4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.2.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 教学重点：掌握指数函数的图象和性质． 教学难点：指数型函数定义域、值域的求解． 核心素养：1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象素养.2.借助指数函数的性质，培养逻辑推理素养． 知识点一　指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 [点拨]　(1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0. (3)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 知识点二　不同底指数函数图象的相对位置 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． [点拨]　指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此可求出指数函数底数的大小． 1．(指数型函数的定义域)函数y＝的定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．{x|x≠0，x∈R} 答案：D 2．(指数函数的图象)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案：D 3．(指数函数图象的应用)当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2＋1的图象过定点________． 答案：(2，2) 4．(指数型函数的值域)函数y＝的值域是________． 答案：[0，4) 题型一　指数函数的图象 　(2024·广东梅州兴宁市叶塘中学高一上期中)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. [答案]　B 【感悟提升】识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·天津河西区高一上月考)如图①②③④不属于函数y＝3x，y＝2x，y＝中的一个的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 解析：由指数函数的图象特点可知，①是y＝的部分图象，③是y＝2x的部分图象，④是y＝3x的部分图象，所以只有②不是指数函数的图象．故选B. (2)(2024·河南南阳一中高一上月考)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 答案：D 解析：由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，排除A，B；函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，∴－b>0，∴b<0.故选D. 题型二　与指数函数有关的定义域和值域问题 　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2； (2)y＝； (3)y＝. [解]　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴函数y＝2的定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴2≠1， ∴函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)函数y＝的定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1， ∴函数y＝的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－≥0， ∴≤1＝，∴x≥0， ∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)． 又>0， ∴0<≤1， ∴0≤1－<1， ∴0≤y<1， ∴函数y＝的值域为[0，1)． 【感悟提升】 1．函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 2．y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法 (1)求函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(x)的定义域中． (2)求函数y＝f(ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f(x)的值域． 提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【跟踪训练】 2．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝； (2)y＝4x－2x＋1. 解：(1)函数的定义域为R. ∵y＝＝＝1－， 又3x>0， ∴1＋3x>1， ∴0<<1， ∴－1<－<0， ∴0<1－<1， ∴函数的值域为(0，1)． (2)函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝＋， ∵2x>0， ∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值， ∴函数的值域为. 题型三　指数函数图象的应用 　(1)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(　　) A．(0，1) B．(3，3) C．(3，4) D．(4，3) [解析]　解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)． [答案]　C (2)(2024·广西柳州高级中学高一上期中)要使f(x)＝＋t的图象不经过第一象限，则t的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B. C. D．(－∞，－1] [解析]　函数f(x)＝＋t的图象与y轴的交点坐标为，且为减函数，要使f(x)的图象不经过第一象限，则＋t≤0，解得t≤－.故选B. [答案]　B 【感悟提升】指数函数图象的应用问题 (1)定点问题：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． (2)变换问题：利用图象的平移变换、翻折变换求参数． 【跟踪训练】 3．(1)函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________． 答案： 解析：令2x＋1＝0，得x＝－，y＝2，所以函数的图象过定点. (2)(2024·广东梅州中学高一上月考)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 答案： 解析：当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，a的取值范围是. 1．函数y＝3－x的图象是(　　) 答案：B 解析：∵y＝3－x＝，∴B正确． 2．若函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(2，1) D．(1，2) 答案：D 解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x－1＝0，得x＝1，y＝2.所以函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，2)．故选D. 3．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是(　　) 答案：A 解析：二次函数y＝a－，其图象的顶点坐标为，由指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的二次函数的图象的顶点的横坐标在－和0之间．故选A. 4．函数y＝的定义域是________． 答案：(－∞，0] 解析：要使函数有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]． 5．已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1)，则当x≥0时，函数f(x)的值域为________． 答案：[2，＋∞) 解析：f(x)＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，则g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.∵a>1，x≥0，∴t≥1，∵g(t)在[1，＋∞)上单调递增，g(1)＝2，∴g(t)≥2，故函数f(x)的值域是[2，＋∞)． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 指数函数图象过定点问题 指数型函数图象的识别——与绝对值有关 求指数型函数的值域 指数型函数的图象变换问题 指数型函数图象的识别——与二次函数有关 指数型函数的图象和性质 指数函数的图象与求值 求指数型分段函数的值域 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 求指数型函数的定义域和值域 求指数型函数的解析式及值域 求新定义指数型函数的值域 指数型函数的图象、值域与平面几何相结合 利用指数函数的图象比较参数大小 指数型函数的图象及应用——求参数范围 指数型函数值域的综合应用 1．(2024·山东德州高一上期末)函数f(x)＝2a1－x＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(1，1) D．(1，3) 答案：D 解析：对于函数f(x)＝2a1－x＋1(a>0，且a≠1)，由1－x＝0，可得x＝1，又因为f(1)＝2a0＋1＝3，故函数f(x)的图象过定点(1，3)．故选D. 2．(2024·江苏南京一中高一上月考)函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　) 答案：B 解析：y＝a|x|＝当x≥0时，因为a>1，所以y＝ax的图象过点(0，1)且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除A，C，D.故选B. 3．(2024·湖北襄阳六中高一上质检)函数y＝的值域是(　　) A．(－∞，0) B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 答案：B 解析：令t＝，则t≥0，∵y＝在[0，＋∞)上单调递减，∴≤＝1，又>0，∴y＝的值域为(0，1]．故选B. 4．(2024·河北正定中学高一上月考)如果a>1，b<－1，那么函数f(x)＝ax＋b的图象在(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 答案：B 解析：∵a>1，∴y＝ax的图象过第一、二象限，且是增函数，经过点(0，1)，f(x)＝ax＋b的图象可看成把y＝ax的图象向下平移－b(－b>1)个单位长度得到的，故函数f(x)＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B. 5．二次函数y＝ax2＋2bx图象的顶点的横坐标的取值范围为(－2，－1)，则y＝－1的图象大致为(　　) 答案：C 解析：函数y＝ax2＋2bx图象的顶点的横坐标的取值范围为(－2，－1)，即－∈(－2，－1)，解得0<－1<1，因此函数y＝－1在R上单调递减，且其图象可由指数函数y＝的图象向下平移1个单位长度得到．故选C. 6．(多选)(2024·福建泉州一中高一上月考)若f(x)＝3x＋1，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)在[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) 答案：AB 解析：因为f(x)＝3x＋1在R上单调递增，故A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，故B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，故C错误；由3x>0，可得f(x)>1，故D错误．故选AB. 7．(2024·安徽六安舒城县晓天中学高一上质检)已知函数g(x)与f(x)＝3x的图象关于y轴对称，则g(1)＋g＝________． 答案： 解析：∵函数g(x)与f(x)＝3x的图象关于y轴对称，∴g(x)＝3－x，∴g(1)＋g＝3－1＋3－＝＋＝＋＝. 8．函数y＝的值域是________． 答案：(－2，－1] 解析：当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上，函数的值域为(－2，－1]． 9．求函数的定义域和值域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝. 解：(1)函数y＝的定义域为R， 令u＝2x－x2，则u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 由于函数y＝为减函数， 所以y＝≥， 所以函数y＝的定义域为R，值域为. (2)由题意，得32x－1－≥0，即32x－1≥＝3－2， 所以2x－1≥－2，解得x≥－， 因为y＝≥0，所以函数y＝的定义域为，值域为[0，＋∞)． (3)函数y＝的定义域为R，令t＝－|x＋1|，则t≤0， 由于函数y＝为减函数， 则y＝≥＝1， 所以函数y＝的定义域为R，值域为[1，＋∞)． (4)由题意，得－x2－3x＋4≥0， 即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1. 令m＝＝∈， 由于函数y＝2m为增函数，则y＝2m∈[1，4]， 所以函数y＝2的定义域为[－4，1]，值域为[1，4]． 10．(2024·江西九江一中高一上月考)已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1. (1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点， 所以f(2)＝a2－1＝a＝. (2)由(1)得f(x)＝(x≥0)， 令x－1＝t，因为x≥0，所以t≥－1. 因为函数y＝在[－1，＋∞)上是减函数，所以0<y≤2，即f(x)∈(0，2]， 所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，3]． 故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3]． 11．(2024·浙江嘉兴一中高一上月考)若定义运算f(a*b)＝则函数f(3x*3－x)的值域是(　　) A．(－∞，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(0，1] 答案：D 解析：由题意，得f(3x*3－x)＝其图象如图所示(实线部分)．由图可知，函数f(3x*3－x)的值域为(0，1]．故选D. 12.(2024·内蒙古赤峰一中高一上期末)已知f(x)＝2|x－1|，且其在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a，b所形成的实数对为点P(a，b)，则由点P构成的点集组成的图形为(　　) A．线段AD B．线段AB C．线段AD与线段CD D．线段AB与线段BC 答案：C 解析：函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，当x＝1时，函数取得最小值1，令y＝2|x－1|＝2，得x＝0或x＝2，因为函数y＝2|x－1|在区间[a，b]上的值域为[1，2]，所以或则有序实数对(a，b)在坐标平面内所对应的点组成的图形为题图中的线段AD与线段CD.故选C. 13．(多选)已知实数a，b满足等式＝，则下列关系式中不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 答案：CD 解析：画出函数y＝和y＝的图象，借助图象分析a，b满足等式＝时a，b的大小关系，如图所示，若a，b均为正数，则a>b>0；若a，b均为负数，则a<b<0；若a＝b＝0，则＝＝1.故选CD. 14．(2024·四川南充高级中学高一上第二次月考)函数f(x)＝的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，则m＋n的取值范围是______． 答案：(1，2) 解析：f(x)＝的图象如图所示，不妨设m>n，因为f(x)＝的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，所以由图可知m＝1，0<n<1，所以1<m＋n<2，即m＋n的取值范围是(1，2)． 15．(2024·湖南长沙一中高一上月考)已知函数f(x)＝9x－2a·3x＋3. (1)若a＝1，x∈[0，1]，求f(x)的值域； (2)当x∈[－1，1]时，求f(x)的最小值h(a)； (3)是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当a＝1时，由f(x)＝9x－2×3x＋3， 得f(x)＝(3x－1)2＋2， 因为x∈[0，1]， 所以3x∈[1，3]，f(x)∈[2，6]， 所以f(x)的值域为[2，6]． (2)令3x＝t，因为x∈[－1，1]，故t∈，函数f(x)可化为g(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. ①当a<时，h(a)＝g＝－； ②当≤a≤3时，h(a)＝g(a)＝3－a2； ③当a>3时，h(a)＝g(3)＝12－6a. 综上，h(a)＝ (3)因为n>m>3，h(a)＝12－6a为减函数， 所以h(a)在[m，n]上的值域为[h(n)，h(m)]， 又h(a)在[m，n]上的值域为[m2，n2]， 所以即 两式相减，得6(m－n)＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)， 因为n>m>3， 所以m＋n＝6， 而由n>m>3可得m＋n>6，矛盾． 所以不存在满足条件的实数m，n. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$