4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的简单应用． 核心素养：1.通过学习对数函数的图象和性质，培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过应用对数函数的图象和性质解决问题，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 [点拨]　(1)对数函数图象只出现在y轴右侧． (2)对数函数的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 1．(利用对数函数的单调性求最值)函数y＝log2x在区间[1，8]上的最大值为(　　) A．0 B．1 C．3 D．8 答案：C 2.(对数函数的图象)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的取值可能为(　　) A．4 B. C. D. 答案：A 3．(利用对数函数的单调性比较对数值的大小)(2024·江苏南京高一上期末)已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<a<c 答案：D 4．(利用对数函数的单调性求参数取值范围)若对数函数y＝log(1－3m)x，x∈(0，＋∞)是减函数，则m的取值范围为________． 答案： 题型一　对数函数的图象及应用 　(1)函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． [解析]　因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． [答案]　(0，－2) (2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________． [解析]　由图象可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，故b＞a＞1＞d＞c. [答案]　b＞a＞1＞d＞c (3)已知函数f(x)＝loga|x|，且满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． [解]　∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5. ∴f(x)＝log5|x|. ∴f(x)是偶函数，其图象如图所示． 【感悟提升】 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 3．对数型函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，x<0时，y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． 【跟踪训练】 1．(1)对a(a＞0，且a≠1)取不同的值，函数y＝loga的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(1，0) B．(－2，0) C．(2，0) D．(－1，0) 答案：A 解析：因为y＝logax的图象过定点(1，0)，由y＝loga，令＝1，则y＝0，解得x＝1，所以此函数图象恒过定点P(1，0)． (2)(2024·青海西宁海湖中学高一下开学考试)函数y＝|lg (x＋1)|的图象是(　　) 答案：A 解析：因为y＝|lg (x＋1)|≥0，故排除D；当x＝0时，y＝|lg (0＋1)|＝0，故排除B，C；结合对数函数的性质可知A正确．故选A. 题型二　比较对数值的大小 　比较下列各组值的大小： (1)log5，log5； (2)log2，log2； (3)log23，log54. [解]　(1)解法一(单调性法)：因为对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，且＜， 所以log5＜log5. 解法二(中间值法)：因为log5＜0，log5＞0，所以log5＜log5. (2)解法一(单调性法)：由于log2＝， log2＝， 又对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且1>＞，所以0＞log2＞log2， 所以＜，所以log2＜log2. 解法二(图象法)：如图，在同一直角坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知log2＜log2. (3)取中间值1， 因为log23＞log22＝1＝log55＞log54， 所以log23＞log54. 【感悟提升】比较对数值大小常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 提示：比较数的大小时，可先利用性质比较出与0或1的大小． 【跟踪训练】 2．比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2； (3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2， 所以f(1.99)＜f(2)，即log31.99＜log32. (2)因为0＞log0.23＞log0.24， 所以＜，即log30.2＜log40.2. (3)(中间值法)因为log23＞log21＝0， log0.32＜log0.31＝0， 所以log23＞log0.32. (4)(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数， 则有logaπ＜loga3.14. 综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. 题型三　对数型函数的单调性 　(1)函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 [解析]　当x>2时，函数f(x)＝log2|x－2|＝log2(x－2)．又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上单调递增．故选C. [答案]　C (2)函数y＝log(1－x2)的单调递增区间为________． [解析]　要使函数有意义，则1－x2>0，解得－1<x<1，即函数的定义域为(－1，1)．令t＝1－x2，x∈(－1，1)．在(－1，0)内，x增大，t增大，y＝logt减小，即在(－1，0)内，y随x的增大而减小，为减函数；在[0，1)上，x增大，t减小，y＝logt增大，即在[0，1)上，y随x的增大而增大，为增函数．综上，y＝log(1－x2)的单调递增区间为[0，1)． [答案]　[0，1) 【感悟提升】研究形如y＝logaf(x)的函数的单调性的策略 (1)坚持“定义域”优先原则，即要确保f(x)>0. (2)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性相反． (3)若底数含有参数，需要对底数进行分类讨论． (4)若已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围，则该区间为函数相应单调区间的子区间，或者根据复合函数法则“同增异减”及定义域列出不等式组求解． 【跟踪训练】 3．(1)(2024·浙江丽水高一上期末)若函数f(x)＝log3(x2－ax＋3a)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：令u＝g(x)＝x2－ax＋3a，该函数图象的对称轴为直线x＝，∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，y＝log3u在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，且g(x)>0，∴≤1且g(1)>0，即a≤2且1－a＋3a>0，解得－<a≤2，即实数a的取值范围为. (2)讨论函数f(x)＝loga(2x2－3x＋1)的单调性． 解：由2x2－3x＋1>0得函数的定义域为. 令t＝2x2－3x＋1，则t＝2x2－3x＋1在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 当0<a<1时，y＝logat为减函数， 故函数f(x)＝loga(2x2－3x＋1)在上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数； 当a>1时，y＝logat为增函数， 故函数f(x)＝loga(2x2－3x＋1)在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 题型四　对数型函数的值域问题 　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2)． [解]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R. 因为x2＋4≥4， 所以log2(x2＋4)≥log24＝2. 所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4. 因为u>0， 所以0<u≤4. 又y＝logu在(0，4]上为减函数， 所以logu≥log4＝－2， 所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 注意：当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化． 【跟踪训练】 4．求函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域． 解：令u＝x2＋2x＋4， 则u＝(x＋1)2＋3≥3. 所以log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1， 即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)． 1．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是(　　) 答案：A 解析：∵0<a<1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故选A. 2．已知a＝log4，b＝log23，c＝2－0.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B.b>a>c C．c>a>b D.b>c>a 答案：D 解析：因为a＝log4<log1＝0，b＝log23>log22＝1，0<c＝2－0.3<20＝1，所以b>c>a.故选D. 3．函数f(x)＝loga(x－4)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 答案：(5，0) 解析：令x－4＝1，解得x＝5，所以函数f(x)的图象恒过定点(5，0)． 4．(2024·广东高州第一中学高一上期中)函数f(x)＝log(x2－x－6)的单调递减区间为________． 答案：(3，＋∞) 解析：由x2－x－6>0，得(x－3)(x＋2)>0，解得x<－2或x>3，故函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．令t＝x2－x－6，则y＝logt是减函数．根据复合函数“同增异减”的原则，求f(x)＝log(x2－x－6)的单调递减区间即求t＝x2－x－6在定义域内的单调递增区间，因为t＝x2－x－6的单调递增区间为(3，＋∞)，故函数f(x)＝log(x2－x－6)的单调递减区间为(3，＋∞)． 5．(2024·山东德州一中高一上期末)已知函数f(x)＝log2(2x＋)＋3，当x∈[－2，2]时，函数f(x)的最大值与最小值之和是________． 答案：6 解析：令h(x)＝log2(2x＋)，∵h(－x)＝log2(－2x＋)，∴h(－x)＋h(x)＝0，h(x)是奇函数，而y＝2x＋，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)在R上单调递增，则f(x)min＝h(x)min＋3，f(x)max＝h(x)max＋3，∴f(x)min＋f(x)max＝h(x)min＋3＋h(x)max＋3＝6. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 根据对数函数的图象判断底数大小 求对数函数的值域 利用对数函数的单调性比较对数值的大小 对数型函数图象的变换 已知对数型函数的单调性求参数范围 对数函数的图象变换及对数函数单调性的应用 对数型函数图象过定点问题 已知对数函数的最值求参数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 利用对数函数的图象及单调性比较对数值的大小 对数型函数解析式的求解及最值问题 由对数型函数的图象判断参数范围 根据对数函数的单调性判断底数大小 对数型函数的定义域、值域、单调性、最值问题 对数型复合函数的最值问题 对数型函数的定义域、单调性及其综合应用 1.如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a的取值分别为，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 答案：A 解析：由底数对对数函数图象的影响可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是，，，. 2．已知函数f(x)＝logx，x∈，则f(x)的值域是(　　) A. B. C．[0，2] D. 答案：A 解析：因为函数f(x)＝logx，x∈是减函数，所以函数f(x)的最小值为f＝log＝，最大值为f＝log＝2.所以函数f(x)的值域为. 3．(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案：B 解析：因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0.3，所以0<4.2－0.3<4.20.3，所以0<a<b，因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0，所以b>a>c.故选B. 4．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数： f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中是“同形函数”的是(　　) A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x) C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x) 答案：A 解析：因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A. 5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)在R上单调递增，且当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，所以解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0]．故选B. 6．(多选)(2024·河北石家庄精英中学高一上三调)设函数f(x)＝ln x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象与函数y＝ln (－x)的图象关于x轴对称 B．函数f(|x|)的图象关于y轴对称 C．函数|f(x＋1)|在(0，＋∞)上单调递增 D.<|f(4)| 答案：BCD 解析：函数f(x)＝ln x的图象如图1.对于A，由函数图象变换可知，y＝ln (－x)的图象如图2，函数f(x)的图象与函数y＝ln (－x)的图象关于y轴对称，故A错误；对于B，由函数图象变换可知，f(|x|)的图象如图3，函数图象关于y轴对称，故B正确；对于C，由函数图象变换可知，|f(x＋1)|的图象如图4，函数在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，＝＝ln 3，|f(4)|＝|ln 4|＝ln 4，∵y＝ln x在定义域上单调递增，∴ln 3<ln 4，则<|f(4)|，故D正确．故选BCD. 7．已知函数y＝loga(x－1)＋(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A(m，n)，若幂函数f(x)＝xt的图象也经过点A，则实数t的值为________． 答案：－1 解析：∵函数y＝loga(x－1)＋(a＞0，且a≠1)，令x－1＝1，得x＝2，y＝，∴函数y＝loga(x－1)＋的图象恒过定点A，代入幂函数f(x)＝xt，得2t＝，∴t＝－1. 8．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在x∈[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a的值为________． 答案：2 解析：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上为增函数，所以y＝logax在[1，4]上的最大值为loga4，最小值为loga1；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上为减函数，所以y＝logax在[1，4]上的最大值为loga1，最小值为loga4.故有loga1＋loga4＝2，即loga4＝2，a2＝4，所以a＝±2.又a＞0，所以a＝2. 9．比较下列各组值的大小： (1)log，log； (2)log3，log3； (3)log0.3，log20.8. 解：(1)函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数， 又<， 所以log>log. (2)y＝logx和y＝logx的图象如图所示． 由图象，知log3<log3. (3)由对数函数性质，知log0.3>0，log20.8<0，所以log0.3>log20.8. 10．已知函数f(x)＝b＋logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(8，2)和(1，－1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)，求函数g(x)的最小值． 解：(1)由题意，得 解得 所以f(x)＝－1＋log2x. (2)设t＝－1＋log2x，t∈R， 则g(x)＝h(t)＝t2－t， 即h(t)＝－， 所以当t＝，即x＝2时，g(x)min＝－. 11.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答案：A 解析：由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1，函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上，0<<b<1.故选A. 12．(多选)若实数a，b满足loga2<logb2，则下列关系中可能成立的是(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<1<b C．a>b>1 D．0<b<1<a 答案：ABC 解析：当0<b<a<1时，log2b<log2a<0，即<<0，故loga2<logb2，A正确；当0<a<1<b时，logb2>0，loga2<0，故loga2<logb2，B正确；当a>b>1时，log2a>log2b>0，即>>0，故loga2<logb2，C正确；当0<b<1<a时，logb2<0，loga2>0，故loga2>logb2，D错误．故选ABC. 13．(多选)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，则下列论述中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是[－4，＋∞) 答案：AC 解析：对于A，当a＝0时，解不等式x2－1>0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，C，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1图象的对称轴为直线x＝－，且－≤2，解得a≥－4.但当a＝－4时，f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误．故选AC. 14．函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值之和为________． 答案： 解析：因为2≤x≤4，所以log4≤logx≤log2，即－2≤logx≤－1.设t＝logx，则－2≤t≤－1，所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.故最大值和最小值之和为. 15．(2024·湖南师大附中高一上期末)已知函数f(x)＝loga(2x－4)＋loga(5－x)(a>0，且a≠1)的图象过点P(3，－2)． (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)的单调区间； (3)若2m＝3n＝t∈，比较f(2m)与f(3n)的大小． 解：(1)因为P(3，－2)在函数f(x)＝loga(2x－4)＋loga(5－x)的图象上， 所以f(3)＝loga2＋loga2＝2loga2＝－2， 即loga2＝－1，解得a＝. 由解得2<x<5， 所以f(x)的定义域为(2，5)． (2)由f(x)＝log(2x－4)＋log(5－x)＝log(2x－4)·(5－x)， 令s＝(2x－4)(5－x)＝－2x2＋14x－20， 当x∈时，s＝－2x2＋14x－20单调递增，当x∈时，s＝－2x2＋14x－20单调递减， 又y＝logs单调递减，由复合函数的单调性知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (3)2m＝3n＝t，()2m＝()3n＝t，2m＝logt，3n＝logt， ＝，＝>＝>1， 所以2m>3n，<t<3， 则m＝log2t<log23，2m<2log23， 因为27>34， 所以7>4log23，log23<，即2m<， n＝log3t>log3，3n>3log3＝log3>log39＝2， 所以2m∈，3n∈， 由(2)知，f(x)在上是减函数， 所以f(2m)<f(3n)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$