4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对实数指数幂ax(a＞0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算性质． 教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解． 核心素养：1.通过对实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养.2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 知识点一　无理数指数幂 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二　实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． [拓展]　＝ar－s(a>0，r，s∈R)． [提醒]　实数指数幂中一定要有a>0. 1．(无理数指数幂的运算) ×9π＝(　　) A．3π－ B．32π－ C. D. 答案：B 2．(实数指数幂的运算)若2α＝3，2β＝5，则2α＋β＝________． 答案：15 3．(条件求值)若x－x－＝5，则的值为________． 答案：27 题型一　无理数指数幂的运算 　计算下列各式： (1) ； (2)a·a÷aπ； (3)已知a＝，b＝，c＝，求的值． [解]　(1)原式＝＝36×22＝2916. (2)原式＝a＋－π＝a－. (3)原式＝＝＝. 【感悟提升】关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 【跟踪训练】 1．计算下列各式： (1) ；(2) . 解：(1)原式＝＝π3. (2)原式＝＝＝mπ. 题型二　实际问题中的指数运算 　(2024·辽宁葫芦岛高一上质检)视力表(如图)中采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．已知表中各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10 cm，则视力4.9的视标边长约为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm [解析]　由题意可得，视力4.9的视标边长约为10×＝10×10－＝10＝ cm.故选A. [答案]　A 【感悟提升】指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率(下降率)等问题中，常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． 【跟踪训练】 2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个分裂成4096个需经过________小时． 答案：3 解析：设细菌由1个分裂成4096个分裂了x次，则2x＝4096＝212，则x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时． 题型三　指数幂运算中的条件求值 　已知a＋a－＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解]　(1)将a＋a－＝4两边平方， 得a＋a－1＋2＝16， 故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196， 故a2＋a－2＝194. [结论探究1]　在本例条件不变的情况下，求a－a－1的值． 解：令a－a－1＝t，则两边平方， 得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192， ∴t＝±8，即a－a－1＝±8. [结论探究2]　在本例条件不变的情况下，求a2－a－2的值． 解：由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112. 【感悟提升】解决条件求值问题的思路及常见变形 (1)整体代换法的思路 (2)常见变形：①(a＋b)(a－b)＝a－b；②(a±b)2＝a±2ab＋b；③(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b(a，b均使式子有意义)． 【跟踪训练】 3．已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值． 解：令2x＝t，则2－x＝t－1，所以t＋t－1＝a　①.将①两边平方，整理得t2＋t－2＝a2－2，则8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)＝a(a2－3)＝a3－3a. 1．计算的结果是(　　) A. B．－ C．2 D. 答案：D 解析：＝2－1＝. 2．(2024·山东泰安第一中学高一上期中)已知实数a，b>0，则下列结论中正确的是(　　) A．a＝ B．a·a＝a C．(a)6＝a6b3 D．a·a－＝0 答案：C 解析：a＝，A错误；a·a＝a，B错误；(a)6＝a6b3，C正确；a·a－＝a0＝1，D错误．故选C. 3．(2024·湖南株洲二中高一月考)一张足够大的正方形纸，其厚度为0.01 cm，现将该纸对折(即沿对边中点连续折叠)10次，这时，这张纸的厚度为(　　) A．2.56 cm B．5.12 cm C．10.24 cm D．20.48 cm 答案：C 解析：0.01×210＝10.24 cm. 4．(多选)已知a＋a－1＝3，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝16 C．a＋a－＝± D．a＋a－＝2 答案：AD 解析：∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7，故A正确；a3＋a－3＝(a＋a－1)·(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝18，故B不正确；∵(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a>0，解得a＋a－＝，故C不正确；∵a＋a－＝(a)3＋(a－)3＝(a＋a－)(a＋a－1－1)＝×(3－1)＝2，故D正确．故选AD. 5．(2024·浙江温州高一上期中联考)已知a2m＋n＝，am－n＝256，a>0，则a5m＋n＝______． 答案：16 解析：a5m＋n＝(a2m＋n)2·am－n＝×256＝16. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 无理数指数幂的化简 无理数指数幂的运算 实数指数幂的运算 实际问题中的指数运算 实数指数幂的运算 条件求值——整体代换法求无理数指数幂 无理数指数幂的化简 实数指数幂的运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 条件求值——换元法、整体代换法求分数指数幂 条件求值——整体代换法求分数指数幂 条件求值——整体代换法求根式的值 条件求值——整体代换法求参数值 实数指数幂运算的应用——构造方程组求参数值 实数指数幂运算的应用——解决证明问题 条件求值——换元法、整体代换法求分数指数幂 1．(2024·安徽蚌埠二中高一上月考)化简·为(　　) A．2－7 B．25 C．2－5 D．27 答案：B 解析：·＝2－·26＝25.故选B. 2．计算：3π×＋(22)＋1＝(　　) A．17 B．18 C．6 D．5 答案：B 解析：原式＝＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18. 3．(2024·河南开封高中高一上月考)若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　) A．5 B．5 C．5 D．5 答案：B 解析：因为b－3n＝5m，则(b－3n) ＝(5m) ，即b＝5 .故选B. 4．(2024·重庆西南大学附属中学高一上期末)从盛满10 L纯硫酸的容器里倒出1 L，然后用水填满，这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为(　　) A．70.4% B．67.2% C．81% D．72.9% 答案：D 解析：每次填满后，硫酸浓度都是原来的，所以第三次填满后的硫酸浓度为×100%＝72.9%.故选D. 5．(2024·福建厦门一中高一上质检)若3α＝5，3β＝6，则＝(　　) A．33α－2β B. C．3α3－β2 D．325α－6β 答案：A 解析：＝＝＝＝33α－2β.故选A. 6．(多选)(2024·河南漯河高级中学高一上1月月考)已知a－－a＝3，下列各式中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝11 B．a3－a－3＝12 C．a－＋a＝ D．a－4＋＝10 答案：ACD 解析：a2＋a－2＝(a－－a)2＋2a－＋＝9＋2＝11，故A正确；a3－a－3＝－(a－－a)(a－2＋a－＋＋a2)＝－3×(11＋1)＝－36，故B错误；(a－＋a)2＝a－2＋a2＋2＝11＋2＝13，又a>0，所以a－＋a＝，故C正确；a－4＋＝a－4·a＋＝a－3＋a3＝(a－＋a)(a－2＋a2－a－)＝×(11－1)＝10，故D正确．故选ACD. 7．(2024·上海长征中学高一上期中)已知a>0，b>0，化简(a1－b)1＋b1－＝________． 答案： 解析：因为a>0，b>0，所以(a1－b)1＋b1－＝a(1－)(1＋)b1＋b1－＝a－1b2＝. 8．(2024·北京第一六六中学高一上期中)已知a>0，am＝4，an＝3，则a－＝__________，a2m－n＝__________． 答案：　 解析：依题意，得a－＝＝＝，a2m－n＝a2m÷an＝(am)2÷an＝. 9．若a＋＝7，求a＋a－及a－a－的值． 解：设a＋a－＝t，则a＋＋2＝t2， 即t2＝7＋2＝9. 又a>0，所以a＋a－＝3. 设a－a－＝m， 则a＋－2＝m2， 即m2＝5，所以m＝±. 综上可知，a＋a－＝3，a－a－＝±. 10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x>y，求的值． 解：∵x＋y＝12，xy＝9，且x>y， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108， ∴x－y＝6. ∴＝ ＝＝ ＝＝. 11．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　) A．2 B．0 C．－2 D．±2 答案：B 解析：由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0.故选B. 12．设2a＝5b＝m(a>0，b>0，m>0)，且＋＝2，则m＝(　　) A. B．10 C．20 D．100 答案：A 解析：∵2a＝m，5b＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m·m＝m＋，∴m2＝10，∴m＝.故选A. 13．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________． 答案：27 解析：由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3　①.由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9　②.由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 14．(2024·河南南阳一中高一上期末)若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式＋＝.求证： (1)若ax＝by，则ax＝(ab)z； (2)若ax＝(ab)z，则by＝(ab)z. 证明：(1)由得 将①代入②，得ax＝b， ∴a＝b，∴ax－z＝bz，∴＝bz， ∴ax＝(ab)z. (2)由ax＝(ab)z，得a＝(ab)＝a·b， ∵＋＝，∴＝1－，＝1－. 由a＝a·b，得a1－＝b1－，即a＝b1－， ∴az＝by－z，两边同乘以bz，得by＝(ab)z. 15．设a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，求(x＋y)＋(x－y)的值． 解：令a＝A，b＝B，则 x＝A3＋3AB2，y＝B3＋3A2B， x＋y＝A3＋3AB2＋3A2B＋B3＝(A＋B)3， x－y＝A3＋3AB2－3A2B－B3＝(A－B)3. 所以(x＋y)＋(x－y)＝(A＋B)2＋(A－B)2＝2(A2＋B2)＝2(a＋b)＝8. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$