4.2.2 第2课时 指数函数性质的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　指数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：会用函数的图象和代数运算的方法研究指数函数的性质． 教学重点：利用指数函数的单调性解决与不等式有关的问题． 教学难点：指数函数性质的综合应用． 核心素养：通过学习指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　指数型复合函数的单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 1．(利用指数函数的单调性比较大小)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 答案：D 2．(利用指数函数的单调性解不等式)不等式4x<32的解集是(　　) A. B. C. D. 答案：B 3．(指数函数图象与性质的应用)(多选)下列结论正确的是(　　) A．对x∈R，恒有3x>2x B．y＝()－x是减函数 C．对a>1，x∈R，一定有ax>a－x D．y＝2|x|是偶函数 答案：BD 题型一　利用指数函数的单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． [解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 【感悟提升】比较幂值大小的三种类型及方法 (1)底数相同、指数不同：构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同、底数不同：分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小(或可以构造幂函数，利用幂函数单调性比较大小)． (3)底数、指数都不相同：取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． 注意：当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 【跟踪训练】 1．(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：A 解析：因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a.又a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，知a<c.综上可得b<a<c.故选A. (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 答案：C 解析：因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c. 题型二　利用指数函数的单调性解不等式 　(1)解不等式≤2. [解]　∵2＝， ∴原不等式可以转化为≤. ∵函数y＝在R上是减函数， ∴3x－7≥－1，∴x≥2. 故原不等式的解集是{x|x≥2}． (2)已知ax2－3x＋2<a－x＋5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． [解]　分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋2>－x＋5， ∴x2－2x－3>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>3. ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋2<－x＋5， ∴x2－2x－3<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<3. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>3；当a>1时，－1<x<3. 【感悟提升】解与指数有关的不等式的注意点 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解． (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 【跟踪训练】 2．(1)解不等式≤3－2x. 解：因为3－2x＝， 所以原不等式等价于≤， 又y＝是R上的减函数， 所以x－4≥2x，所以x≤－4. 因此原不等式的解集是{x|x≤－4}． (2)若a－3x>ax＋4(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：①当0<a<1时，由y＝ax在R上单调递减得－3x<x＋4，即－4x<4，解得x>－1； ②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，即－4x>4，解得x<－1. 综上所述，当0<a<1时，x的取值范围为(－1，＋∞)；当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1)． 题型三　指数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． [解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. ∵x1<x2， ∴2x1－2x2<0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)∵f(x)在x∈R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝. (3)由(2)知，f(x)＝－， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝－＝， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 【感悟提升】解决指数函数性质综合应用问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧． (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行． (3)由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意是否需要对底数进行讨论． 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)＝(a>1)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R上的增函数； (3)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)的定义域为R， 则f(－x)＝＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (2)证明：f(x)＝＝＝1－，因为a>1，所以y＝ax是增函数，∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝， 因为x1<x2， 所以ax1－a x2<0，(a x2＋1)(a x1＋1)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)＝1－为增函数，即f(x)是R上的增函数． (3)因为f(x)＝1－，a>1，所以ax＋1>1，则0<<1，所以0<<2，即－2<－<0，所以－1<1－<1，即－1<f(x)<1，故函数f(x)的值域为(－1，1)． 1．(2024·安徽六安舒城县晓天中学高一上质检)若<，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. 答案：A 解析：函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选A. 2．(2024·湖南雅礼中学高一上月考)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集是(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<4} C．{x|x<－2，或x>2} D．{x|x<0，或x>4} 答案：D 解析：当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4，所以由f(x)>0，得x<－2或x>2，所以f(x－2)>0的解集是{x|x<0，或x>4}．故选D. 3．(多选)下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B. >2－ C．1.70.3＞0.93.1 D.> 答案：BC 解析：对于A，∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5<1.73，故A错误；对于B，＝2－，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－>－，∴＝2－>2－，故B正确；对于C，∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且>，∴<，又函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且<，∴<，∴<<，故D错误．故选BC. 4．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是________． 答案：(－∞，1) 解析：f(x)＝＝∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(－∞，1)． 5．(2024·吉林部分名校高一上期末)若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，3]上恒有f(x)≤11－x，则a的最大值为________． 答案：2 解析：设g(x)＝ax＋x，当a>1时，g(x)＝ax＋x在[－1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝a3＋3.要使指数函数f(x)＝ax在[－1，3]上恒有f(x)≤11－x，即g(x)≤11，只需g(x)max≤11，即a3＋3≤11，所以a≤2，所以1<a≤2，所以a的最大值为2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 利用指数函数的单调性解不等式 利用指数函数的单调性比较参数大小 指数型函数的奇偶性、单调性 利用指数函数的单调性比较大小 利用指数型复合函数的单调性求参数范围 指数型函数性质的综合应用 指数函数性质的应用；求指数型复合函数的单调区间 利用指数型分段函数的单调性求参数范围 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ 对点 求指数型复合函数的单调区间 指数型函数的性质；解指数不等式 利用指数型函数的单调性、对称性比较大小 指数型函数性质的综合 构造指数型函数并利用其单调性比较大小 利用函数的图象与性质解指数不等式 指数型函数的性质及其综合应用 1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：D 解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函数，∴x＋1<0，∴x<－1. 2．(2024·湖南邵阳高一上阶段考试)若<<，则(　　) A．a<b<1 B．b>a>1 C．b<a<1 D．a>b>1 答案：C 解析：∵函数y＝在R上是减函数，又<<，∴b<a<1.故选C. 3．已知函数f(x)＝，则f(x)(　　) A．是奇函数，在R上单调递减 B．是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增 C．是奇函数，在R上单调递增 D．是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减 答案：C 解析：函数f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．因为y＝3x在R上单调递增，y＝3－x在R上单调递减，所以f(x)＝在R上单调递增．故选C. 4．已知a＝1.050.6，b＝0.60.8，c＝0.60.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b 答案：D 解析：a＝1.050.6>1.050＝1，b＝0.60.8<0.60.4＝c.又c＝0.60.4<0.60＝1，所以a，b，c的大小关系是a>c>b.故选D. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案：D 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 6．(多选)(2024·安徽安庆第一中学高一上“三新”检测)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－5，则(　　) A．f(0)＝0 B．当x<0时，f(x)＝2－x－5 C．f(－1)＝－3 D．f(x)≤3的解集为[－3，3] 答案：BCD 解析：因为当x≥0时，f(x)＝2x－5，所以f(0)＝1－5＝－4，故A错误；当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－5＝f(x)，故B正确；f(－1)＝2－5＝－3，故C正确；当x≥0时，由f(x)＝2x－5≤3，得0≤x≤3，又函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)≤3的解集为[－3，3]，故D正确．故选BCD. 7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调递增区间是________． 答案：[0，＋∞) 解析：∵f(－2)＞f(－3)，∴a2＞a3，∴0＜a＜1.令t＝1－x2，则y＝at.∵y＝at是减函数，t＝1－x2的单调递减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a1－x2的单调递增区间是[0，＋∞)． 8．若函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，1] 解析：因为函数f(x)＝在R上是增函数，所以0＋a≤20，所以a≤1. 9．求下列函数的单调区间： (1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)； (2)y＝2|x－1|. 解：(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上单调递增，在上单调递减， ∵a>1，∴y＝a－x2＋3x＋2的单调递增区间是，单调递减区间是. (2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1， ∵t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数， ∴y＝2x－1为增函数； 当x∈(－∞，1]时，函数y＝21－x， ∵t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数， ∴y＝21－x为减函数． ∴y＝2|x－1|的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝a＋的图象过点. (1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若－≤f(x)≤0，求实数x的取值范围． 解：(1)∵f(x)的图象过点， ∴a＋＝－，解得a＝－， ∴f(x)＝－＝，f(x)的定义域为R. ∵f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴函数f(x)是奇函数． (2)∵－≤f(x)≤0，∴－≤－≤0， ∴≤≤，∴2≤4x＋1≤3， ∴1≤4x≤2，解得0≤x≤. 11．(2024·山东菏泽10校联考高一上期末)定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝3x－1，则下列各式正确的是(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f D．f>f>f 答案：A 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝3x－1，则函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．因为f＝f＝f，f＝f＝f，且>>>1，则f>f>f，即f>f>f.故选A. 12．(多选)已知函数f(x)＝x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0] 答案：BCD 解析：函数f(x)＝x的定义域为R，因为f(x)＝x＝x·，所以f(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以A错误；当x>0时，y＝－1<0，且y＝－1在(0，＋∞)上单调递减，任取0<x1<x2，则0>－1>－1.所以x1>x2，故f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以C正确；又f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以B正确；结合f(x)的单调性可知，f(x)≤f(0)＝0，故f(x)的值域为(－∞，0]，所以D正确．故选BCD. 13．(多选)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系正确的是(　　) A．x<y B.y－3>x－3 C.< D.<3－x 答案：AD 解析：由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)<f(y)，因为y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x<y，故A正确；当x＝－2，y＝－1时，y－3<x－3，故B错误；当x<0，y<0时，与无意义，故C错误；因为y＝在R上单调递减，所以<，即<3－x，故D正确．故选AD. 14．(2024·广东高州第一中学高一上期中)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(3)＝0，对任意两个不等的正实数a，b都有>0，则不等式f(2x－1)<0的解集为________． 答案：(0，2) 解析：不妨设a>b>0，则>0等价于f(a)>f(b)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，因为f(3)＝0，所以f(－3)＝0，作出f(x)的图象如图．结合f(x)的图象得不等式f(2x－1)<0⇒2x－1<－3或0<2x－1<3⇒2x<－2或1<2x<4，所以20<2x<22，所以0<x<2，故不等式f(2x－1)<0的解集为(0，2)． 15．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，得b＝1. 又f(－1)＝－f(1)，得a＝1. 经检验，a＝1，b＝1符合题意． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为x1<x2，所以2x2－2x1>0. 又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0， 所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因为对任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立， 所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)． 因为f(x)为奇函数， 所以f(t2－2t)<f(k－2t2)． 因为f(x)为R上的减函数， 所以t2－2t>k－2t2， 即k<3t2－2t恒成立， 而3t2－2t＝3－≥－， 所以k<－. 所以k的取值范围为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$