4.3.1 对数的概念-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.3.1　对数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的概念，了解常用对数与自然对数.2.理解对数的简单性质． 教学重点：1.对数的概念.2.指数式与对数式的互化.3.对数的简单性质． 教学难点：1.对数概念的理解.2.指数式与对数式之间的转化． 核心素养：借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N(其中e＝2.71828…)． (3)对数式与指数式的关系 [想一想]　在对数的概念中，为什么规定a>0，且a≠1? 提示：(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 知识点二　对数的基本性质 (1)对数的性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 1．(对数的概念)使loga(2－3a)有意义的实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞) C. D. 答案：C 2．(指数式化为对数式)若a2＝M(a>0，且a≠1)，则(　　) A．logaM＝2 B．log2M＝a C．loga2＝M D．log2a＝M 答案：A 3．(对数的性质)log31＋log55＝________． 答案：1 4．(对数式化为指数式)将对数式x＝log28化为指数式为________． 答案：2x＝8 5．(对数式中求参数的值)已知log3＝0，则x＝________． 答案：2 题型一　对数的概念 　(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A. B. C. D. [解析]　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<，所以x的取值范围为.故选C. [答案]　C (2)在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5) C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4) [解析]　由题意，得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 【感悟提升】对数有意义的条件 (1)底数大于零且不等于1. (2)对数的真数必须大于零． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·福建同安第一中学高一上月考)函数f(x)＝中x的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞) 答案：C 解析：要使函数有意义，必有解得x>－1且x≠1.故选C. (2)若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围． 解：若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>且x≠1. 即x的取值范围是. 题型二　指数式与对数式的互化 　将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝；(2)log81＝－4； (3)lg 1000＝3；(4)ln x＝2. [解]　(1)由2－7＝， 可得log2＝－7. (2)由log81＝－4，可得＝81. (3)由lg 1000＝3，可得103＝1000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 【感悟提升】指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【跟踪训练】 2．将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)log27＝－3； (3)43＝64；(4)＝16. 解：(1)由log216＝4，可得24＝16. (2)由log27＝－3，可得＝27. (3)由43＝64，可得log464＝3. (4)由＝16，可得log16＝－2. 题型三　利用指数式与对数式的关系求值 　(1)求下列各式中x的值： ①log27x＝－；②logx16＝－4； ③lg ＝x；④－ln e－3＝x. [解]　①因为log27x＝－， 所以x＝27－＝(33) －＝3－2＝. ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16， 即x－4＝24. 所以＝24，所以＝2，即x＝. ③因为lg ＝x， 所以10x＝10－3， 所以x＝－3. ④因为－ln e－3＝x，所以－x＝ln e－3， 即e－x＝e－3，所以x＝3. (2)求下列各式的值： ①log525；②log2；③lg 100. [解]　①设x＝log525，则5x＝25＝52， 所以x＝2，即log525＝2. ②设x＝log2，则2x＝＝2－4， 所以x＝－4，即log2＝－4. ③设x＝lg 100， 则10x＝100＝102，所以x＝2， 即lg 100＝2. 【感悟提升】对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题； ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 【跟踪训练】 3．(1)求下列各式中x的值： ①lg 0.01＝x；②log7(x＋2)＝2；③x＝log32. 解：①因为lg 0.01＝x， 所以10x＝0.01＝10－2，所以x＝－2. ②因为log7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72， 解得x＝47. ③由x＝log32，可得＝32，即2－x＝25，解得x＝－5. (2)求下列各式的值： ①log927；②；③. 解：①设x＝log927，则9x＝27，32x＝33， 所以x＝. ②设x＝，则()x＝81，3＝34， 所以x＝16. ③令x＝， 所以()x＝625，＝54. 所以x＝3. 题型四　对数的性质及对数恒等式 　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3[log4(log5x)]＝0； (4) ＝9. [解]　(1)因为log2(log5x)＝0， 所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1， 所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1000. (3)由log3[log4(log5x)]＝0， 可得log4(log5x)＝1， 故log5x＝4，所以x＝54＝625. (4)由＝9，可得＝9，解得x＝81. [条件探究]　本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“log3[log4(log5x)]＝1”，又如何求解x的值呢？ 解：因为log3[log4(log5x)]＝1， 所以log4(log5x)＝3， 则log5x＝43＝64，所以x＝564. [结论探究]　在本例(3)条件下，计算的值． 解：因为x＝625，所以＝3. 【感悟提升】 1．利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．性质＝N与＝b的作用 (1) ＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2) ＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 【跟踪训练】 4．(1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值． 解：因为log2[log3(log4x)]＝0， 所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3. 所以x＝43＝64.同理求得y＝16. 所以x＋y＝80. (2)求－＋103lg 3＋的值． 解：原式＝31×－24×＋(10lg 3)3＋＝3×6－16×3＋33＋ ＝18－48＋27＋＝－. 1．若3x＝2，则x＝(　　) A．log23 B．log32 C．32 D．23 答案：B 解析：3x＝2⇔x＝log32. 2．(2024·安徽六安中学高一上质检) ＋log1＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：因为＝5，log1＝0，所以原式＝5＋0＝5. 3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log55＝1与51＝5 答案：C 解析：C不正确，由log39＝2，可得32＝9. 4．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x＝________． 答案：4 解析：因为log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，所以 即解得x＝4. 5．已知f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________． 答案：3 解析：由题意得①或②解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x>1.所以x＝3. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 对数的概念 利用指数式与对数式的关系解方程 利用指数式与对数式的关系求函数值 对数的性质 指数式与对数式的互化 对数的性质；利用指数式与对数式的关系求值 对数的性质 对数的性质及对数恒等式 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 指数式与对数式的互化 利用指数式与对数式的关系求参数值 对数恒等式 利用指数式与对数式的互化求参数值 指数式与对数式的互化；指数的运算性质 利用指数式与对数式的互化解决证明问题 与对数式有关的综合问题 1．要使对数log(x－3)(x＋1)有意义，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3，4) 答案：B 解析：由题意可得解得x>3且x≠4.故选B. 2．(2024·河北曲阳县第一高级中学高一上月考)方程2log3x＝的解是(　　) A．9 B. C. D. 答案：D 解析：∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝. 3．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝(　　) A.log25 B.log23 C. D. 答案：B 解析：令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f(4)＝log23.故选B. 4．log5[log3(log2x)]＝0，则x－＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴x－＝8－＝＝. 5．(2024·山东临沂一中高一上月考)已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝dc C．c＝ad D．d＝a＋c 答案：B 解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c.因为5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以dc＝a.故选B. 6．(多选)下列各式正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5 答案：AB 解析：对于A，因为lg (lg 10)＝lg 1＝0，所以A正确；对于B，因为lg (ln e)＝lg 1＝0，所以B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，所以C错误；对于D，因为log25x＝，所以x＝25＝5，所以D错误．故选AB. 7．若log2＝1，则x＝________． 答案： 解析：因为log2＝1，所以＝2，即2x－5＝6，解得x＝. 8．－＋lg ＋(－1)lg 1的值是________． 答案：－3 解析：原式＝－＋lg 10－2＋(－1)0＝－－2＋1＝－3. 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)83＝512；(2)＝0.45； (3)log5125＝3；(4)lg a＝－1.5. 解：(1)log8512＝3. (2)log0.45＝b. (3)53＝125. (4)10－1.5＝a. 10．求下列各式中x的值： (1)logx8＝6；(2)log2x＝－； (3)x＝log27；(4)x＝log243. 解：(1)由logx8＝6，可得x6＝8， ∴x＝8＝(23)＝2＝. (2)由log2x＝－，可得x＝2－， ∴x＝＝＝. (3)由x＝log27，可得27x＝， ∴33x＝3－2，∴x＝－. (4)由x＝log243，可得＝243， ∴3－x＝35，∴x＝－5. 11．3log35－27＋lg 0.01＋ln e2＝(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案：A 解析：原式＝5－3＋(－2)＋2＝2. 12．(多选)(2024·江西上饶高一联考)已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：CD 解析：∵a＋log2b＝3，∴log2b＝3－a，∴b＝23－a，∴ba＝(23－a)a＝23a－a2＝4＝22，∴3a－a2＝2，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，b＝22＝4，∴a＋b＝5；当a＝2时，b＝21＝2，∴a＋b＝4.故选CD. 13．(2024·广东江门第二中学高一上阶段考试)若logx＝a，logy＝a＋2，则的值为________． 答案：256 解析：由题意知x＝，y＝，所以x4＝，y2＝＝，＝＝＝＝256. 14．已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a＝b或a＝. 证明：设logab＝logba＝k， 则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝bk2. ∵b>0，且b≠1， ∴k2＝1，即k＝±1. 当k＝－1时，a＝；当k＝1时，a＝b. ∴a＝b或a＝. 15．(2024·福建平和第一中学高一上月考)已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值． 解：原函数式可化为f(x)＝lg a－＋4lg a. ∵f(x)有最大值3， ∴lg a<0，且－＋4lg a＝3， 整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0， 解得lg a＝1或lg a＝－. 又lg a<0，∴lg a＝－.∴a＝10－. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$