga(x－2)． 当a>1时，y＝logax为定义域内的增函数， ∴ 解得x>6； 当0<a<1时，y＝logax为定义域内的减函数， ∴解得4<x<6. 综上所述，当a>1时，x的取值范围为(6，＋∞)； 当0<a<1时，x的取值范围为(4，6)． 【感悟提升】常见的对数不等式的三种类型 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． 【跟踪训练】 2．(1)已知loga＞1，求a的取值范围． 解：由loga＞1，得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜，此时无解； ②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1. 所以a的取值范围是. (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解：因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， 所以由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)， 得 解得x＞1， 故x的取值范围是(1，＋∞)． 题型三　对数函数性质的综合应用 　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log(x＋7)． (1)求f(1)，f(－1)； (2)求函数f(x)的表达式； (3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围． [解]　(1)f(1)＝log8＝－3，f(－1)＝－f(1)＝3. (2)因为f(x)在R上为奇函数， 所以f(0)＝0. 令x＜0，则－x＞0， 所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x＋7)， 所以f(x)＝ (3)当x∈(0，＋∞)时，y＝log(x＋7)， 令u＝x＋7，则y＝logu. 因为u＝x＋7是增函数，y＝logu是减函数， 所以y＝log(x＋7)在(0，＋∞)上是减函数． 又f(x)是奇函数且当x∈(0，＋∞)时，f(x)<0， 所以y＝f(x)是R上的减函数． 所以由f(a－1)<f(3－a)，得a－1>3－a，解得a>2. 故a的取值范围为(2，＋∞)． [条件探究]　本例中，若函数f(x)是偶函数，试求当x＜0时，函数f(x)的表达式． 解：令x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝log(－x＋7)＝log(7－x)． 故当x＜0时，f(x)＝log(7－x)． 【感悟提升】解决对数函数综合问题的策略 (1)定义域是前提，无论是求单调区间，还是证明奇偶性、解不等式等，都要先求定义域． (2)研究对数型函数的单调性、奇偶性时，注意利用复合函数的相关性质求解． (3)解对数不等式时，关键是利用对数函数的单调性转化为常见的不等式． (4)若函数图象容易作出，则可以结合图象研究函数的性质从而解决问题． 【跟踪训练】 3．已知f(x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)． (1)指出函数f(x)的定义域，并求f，f，f，f的值； (2)观察(1)中的函数值，请你猜想函数f(x)的一个性质，并证明你的猜想； (3)解不等式：f(1＋x)＋ln 3>0. 解：(1)要使函数有意义， 则⇒⇒－1<x<1， 所以函数f(x)的定义域是(－1，1)． f＝ln －ln＝ln 2； f＝ln －ln＝ln 3； f＝ln －ln＝－ln 3； f＝ln－ln＝－ln 2. (2)由(1)得f＝－f，f＝－f，猜想函数f(x)是奇函数．证明如下： 在(－1，1)上任取自变量x，f(－x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． (3)f(1＋x)＋ln 3＝ln (－x)－ln (2＋x)＋ln 3＝ln (－3x)－ln (2＋x)>0， 所以ln (－3x)>ln (2＋x)，原不等式等价于 ⇒⇒－2<x<－， 所以原不等式的解集为. 1．设函数y＝f(x)与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f(8)＝(　　) A．2 B．3 C．8 D．16 答案：B 解析：由题意可得函数y＝f(x)与y＝2x互为反函数，所以f(x)＝log2x，所以f(8)＝log28＝3. 2．已知函数f(x)＝ln x，若f(x－1)＜1，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，e＋1) B．(0，＋∞) C．(1，e＋1) D．(e＋1，＋∞) 答案：C 解析：∵f(x)＝ln x，∴f(x－1)＝ln (x－1)．由f(x－1)＜1，得ln (x－1)＜ln e，∴ ∴1＜x＜e＋1. 3．(多选)已知函数f(x)＝ln (2x＋1)－ln (2x－1)，则(　　) A．f(x)的定义域为(0，＋∞) B．f(x)的值域为(0，＋∞) C．f(x)为减函数 D．f(x)为奇函数 答案：ABC 解析：由解得x>0，A正确；f(x)＝ln ＝ln ，因为1＋>1，所以ln >0，B正确；因为函数y＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，函数y＝ln t在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在定义域内单调递减，C正确；f(x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误．故选ABC. 4．不等式log2(5＋x)＞log2(1－x)的解集为________． 答案：{x|－2＜x＜1} 解析：由题意，得解得－2＜x＜1.故所求不等式的解集为{x|－2＜x＜1}． 5．(2024·广东佛山南海区石门中学高一上期中)函数g(x)＝－logax的反函数为y＝f(x)，若f(1)＝3，则f(g(a＋1))＝________． 答案： 解析：根据反函数的性质以及f(1)＝3，可得g(3)＝1，即－loga3＝1，所以a＝，g(x)＝－logx＝log3x，所以f(g(a＋1))＝f＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 解简单对数不等式 反函数的应用 由简单对数不等式求底数范围 由对数不等式恒成立求参数范围 对数型函数性质的综合 指数函数的反函数 由函数的单调性解对数不等式 反函数的应用；求对数型复合函数的单调区间 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 解对数不等式；对数型函数的最值问题 对数型函数奇偶性、单调性的应用 利用对数型函数的奇偶性求参数值 对数型函数图象与性质的综合应用 由对数不等式求参数范围 利用函数的奇偶性、单调性解对数不等式 对数型函数性质的综合应用 1．(2024·福建厦门二中高一上月考)设集合A＝{x|log2(x＋2)≤2，x∈Z}，则集合A的真子集个数为(　　) A．32 B．31 C．16 D．15 答案：D 解析：由log2(x＋2)≤2得0<x＋2≤4，解得－2<x≤2，又x∈Z，∴A＝{－1，0，1，2}，由于集合中共有4个元素，故集合A的真子集个数为24－1＝15.故选D. 2．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是(　　) 答案：D 解析：由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，可得a>1，所以函数f(x)＝loga(x－1)的图象在(1，＋∞)上单调递增，又f(2)＝0，故选D. 3．若loga＜1，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪(1，＋∞) 答案：D 解析：若a＞1，则由loga＜1，得loga＜logaa，得a＞，∴a＞1；若0＜a＜1，则由loga＜1，得loga＜logaa，∴0＜a＜.综上，a的取值范围为∪(1，＋∞)． 4．若对任意的实数x，都有loga(ex＋3)≥1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，3] C．(1，3) D．[3，＋∞) 答案：B 解析：∵loga(ex＋3)≥1＝logaa对任意实数x都成立，∴a＞1且a≤ex＋3.又ex＋3＞3，∴1＜a≤3. 5．(2024·安徽蚌埠二中高一上月考)已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)在(0，4)内单调递减 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(2，0)中心对称 D．f(x)的最大值为2 答案：D 解析：对于A，由f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(－x2＋4x)，可知即0<x<4，因为y＝－x2＋4x在(0，4)上不单调，故A错误；对于B，因为f(x)的定义域为(0，4)，不关于原点对称，故B错误；对于C，f(4－x)＝log2(－x2＋4x)＝f(x)≠－f(x)，故C错误；对于D，设t＝－x2＋4x，当x＝2时，t取最大值，为4，故f(x)的最大值为f(2)＝2，故D正确．故选D. 6．(多选)若函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(x2)＝2f(|x|) B．f(2x)＝f(x)＋f(2) C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x) 答案：ABC 解析：∵函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．f(x2)＝logax2＝2loga|x|＝2f(|x|)，A正确；f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)≠2f(x)，B正确，D错误；f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，C正确．故选ABC. 7．(2024·江苏灌云县第一中学高一上期末)函数f(x)是定义在R上的减函数，则不等式f(1)<f(lg x)的解集为________． 答案：(0，10) 解析：∵f(x)为定义在R上的减函数，∴由f(1)<f(lg x)，得1>lg x，∴0<x<10，即不等式f(1)<f(lg x)的解集为(0，10)． 8．已知函数y＝f(x)与y＝的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－3)的单调递增区间为________． 答案：(－∞，－1) 解析：由题意可知f(x)＝logx，∴f(x2－2x－3)＝log(x2－2x－3)．令y＝logt，t＝x2－2x－3，而外层函数y＝logt，t＞0是减函数，要求函数f(x2－2x－3)的单调递增区间，只需满足解得x＜－1，∴函数f(x2－2x－3)的单调递增区间是(－∞，－1)． 9．(2024·云南昆明西山区高一上期末)设函数f(x)＝loga(x－3)＋1(a>0，且a≠1)． (1)若f(12)＝3，解不等式f(x)>0； (2)若f(x)在[4，5]上的最大值与最小值之差为1，求a的值． 解：(1)由f(12)＝3可得loga(12－3)＋1＝3，解得a＝3， 即f(x)＝log3(x－3)＋1(x>3)， 则f(x)>0，即log3(x－3)＋1>0， 即所以x>， 故不等式f(x)>0的解集为. (2)由于f(x)在[4，5]上的最大值与最小值之差为1， 故|loga1＋1－(loga2＋1)|＝1，即|loga2|＝1， 所以a＝2或a＝. 10．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即log＝－log＝log， 解得a＝－1或a＝1(舍去)． (2)f(x)＋log(x－1) ＝log＋log(x－1) ＝log(1＋x)， 当x＞1时，log(1＋x)＜－1， ∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立， ∴m≥－1. 即实数m的取值范围为[－1，＋∞)． 11．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案：B 解析：解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)·ln ＝xln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. 12．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象不过定点(0，0) B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C．函数f(x)在区间上的最小值为0 D．若对任意x∈[1，2]，f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2) 答案：CD 解析：将(0，0)代入f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A错误；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可得，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|单调递增，故B错误；当x∈时，x＋1∈，则f(x)≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)>1恒成立，所以由函数为增函数可知loga2>1即可，解得1<a<2，故D正确．故选CD. 13．若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意知a＞0，且a≠1，故必有a2＋1＞2a.又loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，所以0＜a＜1，2a＞1，所以a∈. 14．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式f(log2x)＜0的解集为________． 答案： 解析：由题意可知，f(log2x)＜0⇔f(log2x)＜f(1)．又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以|log2x|＜1，即－1＜log2x＜1.所以＜x＜2.故所求不等式的解集为. 15．已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)． (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)判断函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围． 解：(1)要使函数f(x)有意义，则 解得－2<x<2. ∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}． (2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称，对任意x∈(－2，2)，有－x∈(－2，2)． ∵f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f(x)， ∴函数y＝f(x)为偶函数． (3)∵函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)， 当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数， 当－2<x<0时，函数y＝f(x)为增函数， ∴不等式f(m－2)<f(m)等价于 解得0＜m＜1. 所以m的取值范围是(0，1)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$